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2006年山东省高二数学第一章解三角形应用举例、解三角形应用举例课件


解三角形应用举例

解三角形应用题中的几个角的概念

1、仰角、俯角的概念: 在测量时,视线与水平线 所成的角中,视线在水平线 上方的角叫仰角,在水平线 下方的角叫做俯角。如图:

2、方向角:指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角叫方 向角,如图

解斜三角形应用题的一般步骤是:

1、分析:理解题意,画出示意图 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中
3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这 些三子角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解。 实际问题→数学问题(三角形) →数学问题的解(解三角形)→实际问题的解

测量问题:
1、水平距离的测量 ①两点间不能到达, 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小,由余弦定理,
AB 2 ? CA2 ? CB 2 ? 2CA? cos C 可求得AB的长。 CB

②两点能相互看到,但不能到达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小,由三角形 的内角和,求出角A然后由正弦定理,
AB sin C ? BC sin A

可求边AB的长。

③两点都不能到达 第一步:在△ACD中,测角∠DAC, 由正弦定理 sin
AC ?ADC ? DC sin ?DAC

求出AC的长; 第二步:在△BCD中求出角∠DBC, 由正弦定理
BC sin ?BDC ? DC sin ?DBC

求出BC的长;

第三步:在△ABC中,由余弦定理
AB 2 ? CA2 ? CB 2 ? 2CA? cos C CB

求得AB的长。

例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离,在岸边 选取相距 3 米的C、D两地,并测得∠ADC=30°、 100 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°,A、B、C、 D四点在同一平面上,求A、B两地的距离。 解:在△ACD中, ∠DAC=180°-(∠ACD+∠ADC) =180°-(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中, ∠CBD=180°-(∠BCD+∠BDC) =180°-(45°+45°+30°)=60°

由正弦定理
BC ?

BC sin ?BDC

?

DC sin ?DBC

,得
? 200 sin 75 ?

DC sin ?BDC sin ? DBC

?

100 3 sin 75 ? sin 60 ?

在△ABC中由余弦定理, 2 2 2 AB ? CA ? CB ? 2CA? cos C CB ? (100 3) 2 ? (200 sin 75 ?) 2
? 2 ? 100 3 ? 200 sin 75 ? cos 75 ? ? 5 ? 100 2
∴ AB ? 100 5

所求A、B两地间的距离为100 5 米。

测量垂直高度
1、底部可以到达的; 测量出角C和BC的长度,解直 角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的

测量边CD,测量∠C和∠ADB,
AB ? CD cot C ? cot ?ADB

例题2:在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯 ? ? 角 ? ? 60 ,在塔底 C 处测得点 A的俯角 ? ? 45 , 已知铁塔BC 部分高 32 米,求山高CD 。 解:在△ABC中,∠ABC=30°, ∠ACB =135°, ∴∠CAB =180°-(∠ACB+∠ABC) =180°-(135°+30°)=15° 又BC=32, BC AC ? 由正弦定理 ,
sin ?BAC sin ?ABC

得 AC ?

BC sin ?ABC sin ?BAC

?

32 sin 30? sin15?

?

16 sin15 ?

在等腰Rt△ACD中,故
CD ? 2 2 AC ? 2 2 ? 16 sin15 ? ? 8 2 sin15 ? ? 16( 3 ? 1)

∴山的高度为16( 3 ? 1) 米。

例题3:如图,当甲船位 于A处时获悉,在其正东 方向相距20海里的B处有 一艘渔船遇险等待营救。 甲船立即前往救援,同时 把消息告知在甲船的南偏 西 30?,相距10海里C处的 乙船,试问乙船应朝北偏 东多少度的方向沿直线前 往处救援? ? (角度精确到 1 )

例题4:某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海 里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向 以10海里每小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立 即以14海里每小时的速度沿着直线方向追去,问 巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才能 追赶上该走私船?

例题5:如图,一艘海伦从A出发,沿北偏东75O的 方向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏 东32O的方向航行54海里到达海岛C, 如果直接从A从出 发到达C,此船应沿怎样的方向航行》需要航行多少距 离?
C

B
A


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