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(人教A版)数学必修1课件:章末归纳总结3_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·必修1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 函数的应用 第三章 章末归纳总结 专题一 函数的零点与方程根的关系 一般结论:函数 y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根, 也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x) =0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有 零点. [例1] 实数a,b,c是图象连续不断的函数f(x)定义域中的 ) D.至少是2 三个数,且满足 a<b<c , f(a)·f(b)<0 , f(b)·f(c)<0 ,则函数 y = f(x)在区间(a,c)上零点的个数为( A.2 B.奇数 C.偶数 [ 解析 ] 由 f(a)·f(b)<0 ,知在区间 (a , b) 上至少有一个零 点,由f(b)·f(c)<0知在区间(b,c)上至少有一个零点,故在区间 (a,c)上至少有两个零点. [答案] D [点评] 本题利用零点的存在性定理就可直接判断,但要 注意零点存在性定理不能判断零点个数. [例2] 函数f(x)=x2+(m2+2)x + m在( -1,1)上零点的个数 B.2 为( ) A.1 C.0 D.不能确定 [解析] f(-1)=-m2+m-1<0,f(1)=m2+m+3>0. m2 函数 f(x)的对称轴为 x=- 2 -1≤-1, 故函数 f(x)在(-1,1)上为增函数, ∴函数 f(x)在(-1,1)上有且仅有一个零点. [答案] A [点评] 单调函数至多存在一个零点. 专题二 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题,表面上是方程问题,实际上 往往是二次函数的图象性质问题和解不等式的综合考查.它在 应用上的灵活性和广泛性,使其成为考试的热点问题. [例3] 设集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|y =x+1,0≤x≤2},A∩B≠?,求实数m的取值范围. [分析] 本题考查一元二次方程根的分布问题,应用等价 转化思 想 及数形 结 合的思 想 , 先将 A∩B≠? 转化为方程组 在 x∈[0,2] 上有解,然后由一元二次方程构造二次函数,利用根 的分布求解. [解析] 由条件 A∩B≠? 知,方程 x2+mx-y+2=0 与方 程 x-y+1=0(0≤x≤2)有公共解. 2 ? ?x +mx-y+2=0, 由方程组? ? ?x-y+1=0 消去 y 得, x2+(m-1)x+1=0,(*) 故方程(*)在区间[0,2]上有实数根. 令 f(x)=x2+(m-1)x+1,即为函数 f(x)的图象与 x 轴在区 ?Δ≥0, ? ?0≤1-m≤2, 2 间[0,2]内有交点, 结合图象得等价关系式为? ?f?2?≥0, ? ?f?0?≥0 或 f(0)· f(2)≤0, 解得 m≤-1. [点评] 一元二次方程根的分布问题的处理方法 对于一元二次方程实根分布问题,要抓住四点:开口方 向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负. 专题三 几种函数模型的应用 几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0); (2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0); (3)指数函数模型:y=a· bx+c(a≠0,b>0,且 b≠1); (4)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,且 a≠1,m≠0); (5)幂函数模型:y=axn+b(a≠0); ? ?f1?x?,x∈A1, ?f2?x?,x∈A2, (6)分段函数模型:y=? ?…, ? ?fn?x?,x∈An. [例4] (对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度(即 地震释放的能量)的常用对数值,显然级别越高,地震的强度也 越高,如日本 1923 年地震是 8.9 级,旧金山 1996 年地震是 8.3 级, 1989 年地震是 7.1 级,试计算日本 1923 年地震强度是 8.3 级 的几倍?是7.1级的几倍?(已知lg2=0.3) [分析] 依题意将各次地震的地震强度设出,然后寻找它 们之间的关系. [解析] 设日本1923年地震强度是x,旧金山1996年地震强 度为 y,1989 年地震强度为 z ,则 lgx = 8.9 , lgy = 8.3 , lgz = 7.1 , 则lgx-lgy=8.9-8.3=0.6=2lg2=lg4, 从而lgx=lg4+lgy=lg(4y),∴x=4y. lgx-lgz=8.9-7.1=1.8=6lg2=lg64, 从而lgx=lgz+lg64=lg(64z),∴x=64z. ∴8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍,是7.1级地震强度 的64倍. [点评] 可解决. 由题设知道是对数函数后利用对数的运算性质即 专题四 数学思想方法 1.数形结合思想 数与形是数学中两个最古老的,也是最基本的研究对象, 它们在一定条件下相互转化,借助背景图形的性质可使那些抽 象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或 找到问题的结论.精选数形结合,不仅是一种重要的解题方 法,而且也是一种重要的思维方法,因此它在中学数学中占有 重要地位. 本章对于数形结合思想的应用主要体现在:一是读图识 图,二是由图求解析式. [例5] 向高为 H的水瓶中注水,若注满为止,注水量 V 与 ) 水深h的函数关系图象如图所示,那么水瓶的形状是( [分析] 解决这道函数应用题,不可能列出V与h的精确解 析式,需要对图形整体把握,取特殊情况加以分析,或通过观 察已知图象的特征,取模型函数判断. [解析] 解法 1:很明显,从 V 与 h 的函数图象看,V 从 0 开始后,h 先增加较慢,后增加较快,因而应是底大口小的容 器,即应选 B. H 解法 2:取特殊值 h= 2 ,可以看出 C,D 图中的水瓶的容 V V 量恰好是 2 ,A 图中的水瓶的容量

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