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河北省张家口市涿鹿中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

2015-2016 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷
班级类型:文科班;考试时 间:120 分钟;总分 150 分 注意事项: 1.答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 .请将第 I 卷(选择题)答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上;请将第 II 卷 (非选择题) 答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I 卷(选择题 60 分) 一、单项选择题(5 分,每小题 12 分) 1.设 i 是虚数单位,复数 z ? 2i ,则 z =( 1? i A.1 B. 2
2

) D.2

C. 3

2.命题“? x>0,x +x>0”的否定是( ) 2 2 A.? x0>0,x0 +x0>0 B.? x0>0,x0 +x0≤0 2 2 C.? x>0,x +x≤0 D.? x≤0,x +x>0 3.命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是( ) A.若 x <1,则 x≥1 或 x≤﹣1 C.若 x>1 或 x<﹣1,则 x <1
2 2 2 2

B.若﹣1<x<1,则 x <1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x <1
2

2

4.过点(0,2)与抛物线 y =8x 只有一个公共点的直线有( ) A.无数多条
2

B.3 条

C.2 条

D.1 条

5.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,1)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( ) A.a=﹣1,b=﹣1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=1,b=1

??
6.

?

4 ( ? ? 0) 表示的图形是(
B.一条直线

) D.圆 )

A.一条射线

C.一条线段

7.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

1

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )

8.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )

A.8

B.18

C.2 6

D.80 ) .

9.若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
C.

2 3

B. ?

2 3

3 2


D. ?

3 2

10.不等式组 ? A. (0, 3 )

?| x ? 2 |? 2,
2 ?log 2 ( x ? 1) ? 1

的解集为 (

B. ( 3 ,2)

C. ( 3 , 4 ) )

D. (2,4)

11.不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 的解集为( A. ?? ?,?2? ? ?2,??? C. ?? ?,?2? ? ?3,??? 12.下列在曲线 ? A. ( , ? 2)

B. ?? ?,?1? ? ?2,??? D. ?? ?,?3? ? ?2,??? )

x ? sin 2? ( ? 为参数)上的点是( ? y ? cos ? ? sin ? ?
B. (2, 3) C. ( ?

1 2

3 1 , ) 4 2

D. (1, 3)

2

第 II 卷(非选择题 90 分) 二、填空题(5 分,每小题 20 分) 2 13. “x>1”是“x >x”的 条件. 14.在极坐标系下,直线 ? cos(? ?

?
4

) ? 1 与圆 ? =2 的公共点个数是_______.

15 .若椭圆 经过点 ? 2,3? ,且焦点为 F ,则 这个椭圆的离心率等 于 ( , 0 ),F( , 0 ) 1 ?2 2 2 ______________. 16 .若曲线: y ? a x ?1? a ? 0且a ? 1? 在点 ? 0, 2? 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则

a =_____. 三、解答题
17. (10 分) (1)将下列极坐标方程化为直角坐标方程: ? (2cos ? ? 5sin ? ) ? 4 ? 0 ;

(2)将下列参数方程化为普通方程: ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数) ; ? y ? 4sin ?

? ' 1 x ? x ? x y ? 3 ? ? 1 经过伸缩变换 ? : ? 18. (12 分)求曲线 变换后的曲线方程,并说明它 9 4 ? y' ? 1 y ? ? 2
2 2

表示什么图形.

19. (12 分)已知 z 是复数,z+2i,

均为实数(i 为虚数单位) ,且复数(z+ai) 在复

2

平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.

20. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ? 4x, a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (Ⅱ)若 x ? (?2,??) 时,恒有 f (2 x) ? 7 x ? a ? 3 ,求实数 a 的取值范围.
2

3

21(12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+a (a>0)在 x=1 处有极值 10. (1)求 a、b 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)在[0,4]上的最大值与最小值.

3

2

2

22(12 分)设函数 f ( x) ? 2x ? 4 ? 1 . (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

4

选择 BBDBD ACCBC DC 填空 13.充分不必要 14 2 个 15. 17. (1) 2 x ? 5 y ? 4 ? 0 ; 【解析】 (1) 2? cos ? ? 5? sin ? ? 4 ? 0 ,∴ 2 x ? 5 y ? 4 ? 0 .

1 16. e2 2

x2 y 2 (2) ? ?1; 25 16
?x ? cos ? ? ? x ? 5cos ? x2 y 2 ?5 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? , (1)∵ ? ,∴ ? ,两边平方相加,得 y 25 16 y ? 4sin ? ? ? ? sin ? ? ?4


x2 y 2 ? ?1. 25 16
'2 '2

18.经过伸缩变换后的曲线方程为 x ? y ? 1,它表示圆心在原点,半径为 1 的圆.

? ' 1 x ? x ? ? x ? 3x ' x2 y 2 (3x' )2 (2 y ' ) 2 ? 3 ? ? 1 ? ?1, 试题解析:由 ? : ? 得: ? ,代入 中得: ' 9 4 9 4 ?y ? 2y ? y' ? 1 y ? ? 2
∴经过伸缩变换后的曲线方程为 x ? y ? 1,
'2 '2

它表示圆心在原点,半径为 1 的圆. 19.2<a<6 【解析】 解:设复数 z=m+ni(m,n∈R) , 由题意得 z +2i=m+ni+2i=m+(n+2)i∈R, ∴n+2=0,即 n=﹣2. 又∵ ,

∴2n+m=0,即 m=﹣2n=4.∴z=4﹣2i. 2 2 2 2 ∵(z+ai) =(4﹣2i+ai) =[4+(a﹣2)i] =16﹣(a﹣2) +8(a﹣2)i 对应的点在复平面的第一象限,横标和纵标都大于 0, ∴ 解得 a 的取值范围为 2<a<6.

5

20. (I) x x ? ?1 ; (II) (0,2] . 试题解析: (I) f ( x) ? 2 x ? 1 , 即 x ? 2 ? ?2x ? 1 , 即? 解得 x x ? ?1 . (II) f (2 x) ? 7 x ? a 2 ? 3 可化为 f (2 x) ? 7 x ? a 2 ? 3 ,令 F ( x) ? f (2 x) ? 7 x ,

?

?

? x ? 2 ? ?2 x ? 1 ?2 ? x ? ?2 x ? 1 或? , ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

?

?

a ? 3x ? a( x ? ) ? ? 2 因为 F ( x) ? f ( 2 x) ? 7 x ? 2 x ? a ? x ? ? ,由于 a >0, x ? (?2,??) , a ?a ? x ( x ? ) ? 2 ?
所以当 x ?

a a a a 2 时, F ( x) 有最小值 F ( ) ? ,若使原命题成立,只需 ? a ? 3 ,解得 2 2 2 2

a ? ?0,2? .
考点:解含有绝对值的不等式,函数的最值.

21 . ( 1 ) a=4 , b= ﹣ 11 ; ( 2 ) f ( x )在

上单调递增,

上单调递减. ; (3)f(x)的最大值为 100,最小值为 1020. 【解析】 试题分析: (1)求出导函数,令导函数在 1 处的值为 0;f(x)在 1 处的值为 10,列出方程 组求出 a,b 的值. (2)令导函数大于 0 求出 f(x)的单调递增区间;令导函数小于 0 求出 f(x)的单调 递 减区间. (3)利用(2)得到 f(x)在[0,4]上的单调性,求出 f(x)在[0,4]上的最值. 2 解: (1)由 f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a =10, 得 a=4,或 a=﹣3 ∵a>0,∴a=4, b=﹣11(经检验符合) 3 2 2 (2)f(x)=x +4x ﹣11x+16,f'(x)=3x +8x﹣11, 由 f′(x)=0 得 所以令 f′(x)>0 得 所以 f(x)在 ;令 上单调递增, 上单调递减.

(3)由(2)知:f(x)在(0,1)上单调递减, (1,4)上单调递增, 又因为 f(0)=16,f(1)=10,f(4)=100, 所以 f(x)的最大值为 100,最小值为 1020.

6

23. (Ⅰ)图象见解析; (Ⅱ)

1 ? ?? ?,?2? ? ? ? ,?? ? ?2

?.

试题解析: (Ⅰ)由于

?2 x ? 5, x ??? ? ? 2 x ?3, x ? 2. f ( x)
y
2

则函数 y ? f ( x) 的图像如图所示;

y
2

1

1

-2

-1 -1

O

1

2

3

x

-1 -1

O

1

2

x

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ? ?2 或 a ?

1 时,函数 2

y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点,故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时, a 的取值范围
为 ?? ?,?2? ? ? ,?? ? .

?1 ?2

? ?

7


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