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2005-2009年高考数学(理)试题及答案_图文

2005 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅰ) 第Ⅰ卷 一.选择题 (1)复数

2 ? i3 1? 2 i

?(

) (B) ? i

(A) i

(C) 2

2 ?i

(D) ? 2

2 ?i

(2)设 I 为全集, S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ( ) (A) IS1∩(S2∪S3)=Φ (C) IS1∩( I S 2 ∩
I

? S 2 ? S3 ? I ,则下面论断正确的是

(B)S1 S3)=Φ (D)S1 (

(

IS2∩ I S3)

I S3)

IS2∪

(3)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π ,则球的表面积为 (A) 8







(B) 8 π

(C) 4
2



(D) 4 π k 的取值范围是

0 (4)已知直线 l 过点 ( ?2, ) ,当直线 l 与圆 x
( ) (A) ? 2 (

? y 2 ? 2x 有两个交点时,其斜率

2 , 2) 2 2 2 (C) ? ( , ) 4 4

(B) ? (

2,2) 1 1 ( (D) ? , ) 8 8


(5)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三 角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(

(A)

2 3

(B)

3 3

E

M

N

F

4 (C) 3
2

3 (D) 2

D

C
H
B

A

(6)已知双曲线 离心率为(

x ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合,则该双曲线的 2 a



(A)

3 2

(B)

3 2

(C)

6 2


(D)

2 3 3

(7)当 0

?x?

π 1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 时,函数 f ( x) ? 2 sin 2 x
- 1 -

的最小值为(

(A)2 (8)设 b

(B) 2

3

(C)4

(D) 4 )

3

? 0 ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? a 2 ? 1 的图像为下列之一则 a 的值为(
y y

y

y

?1

1

O

x

?1 O

1

x
?1? 5 2

O

x
?1? 5 2

O

x

(A) 1

(B) ? 1

(C)

(D)

(9)设 0 ?

a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是(
(C) (??, loga



(A) (??,0) (B) (0 , ? ?)

3)

(D) (loga

3, ? ?)


(10)在坐标平面上,不等式组 ?

?y ? x ?1 所表示的平面区域的面积为( ? y ? ?3 | x | ?1
3 2
?1 A

y
O

(A)

2
3 2 2

(B)

1
B

1

x

(C)

(D)2

(11)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin ④ cos 2

A ? cot B ? 1

A ? sin B ? 2

③ sin 2

A ? cos 2 B ? 1
) (B)②④ (C)①④

A ? cos 2 B ? sin 2 C

其中正确的是( (A)①③

(D)②③ ) (D)36 对

(12)过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有( (A)18 对 (B)24 对 (C)30 对

第Ⅱ卷 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. ) (13)若正整数 m 满足 10 m?1

? 2 512 ? 10 m ,则 m =
- 2 -

_

. (lg 2

? 0.3010 )

(14) (2 x ?

1 x

) 9 的展开式中,常数项为

. (用数字作答)

(15) ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH 实数 m ? .

? m(OA ? OB ? OC) ,则

(16)在正方体 ABCD? ①四边形 BFD ②四边形 BFD ③四边形 BFD ④四边形 BFD 以上结论正确的为
' ' ' '

A' B ' C ' D ' 中,过对角线 BD ' 的一个平面交 AA ' 于 E,交 CC ' 于 F,则
D?

E 一定是平行四边形 E 有可能是正方形 E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 E 有可能垂直于平面 BB ' D
. (写出所有正确结论的编号)

C?
B?
F

A?
E
D A

C
B

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17) (本大题满分 12 分) 设函数

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?π ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

π . 8

(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数

y ? f (x) 的单调增区间;

(Ⅲ)证明直线 5 x ? 2 y ? c (18) (本大题满分 12 分)

? 0 于函数 y ? f (x) 的图像不相切.

已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90 PA=AD=DC=

?

, PA ? 底面 ABCD,且
P
M

1 2

AB=1,M 是 PB 的中点.

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.

A

B

D
(19) (本大题满分 12 分) 设等比数列

C

?an ?的公比为 q ,前 n 项和 S n ? 0 (n ? 1,2,?) .
3 a n ?1 ,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 与 Tn 的大小. 2
- 3 -

(Ⅰ)求 q 的取值范围; (Ⅱ)设 bn

? an?2 ?

(20) (本大题满分 12 分) 9 粒种子分种在 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0 .5 ,若一个坑内至少有 1 粒种子发 芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次, 每补种 1 个坑需 10 元,用ξ 表示补种费用,写出ξ 的分布列并求ξ 的数学期望. (精确到 0.01 ) (21) (本大题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a

? (3, ? 1) 共线.

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM

? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值.

(22) (本大题满分 12 分) (Ⅰ)设函数 (Ⅱ)设正数

f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求 f (x) 的最小值;

p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1,证明:

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n

2006 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题 (1) 、设集合 M A. M

? x x2 ? x ? 0
B. M

?

? , N ? ?x x ? 2? ,则
C. M

?N ??

?N ?M

?N ?M

D. M

?N ?R

(2) 、已知函数 A.

y ? ex 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则
B. - 4 -

f ? 2x ? ? e2 x ( x ? R)

f (2 x) ? ln 2 ? ln x( x ? 0)

C.

f ? 2x ? ? 2ex ( x ? R)
2

D.

f ? 2x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0)
1 4

(3) 、双曲线 mx A. ?

? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
B. ? 4
2

1 4

C. 4

D.

(4) 、如果复数 (m A. 1 (5) 、函数

? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ?
B. ?1 C.

2

D. ?

2

?? ? f ? x ? ? tan ? x ? ? 的单调增区间为 4? ?
? ?

A. ? k? C. ? k?

? ?

?
2

, k? ?

??

?,k ? Z 2?

B.

? k? , ? k ?1?? ? , k ? Z
? ? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z 4 4?
3 4

D. ? k?

?
4

, k? ?

3? 4 2 3

? ?,k ? Z ?
? 2a ,则 cos B ?

(6) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 、 b、c,若 a、b、 成等比数列,且 c c A.

1 4

B.

C.

2 4

D.

(7) 、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 A. 16? (8) 、抛物线 A. B. 20? C. 24? D. 32?

y ? ?x

2

上的点到直线 B.

4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
C.

4 3

7 5

8 5

D. 3 ,

(9) 、设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 ? a2 且 a i 顺时针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i A. ?b1 ? b2 C. b1 ? b2 (10) 设 、
o

? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 bi ? 2 ai ? b3 ? 0 ? b3 ? 0

? 1, 2,3 ,则

? b3 ? 0

B. b1 ? b2 D. b1 ? b2

? b3 ? 0

若 则 ?an ? 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2a3 ? 80 , a1 B. 105 C. 90 D. 75

?a ?a ? 1 2 1 3

A. 120

(11) 、用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不 允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为 A. 8

5cm2

B. 6

10cm2

C. 3

55cm2

D. 20cm

2

(12) 、设集合 I

? ?1,2,3,4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的
- 5 -

数,则不同的选择方法共有

A. 50种

B. 49种

C. 48种 第Ⅱ卷

D. 47种

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在横线上。 (13) 、已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 _______________。 (14) 、设 z

6

,则侧面与底面所成的二面角等于

? 2 y ? x ,式中变量 x、 y 满足下列条件 2 x ? y ? ?1 3x ? 2 y ? 23 y ?1

则 z 的最大值为_____________。 (15) 、安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有__________种。 (用数字作答) ( 16 )、 设 函 数

f ? x ? ? cos

?

3x ? ? ? 0 ? ? ? ? ?

?

。若

f ? x? ? f/ ? ? 是 奇 函 数 , 则 x

? ? __________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 、

?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos
出这个最大值。

B?C 2

取得最大值,并求

(18)(本小题满分 12 分) 、 A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成, 其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服 用 B 有效的多, 就称该试验组为甲类组。 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 (Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ? 的分布列和数学期望。

2 3

, 服用 B 有效的概率为

1 2



- 6 -

(19)(本小题满分 12 分) 、 如图, l1 、 l2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点 A、B 在 l1 上,C 在 l2 上,

AM ? MB ? MN 。
(Ⅰ)证明

AB ⊥ NB ;
O

(Ⅱ)若 ?ACB ? 60 ,求 NB 与平面 ABC 所

成角的余弦值。

(20)、 (本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以 F 1

? 0, ? 3 ? 和 F ? 0, 3 ? 为焦点、离心率为
2

3 的椭圆, 2

设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、B, 且向量 OM

???? ?

??? ??? ? ? ? OA ? OB 。求:

(Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)

???? ? OM

的最小值。

(21)(本小题满分 14 分) 、

1 ? x ? ax e 。 1? x (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性;
已知函数

f ? x? ?

(Ⅱ)若对任意 x ?

? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1,求 a 的取值范围。

(22)(本小题满分 12 分) 、 设数列

?an ? 的前 n 项的和
- 7 -

Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;

(Ⅱ)设 Tn

?

2n Sn

,n=1,2,3,?,证明:

?T ? 2
i ?1 i

n

3

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ) 第Ⅰ卷 一、选择题: 本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 (1) ? 是第四象限角, tan ? A
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??

1 5 a 1? i ? (2)设 a 是实数,且 是实数,则 a ? ( 1? i 2 1 3 A B 1 C 2 2 ? ? ? ? 6) (3)已知向量 a ? (?5, , b ? (6, ,则 a 与 b ( 5)
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1 5

B

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?

5 ,则 sin ? ? ( 12 5 C D 13
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?


5 13

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D

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2



A C

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垂直 平行且同向

B

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不垂直也不平行 D
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平行且反向 )

0) 0) (4)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为(

A

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x2 y2 ? ?1 4 12

B

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x2 y2 ? ?1 12 4

- 8 -

C

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x2 y2 ? ?1 10 6

D

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x2 y2 ? ?1 6 10

(5)设 a,b ? R ,集合

?1,a ? b,a? ? ?0, ,b ? ,则 b ? a ? ( ? ?
b ? a ?
C
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A

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1

B

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?1

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2

D

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?2

(6)下面给出的四个点中,到直线 x ? 区域内的点是( A
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y ? 1 ? 0 的距离为

2 2

,且位于 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面 ?x ? y ?1 ? 0
(1, 1) ?
D1 A1 B1 C1

) B
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(11) ,

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(?11) ,

C

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(?1, 1) ?

D

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(7)如图,正四棱柱 直线

ABCD ? A1B1C1D1 中, AA ? 2 AB ,则异面 1


A1B 与 AD1 所成角的余弦值为(
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A

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C

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1 5 3 5

B

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2 5 4 5
A D B C

D

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(8)设 a

? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 ? a, ? 上的最大值与最小值之差为 2a

1 2

,则 a ? (



A

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2

B

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2

C

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2 2

D

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4

(9)

f ( x) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x) , g ( x) 均为偶函数”
) B D
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是“ h( x) 为偶函数”的( A C 充要条件 必要而不充分的条件

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充分而不必要的条件

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既不充分也不必要的条件

(10) ? x A
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? ?

2

1? ? ? x?

n

的展开式中,常数项为 15 ,则 n ? (



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3

B

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4

C

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5

D

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6

(11)抛物线 分相交于点

y 2 ? 4x 的焦点为 F

,准线为 l ,经过 F 且斜率为 )

3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部

A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是(
- 9 -

A

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4

B

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3 3

C

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4 3

D

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8


(12)函数

f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2

x 的一个单调增区间是( 2
C
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A

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? ? 2? ? ? , ? ?3 3 ?

B

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?? ?? ? ,? ?6 2?

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? ?? ? 0, ? ? 3?

D

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? ? ?? ?? , ? ? 6 6?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
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把答案填在横线上

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(13)从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人 不能担任文娱委员,则不同的选法共有 (14)函数
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种.

(用数字作答)

y ? f ( x) 的图像与函数 y ? log3 x( x ? 0) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ?

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(15 )等比数列
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h t t :p/w x c8 3 3 2 0 0o m / . .c wxckt @126.c o m

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比为
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(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 则该三角形的斜边长为
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已知正三棱柱的底面边长为 2,

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 (17) (本小题满分 10 分) 设锐角三角形

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解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

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ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A

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(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围
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(18) (本小题满分 12 分) 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为 ξ 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1

P

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期 - 10 -

或 5 期付款,其利润为 300 元 (Ⅰ)求事件

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? 表示经销一件该商品的利润

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A: “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P ( A) ;
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(Ⅱ)求 ? 的分布列及期望 E? (19) (本小题满分 12 分) 四棱锥

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S ? A B C D , 底 面 A B C D为 平 行 四 边 形 , 侧 面 SBC ? 中
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底面

ABCD
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已知

∠ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3
(Ⅰ)证明 SA ?

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BC ;
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S
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(Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小

C
(20) (本小题满分 12 分) 设函数

B A

D

f ( x) ? ex ? e? x

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(Ⅰ)证明:

f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围
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(Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有

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(21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 3 2
A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P

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过 F 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直 1

线交椭圆于

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2 2 x0 y0 ? ?1; (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: 3 2

y

A D P

(Ⅱ)求四边形

ABCD 的面积的最小值

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F1 B

o

F2 C

x

(22) (本小题满分 12 分) 已知数列 (Ⅰ)求

?an ? 中 a1 ? 2 , an?1 ? ( ?an ? 的通项公式;

2, … 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 3,

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(Ⅱ)若数列

?bn ? 中 b1 ? 2 , bn?1 ?

3bn ? 4 , 3, , n ? 1 2, … , 2bn ? 3
- 11 -

证明:

2, … 2 ? bn ≤ a4n?3 , n ? 1, 3,

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ) 第Ⅰ卷 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.函数 A.

y ? x( x ?1) ? x 的定义域为(
B.



? x | x ≥ 0? ? x | x ≥ 1? ? ?0?

? x | x ≥ 1? ? x | 0 ≤ x ≤1?

C.

D.

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作 时间 t 的函数,其图像可能是( )

s

s

s

s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

3.在 △ ABC 中, A.

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? (
B.
2



2 1 b? c 3 3

5 2 c? b 3 3

C. )

2 1 b? c 3 3

D.

1 2 b? c 3 3

4.设 a ? R ,且 (a ? i) A.2 B.1

i 为正实数,则 a ? (
D. ?1

C.0

5.已知等差数列 A.138 6. 若函数 A. e
2 x ?1

?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? (
C.95 D.23



B.135

y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln x ? 1的图像关于直线 y ? x 对称, f ( x) ?( 则
B. e
2x



C. e

2 x ?1

D. e

2 x?2

7.设曲线

A.2

x ?1 2) 在点 (3, 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 B. C. ? D. ? 2 2 2 y?



- 12 -

8.为得到函数

π? ? y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3? ?
5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 9.设奇函数 ( )

f ( x) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 ?

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x

, , A. (?1 0) ? (1 ? ?) ? , C. (??, 1) ? (1 ? ?)
10.若直线 A. a
2

? 1) B. (??, 1) ? (0, , 1) D. (?1 0) ? (0,


x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ? ) ,则( sin a b
B. a
2

? b2 ≤1

? b2 ≥1

C.

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

11.已知三棱柱 中心,则

ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ ABC 的


AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(
B.

A.

1 3

2 3

C.

3 3

D.

2 3


12.如图,一环形花坛分成 A.96 B.84

A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,
C.60 D.48

且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为(

A B

D C

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

- 13 -

? x ? y ≥ 0, ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, z ? 2 x ? y 的最大值为 则 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
14.已知抛物线 积为



y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面


15.在 △ ABC 中, AB 离心率 e ?

? BC , cos B ? ?

7 , .若以 A B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的 18



16.等边三角形

ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为
所成角的余弦值等于 .

3 3



M ,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN
17. (本小题满分 10 分)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

3 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? c . 5 (Ⅰ)求 tan A cot B 的值;
设 △ ABC 的内角 (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥

A ? BCDE中 , 底 面 B C D E为 矩 形 , 侧 面 ABC ?

底面

B C D E, BC ? 2 ,
A

CD ? 2 , AB ? AC .
(Ⅰ)证明:

AD ? CE ;
ABE 所成的角为 45? ,
C B D E

(Ⅱ)设 CE 与平面 求二面角 C ?

AD ? E 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .
f ( x) 的单调区间;

(Ⅰ)讨论函数 (Ⅱ)设函数

? 2 1? f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ? ? 3 3?
- 14 -

20. (本小题满分 12 分) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性 的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙: 先任取 3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只, 然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

21. (本小题满分 12 分) 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1 的直 线分别交 l1,l2 于

??? ??? ??? ? ? ? A,B 两点.已知 OA 、 、 AB OB

成等差数列,且 BF 与 FA 同向.

??? ?

??? ?

(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设

AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

22. (本小题满分 12 分) 设函数

f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .
f ( x) 在区间 (0, 是增函数; 1)

(Ⅰ)证明:函数 (Ⅱ)证明: an

? an?1 ? 1 ;
a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

(Ⅲ)设 b ? (a1, ,整数 k ≥ 1)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷) 理科数学 第Ⅰ 卷高.考.资.源.网 .一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U=A ? B,则集合 CU ( A ? B) 中的元素共 有(A)

- 15 -

(A) 个 3

(B) 个 4

(C) 个 5

(D) 个 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 6 已知

Z =2+i, 1+i

则复数 z=(B )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A)-1+3i (3) 不等式 (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

X ?1 X ?1

<1 的解集为( D )

(A) {x

0? x?1? ? ? x x? 1?

(B)

? x 0? x ?1? (C) ?x ?1? x?0?

(D)

? x x? 0?

x2 y 2 (4)设双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( C ) a b
(A)

3

(B)2

(C)

5

(D)

6

(5) 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同 学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 D )

(D)345 种

b (6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · =0,则
(A) ? 2 (7) 已知三棱柱 则异面直线 (B)

? a ? c? ? ?b ? c? 的最小值为 (
(D) 1 ?

D )

2 ?2

(C) ?1

2

ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点,
D )

AB 与 CC1 所成的角的余弦值为(
(B)

(A)

3 4

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

(8)如果函数

? 4? ? y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为(A) ? 3 ?
(B)

(A)

? 6

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

(9)已知直线 y=x+1 与曲线 y (A)1 (B)2
o

? ln( x ? a) 相切,则 α 的值为(
(C) -1 (D)-2

B )

(10)已知二面角 α-l-β 为 60

,动点 P、Q 分别在面 α、β 内,P 到 β 的距离为 - 16 -

3 ,Q 到 α 的距离

为2

3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为(
(B)2 (C)

C )

(A) (11)函数

2 3

(D)4 D )

f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则(
(B)

(A)

f ( x) 是偶函数

f ( x) 是奇函数
(D)

(C)

f ( x) ? f ( x ? 2)

f ( x ? 3) 是奇函数
A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F 12.已知椭圆 C : 2

,右准线为 l ,点

??? ? ??? ? ???? ? FA ? 3FB ,则 | AF | =
(A).

2

(B). 2

(C).

3

(D). 3 w

第 II 卷 二、填空题: 13.

? x ? y?

10

的展开式中, x

7

y3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于

。 。 同 一 球 。 面 上 , 若

14. 设等差数列 直 三

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =
棱 柱

15.

A B ?C1

1

A 的 各 B C 1









AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于
16. 若

?
4

?x?

?
2

,则函数

y ? tan 2x tan3 x 的最大值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17(本小题满分 10 分) 在

?ABC

中,内角 A、B、C 的对边长分别为

a、b



c , 已 知 a 2 ? c 2 ? 2b , 且

s i nA cos ? 3 cos C A

s C 求,b in
- 17 -

18. (本小题满分 12 分) 如 图 ,四 棱锥

S ? ABCD

中 , 底面

ABCD

为 矩形 , =60°

SD ?

底 面

ABCD ,

AD ? 2 DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S

S M

? AM ? B 的大小。

D A B

C

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中, 甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (I)求甲获得这次比赛胜利的概率; (II)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 得分布列及数学期望。

20. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 (I)设 bn

1 n ?1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? n n 2

?

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

21(本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 E : 个点。 (I)求 r 得取值范围; (II)当四边形

y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四

ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

- 18 -

22. 本小题满分 12 分。 设函数

0], f ? x ? ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1, x2 ?[1, 2].

(I)求 b、 c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 (II)证明: ?10 ?

? b, c ? 的区域;

f ? x2 ? ? ?

1 2

- 19 -

- 20 -

- 21 -

- 22 -

- 23 -

- 24 -

- 25 -

- 26 -

2006 年答案: 一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 二、填空题: 13. π 3 14. 11 15. 2400 16. π 6 10.B 11.B 12.B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解: 由 A+B+C=π , 得 π B+C A B+C A = - , 所以有 cos =sin . 2 2 2 2 2

cosA+2cos

B+C A A A =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin 2 2 2 2

A 1 3 =-2(sin - )2+ 2 2 2 π A 1 B+C 3 当 sin = , 即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 2 2 3 2 2 18.解: (1)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小鼠有 i 只" , i=0,1,2, Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小鼠有 i 只" , i=0,1,2, 1 2 4 2 2 4 1 1 1 依题意有: P(A1)=2× × = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , 3 3 9 3 3 9 2 2 4 1 1 1 P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2) 2 2 2 = 1 4 1 4 1 4 4 × + × + × = 4 9 4 9 2 9 9

4 5 125 4 5 100 (Ⅱ)ξ 的可能值为 0,1,2,3 且ξ ~B(3, ) . P(ξ =0)=( )3= , P(ξ =1)=C31× ×( )2= 9 9 729 9 9 243 4 5 80 4 64 , P(ξ =2)=C32×( )2× = , P(ξ =3)=( )3= 9 9 243 9 729 ξ 的分布列为: ξ P 0 125 729 1 100 243 2 80 243 3 64 729

4 4 数学期望: Eξ =3× = . 9 3 19.解法一: (Ⅰ)由已知 l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得 l2⊥平面 ABN.由已知 MN⊥l1 , AM=MB=MN,可 知 AN=NB 且 AN⊥NB. 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影. ∴AC⊥NB (Ⅱ )∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC 为正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是 正三角形 ABC 的中心,连结 BH,∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. l1 A M B - 27 - H N C l2

3 AB 3 HB 6 在 Rt△NHB 中,cos∠NBH= = = . NB 3 2 AB 2 解法二: 如图,建立空间直角坐标系 M-xyz.令 MN=1, 则有 A(- 1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), (Ⅰ)∵MN 是 l1、 的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面 ABN. l2 平行于 z 轴. 故 l2 → → → → 可设 C(0,1,m).于是 AC =(1,1,m), NB =(1,-1,0). ∴AC ·NB =1+(- 1)+0=0 ∴AC⊥NB. l1 A

l2 z C H y M B x N

→ → → → ( Ⅱ ) ∵ AC =(1,1,m), BC =( - 1,1,m), ∴ | AC |=| BC |, 又 已 知 ∠ ACB=60 ° , ∴ △ ABC 为 正 三 角 形,AC=BC=AB=2. 在 Rt△CNB 中,NB= 2, 可得 NC= 2,故 C(0,1, 连结 MC,作 NH⊥MC 于 H,设 H(0,λ , → MC=(0,1, ∴H(0, 2).

→ 2λ ) (λ >0). ∴HN=(0,1-λ ,- 2λ ),

1 → → 2). HN·MC = 1-λ -2λ =0, ∴λ = , 3

1 2 2 2 1 2 → → , ), 可得HN=(0, , - ), 连结 BH,则BH=(-1, , ), 3 3 3 3 3 3

2 2 → → → → ∵HN·BH=0+ - =0, ∴HN⊥BH, 又 MC∩BH=H,∴HN⊥平面 ABC, 9 9 → ∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.又BN=(-1,1,0), 4 → → 3 BH·BN 6 ∴cos∠NBH= = = 2 3 → → × 2 |BH|·|BN| 3 y2 x2 20.解: 椭圆方程可写为: 2 + 2 =1 a b x2+ 式中 a>b>0 , 且

?a -b =3 ? 3= 3 ?a 2

2

2

得 a2=4,b2=1,所以曲线 C 的方程为:

y2 =1 (x>0,y>0). y=2 1-x2 (0<x<1) y '=- 4

2x 1-x2 4x0 ,得切线 AB 的方程为: y0

设 P(x0,y0),因 P 在 C 上,有 0<x0<1, y0=2 1-x02 , y '|x=x0= - y=-

4x0 1 4 (x-x0)+y0 . 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x= , y= . y0 x0 y0

→ → → 由OM=OA +OB得 M 的坐标为(x,y), 由 x0,y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方程为: 1 4 + 2 =1 (x>1,y>2) x2 y

- 28 -

→ (Ⅱ)| OM|2= x2+y2,

y2=

4 1 1- 2 x

=4+

4 , x2-1

4 4 → ∴| OM|2= x2-1+ 2 +5≥4+5=9.且当 x2-1= 2 ,即 x= 3>1 时,上式取等号. x -1 x -1 → 故|OM|的最小值为 3. 21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= (ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= 为增函数. (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数. a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x (-∞, - f '(x) f(x) f(x)在(-∞, - + ↗ a-2 ), ( a a-2 ) a (- a-2 , a - ↘ a-2 ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- a a-2 ) a ( a-2 ,1) a + ↗ a-2 , a (1,+∞) + ↗ a-2 )为减函数. a a-2 , x2= a a-2 . a ax2+2-a -ax e . (1-x)2

2x2 - e 2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在(-∞,1), (1,+∞). (1-x)2

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1. (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= 1 2 a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1 a 1+x - >1 且 e ax≥1,得 1-x

(ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有

f(x)=

1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1. 1-x 1-x

4 1 2 4 1 2 22.解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2n+1+ , n=1,2,3,? , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ , n=2,3,4,? 3 3 3 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1=


4 1 (a -a )- ×(2n+1-2n),n=2,3, ? 3 n n-1 3

整理得: an+2n=4(an-1+2n 1),n=2,3, ? , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2n=4×4n 1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, ?, (Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= 4 1 2 1 ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3 - 29 -


2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 Tn= 2n 3 2n 3 1 1 = × n+1 = ×( n - n+1 ) Sn 2 2 2 -1 (2 -1)(2n-1) 2 -1

所以,

? Ti
i ?1

n

=

3 2

1 ? ( 2 -1 - 2
i

n

i+1

1 ) -1

i?1

3 1 1 3 = ×( 1 - i+1 )< 2 2 -1 2 2 -1

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ) 参考答案 一、选择题: (1)D (7)D 二、填空题: (13) 36 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由 a (14) 3
x

(2)B (8)D

(3)A (9)B

(4)A (10)D

(5)C (11)C

(6)C (12)A

( x ?R)

(15)

1 3

(16) 2

3

? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

由 △ ABC 为锐角三角形得 B

?

π 6

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(Ⅱ) cos A ? sin C

? ? ? ?? ? ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? 2 2 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

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? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? , 3 3 6
所以

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1 ? ?? 3 sin ? A ? ? ? 2 ? 3? 2

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由此有

3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
- 30 -

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? (18)解: (Ⅰ)由 知

? 3 3? ? 2 ,? 2? ? ?

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A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”

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A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”

P( A) ? (1 ? 0.4)2 ? 0.216 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784
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(Ⅱ) ? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元

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P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 ,

P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 , P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2
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? 的分布列为 ?
P

200 0.4

250 0.4

300 0.2

E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2
? 240 (元)
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(19)解法一: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结

S

S B C 底 面 A B C D, 得 ⊥ ABCD 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO ,
侧面
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AO ,由 SO ⊥ 底 面
D

C A

O B

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又 ∠ABC

? 45? ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,
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由三垂线定理,得 SA ⊥ BC

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 故 SA ⊥ AD ,由

AD ∥ BC ,

AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得
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SO ? 1 , SD ? 11

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- 31 -

1 ?1 ? △SAB 的面积 S1 ? AB ? SA2 ? ? AB ? ? 2 2 ?2 ?
连结 DB ,得 △DAB 的面积 S 2

2

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?

1 AB?AD sin135? ? 2 2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB

? VS ? ABD ,得

1 1 h?S1 ? SO?S 2 , 3 3
解得 h

? 2

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设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ?

?

h 2 22 ? ? SD 11 11
22 11

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所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin 解法二: (Ⅰ) SO ⊥ BC , 作 垂足为 O , 连结 因为 SA ? 又 ∠ABC

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AO , 由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD , SO ⊥ 平面 ABCD 得

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SB ,所以 AO ? BO

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? 45? , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB

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如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz ,

??? 0, A( 2,0) , B(0,2, , C (0, 2, , S (0,1) , SA ? ( 2, ?1) , 0, 0) ? 0) 0,
??? ??? ? ??? ? CB CB ? (0, 2, , SA? ? 0 ,所以 SA ⊥ BC 2 0)
(Ⅱ)取
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z S G C D
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? 2 2 ? AB 中点 E , E ? 0? ? 2 ,2 ,? , ? ?

o x A E

B

y

? 2 2 1? 连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ? ? 4 ,4 , ? 2? ? ?

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???? ? 2 2 1 ? ??? ? 2 2 ? ??? ? OG ? ? , , ? , SE ? ? , , , AB ? (? 2,2, 1? 0) ? 4 4 2? ? 2 2 ? ? ? ? ? ??? ???? ??? ???? ? SE? ? 0 , AB? ? 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直 OG OG
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- 32 -

所以 OG 互余
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???? ??? ? ? 平面 SAB , OG 与 DS 的夹角记为 ? , SD 与平面 SAB 所成的角记为 ?

,则 ? 与 ?

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??? ? D( 2, 2, , DS ? (? 2, 21) 2 0) 2 , ???? ??? ? OG?DS 22 22 , sin ? ? , cos ? ? ???? ??? ? ? 11 11 OG ?DS
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所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin (20)解: (Ⅰ)
x

22 11

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f ( x) 的导数 f ?( x) ? ex ? e? x

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由于 e

? e-x ≥ 2 ex ? ? x ? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 e
? 0 时,等号成立)
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(当且仅当 x

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(Ⅱ)令 g ( x) ?

f ( x) ? ax ,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x

? 0 时, g?( x) ? ex ? e? x ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,

? 故 g ( x ) 在 (0,∞) 上为增函数,
所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即

f ( x) ≥ ax

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(ⅱ)若 a

? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 2



此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (21)证明: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ?

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g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾

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2 ? ?∞,?

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3 ? 2 ?1,
- 33 -



2 2 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,
2 2 x2 y 2 1 x2 y0 ? ≤ 0 ? 0 ? ?1 3 2 2 2 2

所以,

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(Ⅱ) ⅰ)当 (

BD 的 斜 率 k

存在且

k ? 0 时 , BD 的 方 程 为 y ? k( x? 1) , 代 入 椭 圆 方 程

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 3 2
设 B( x1,y1 ) , D( x2,y2 ) ,则

y
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A D P

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F1

o

F2 C

x

x1 ? x2 ? ?

6k 3k ? 6 , x1 x2 ? 2 3k ? 2 3k 2 ? 2
2 2

B

BD ? 1 ? k 2 ?x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )??( x2 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?
因为

4 3(k 2 ? 1) ; 3k 2 ? 2

AC 与 BC 相交于点 P ,且 AC 的斜率为 ?

1 , k

所以,

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 ?k ? ? 4 3(k ? 1) AC ? 1 2k 2 ? 3 3? 2 ? 2 k
ABCD 的面积

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四边形

1 24(k 2 ? 1) 2 ??(k 2 ? 1) 2 96 S ? ?BD AC ? ≥ ? 2 2 2 2 (3k ? 2)(2k ? 3) ? (3k 2 ? 2) ? (2k 2 ? 3) ? 25 ? ? 2 ? ?
当k
2

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? 1 时,上式取等号

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? 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S ? 4 96 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为 25
(ⅱ)当 BD 的斜率 k
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(22)解: (Ⅰ)由题设:

an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(an ? 2) ? ( 2 ?1)(2 ? 2)
- 34 -

? ( 2 ?1)(an ? 2) ? 2 , an?1 ? 2 ? ( 2 ?1)(an ? 2)
所以,数列
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?a

n

? 2

? 是首项为 2 ?

2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列,

an ? 2 ? 2( 2 ?1)n ,
即 an 的通项公式为 an

2, … ? 2 ?( 2 ? 1) n ? 1? , n ? 1, 3, ? ?
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(Ⅱ)用数学归纳法证明 (ⅰ)当 n

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? 1 时,因 2 ? 2 , b1 ? a1 ? 2 ,所以
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2 ? b1 ≤ a1 ,结论成立
(ⅱ)假设当 n 也即 0 ? bk 当n

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? k 时,结论成立,即 2 ? bk ≤ a4k ?3 ,
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? 2 ≤ a4k ?3 ? 3

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? k ? 1 时,

bk ?1 ? 2 ?

3bk ? 4 (3 ? 2 2)bk ? (4 ? 3 2) (3 ? 2 2)(bk ? 2) ? 2? ? ? 0, 2bk ? 3 2bk ? 3 2bk ? 3



1 1 ? ? 3? 2 2 , 2bk ? 3 2 2 ? 3

所以

bk ?1 ? 2 ?

( 3 2 2 k )?( ? b 2bk ? 3
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2 ) ? ( 3 ? 2 22b) (? k

2)

≤ ( 2 ?1)4 (a4k ?3 ? 2) ? a4k ?1 ? 2
也就是说,当 n

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? k ? 1 时,结论成立

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根据(ⅰ)和(ⅱ)知

2, … 2 ? bn ≤ a4n?3 , n ? 1, 3,

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2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ)参考答案 1. C. 由x

? x ?1? ? 0, x ? 0, 得x ? 1, 或x ? 0;
- 35 -

2. A.

3. A.

1 2 1 2 at , 匀速行驶 s ? vt , 减速行驶 s ? ? at 结合函数图像可知; 2 2 ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ? ???? 1 ? 2 ? ? 由 AD ? AB ? 2 AC ? AD , 3 AD ? AB ? 2 AC ? c ? 2b , AD ? c ? b ; 3 3
根据汽车加速行驶 s

?

?

?

4. D.

?a ? i?
由 a2 由

2

i ? ? a 2 ? 2ai ? 1? i ? ?2a ? ? a 2 ? 1? i ? 0, a ? ?1;

5. C.

? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10 ? a1 ? ?4, d ? 3, S10 ? 10a1 ? 45d ? 95 ;
2? y ?1?

6. B.

y ? ln x ? 1 ? x ? e

, f ? x ? 1? ? e

2? x ?1?

, f ? x ? ? e2 x ;

7.D.



y?

x ?1 2 2 1 ? 1? , y' ? ? , y ' |x?3 ? ? , ?a ? 2, a ? ?2 ; 2 x ?1 x ?1 2 ? x ?1?
5? ? ? ? ? ? sin 2 ? x ? ? , 只需将函数 y ? sin 2 x 的图 12 ? ? ?

8.A.

?? 5? ? ? y ? cos ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? 3? 6 ? ?
5π 12
个单位得到函数

像向左平移

π? ? y ? cos ? 2 x ? ? 的图像. 3? ?
,则

9.D.由奇函数 当x

f ( x) 可知

f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) ? ? 0 ,而 f (1) ?0 x x

f (?1) ? ? f(1) ? 0



? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (1) ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? f (?1) ,又 f ( x) 在 (0, ?) 上为增 ?

函数,则奇函数

f ( x) 在 (??, 0) 上为增函数, 0 ? x ? 1, 或 ? 1 ? x ? 0 .
x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b

10.D.由题意知直线

1 1 1 ? a 2 b2

≤1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

另解:设向量 m

1 1 cos ? sin ? = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 ? ?1 a b a b

由 m?n≤

m n 可得 1 ?

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? a b a 2 b2
,则

11.C . 由 题 意 知 三 棱 锥

A1 ? ABC为 正 四 面 体 , 设 棱 长 为 a

AB ? 3 a, 棱 柱 的 高 1

2 3 2 6 ,故 AO ? a 2 ? AO 2 ? a 2? ( ? a) ? a(即点 B1 到底面 ABC 的距离) AB1 与底 1 3 2 3
- 36 -



ABC 所成角的正弦值为

A1O 2 . ? AB1 3

另解:设

??? ??? ???? ? ? ??? ??? ???? ? ? AB, AC, AA1 为空间向量的一组基底, AB, AC, AA1 的两两间的夹角为 60 0
???? ???? 1 ??? 1 ???? ???? ??? ???? ? ? ABC 的法向量为 OA1 ? AA1 ? AB ? AC , AB1 ? AB ? AA1 3 3

长度均为 a ,平面

???? ???? 2 ???? 6 ???? OA1 ? AB1 ? a 2 , OA1 ? , AB1 ? 3 3 3 ????????? OA1 ? AB1 2 则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为 ???? ???? ? 3 AO AB1 1
12.B. 分 三 类 : 种 两 种 花 有
2 3 4 A4 ? 2 A4 ? A4 ? 84.

.

2 3 4 A4 种 种 法 ; 种 三 种 花 有 2A4 种 种 法 ; 种 四 种 花 有 A4 种 种 法 . 共 有

另解:按

A ? B ? C ? D 顺序种花,可分 A、C 同色与不同色有 4 ? 3 ? (1? 3 ? 2 ? 2) ? 84

13.答案:9.如图,作出可行域, 作出直线 l0 时,函数 z

: x ? 2 y ? 0 ,将 l0 平移至过点 A 处
? 2 x ? y 有最大值 9.

x? y ?0 x? y?3? 0

y

x?3

O

x
A(3, ?3)

14. 答案:2.由抛物线

y ? ax 2 ? 1 的焦点坐标为

x ? 2y ? 0
13 题图

(0,

1 1 1 ? 1) 为坐标原点得, a ? ,则 y ? x 2 ? 1 4 4a 4

与坐标轴的交点为 (0, ?1),(?2,0),(2,0) ,则以这三点围成的三角形的面积为

1 ? 4 ?1 ? 2 2

7 25 2 2 2 则 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 18 9 5 5 8 2c 3 AC ? , 2a ? 1 ? ? , 2c ? 1, e ? ? . C 3 3 3 2a 8 1 M 16.答案: .设 AB ? 2 ,作 CO ? 面ABDE, 6 N OH ? AB ,则 CH ? AB , ?CHO 为二面角 C ? AB ? D 的平面角 A o H CH ? 3, OH ? CH ? cos ?CHO ? 1 ,结合等边三角形 ABC D B
15.答案: .设

3 8

AB ? BC ? 1 ,cos B ? ?

E

- 37 -

16 题图(1)

与正方形

ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则 AN ? EM ? CH ? 3

???? 1 ???? ??? ???? 1 ???? ??? ???? ???? 1 ??? ? ? ? ? ? ? 1 1 ???? ??? AN ? ( AC ? AB ), EM ? AC ? AE , AN ? EM ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AE ) ? 2 2 2 2 2 ???? ???? ? AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 ???? ???? ? ? z AN EM 6

C
另解:以 O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点

M
N
H
A

A(?1, ?1,0), B(1, ?1,0), E(?1,1,0), C(0,0, 2) ,

E

o

y

1 1 2 1 1 2 M (? , ? , ), N ( , ? , ), 2 2 2 2 2 2

B

D
16 题图(2)

x ???? 3 1 2 ???? ? 1 3 2 ???? ???? 1 ???? ???? ? ? 则 AN ? ( , , ), EM ? ( , ? , ), AN ? EM ? , AN ? EM ? 3 , 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? AN ? EM 1 故 EM ,AN 所成角的余弦值 ???? ???? ? . ? AN EM 6
17.解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin

3 c 5

3 3 3 3 A cos B ? sin B cos A ? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 3 1 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2 A 18.解: (1)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O , ? AB ? AC ,? AF ? BC , 又面 ABC ? 面 BCDE ,? AF ? 面 BCDE , G ? AF ? CE . B

E

tan ?CED ? tan ?FDC ?

2 2

F


C
- 38 -

O
18 题图

D

? ?OED ? ?ODE ? 90? ,??DOE ? 90? ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF ,? CE ? AD . (2)在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线,垂足为 G . ? CG ? AD , CE ? AD ,? AD ? 面 CEG ,? EG ? AD , 则 ?CGE 即为所求二面角的平面角.

CG ?

AC ? CD 2 3 ? AD 3

, DG

?

6 3

, EG

? DE 2 ? DG 2 ?

30 3



CE ? 6 ,则 cos ?CGE ?

CG 2 ? GE 2 ? CE 2 10 , ?? 2CG? GE 10

? 10 ? ? 10 ? C ? AD ? E 的大小 π ? arccos ? ??CGE ? π ? arccos ? ? 10 ? ,即二面角 ? ? 10 ? . ? ? ? ? ?
19. 解: (1) 当a
2

f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
?a ? a 2 ? 3 3

当a

2



? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? f ( x) 在 ? ??, , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递增 ? ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3
次数 概率 对于乙: 次数 概率 2 0.4 - 39 - 3 0.4 4 0.2

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

7 4

20.解: (Ⅰ)对于甲: 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2

0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.2 ?1 ? 0.2 ?1 ? 0.64 .
(Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数, ? 的期望为 E? 21. 解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , 由勾股定理可得: (m ? d ) 得: d
2

? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.4 ? 4 ? 0.2 ? 2.8 .

AB ? m , OB ? m ? d

? m2 ? (m ? d )2

?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 a 2 3 2 ?b? 1? ? ? ?a? 2
(Ⅱ)过 F 直线方程为

a x2 y 2 y ? ? ( x ? c ) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 b a b

将a

? 2b , c ? 5b 代入,化简有

15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b2 b

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ?b? ? ? ?

?? 32 5b ?2 28b2 ? ? ,解得 b ? 3 ?4 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? 5 ? ?? 15 ? ? ?? ?
故所求的双曲线方程为 22. 解析: (Ⅰ)证明: 故函数

x2 y 2 ? ? 1。 36 9

f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0

f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数;
? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

(Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
由函数

f ( x) 在区间 (0, 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 是增函数, 1) 1]
- 40 -

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立;
(ⅱ)假设当 x 那么当 n

? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1

? k ? 1 时,由 f ( x) 在区间 (0, 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得 1]

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) , ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ)(ⅱ)可得对任意的正整数 n , an 、 (Ⅲ)证明:由

? an?1 ? 1 恒成立.

f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得
k

a? a b k a a1 ? b ? ? ai ln ai ?? a k ?ln ? k ? b k 1
i ?1

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai
k

≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥0

? b ,则 a? a b k a ?? a k ?ln k ? b k 1
k k

a ?1 b ? ln ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ?1 b ka
i ?1 i ?1 i ?1

?1 b ka ? ??1 b 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. a ? 1 b a b( ? ? ? ln 1 a )

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ 卷) 理科数学答案 1 解:

A ? B ? {3, 4,5,7,8,9} , A ? B ? {4,7,9}?CU ( A ? B) ? {3,5,8} 故选

A。也可用摩

根律: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) 2 解: z

? (1 ? i) ? (2 ? i) ? 1 ? 3i,? z ? 1 ? 3i

故选 B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3.解:验 x=-1 即可。

- 41 -

解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为

y ' |x ? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 x0

4. 解得:

b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a
1 1 2

5.解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 (2) 乙组中选出一名女生有 C5 6. 解 :
2

? 225 种选法; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 1 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D

? ?? ? a, b, c

是 单 位 向 量

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? a ? c ? b ? c ? a? ? (a ? b)? ? c b c

?

??

?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? ? ? ? ? ? ? 1? | a ? b |? c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 故选 D. |
7. 解:设 BC 的中点为 D,连结 A D,AD,易知 ? 1 直 线

? ?A1 AB 即为异面
A1

C 1 B 1

AB



CC1

所 成 的 角 , 由 三 角 余 弦 定 理 , 易 知

C

AD AD 3 cos ? ? cos ?A1 AD ? cos ?DAB ? ? ? A1 A AB 4
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

.





D

D A B

8. 解:

? 4? ? ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? 3 ?
4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? 3 2 6 6
.故选 A

?2?

9. 解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则

y0 ? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又? y ' |x ? x0 ?
B

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1?a ? 2 . 故 答 案 选
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10. 解:如图分别作 QA ? ?于A, AC

? l于C, PB ? ? 于B,
- 42 -

PD ? l于D ,连 CQ, BD则?ACQ ? ?PBD ? 60?,

AQ ? 2 3, BP ? 3 ,? AC ? PD ? 2
又? PQ 当且仅当 解

?

AQ 2 ? AP 2 ? 12 ? AP 2 ? 2 3

AP ? 0 ,即 点A与点P 重合时取最小值。故答案选 C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
:

11.

?

f ( x ? 1)



f ( x ? 1)













? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

? 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) ,及点 (?1, 0) 对称,函数 f ( x) 是周期 T ? 2[1 ? (? 1)] ? 4的周期函
数.?

f (? x ? 1 ? 4) ? ? f ( x ? 1 ? 4) , f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ?3)

是奇函数。 故选 D

12. 解:过点 B 作 BM

??? ? ??? ? ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,故

| BM |?

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ? AF |? 2 .故选 A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m | 3 2 3 3

13. 解: 14. 解:

3 7 3 ?C10 ? (?C10 ) ? ?2C10 ? ?240

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15. 解:在 ?ABC 中

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外

接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ? ,球心为 O ,在 RT ?OBO ? 中,易得球半径 R 表面积为 4? R 16. 解:令 tan x
2

? 5 ,故此球的

? 20? . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? t, ?

?
4

?x?

?
2

? t ? 1 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4
- 43 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17. 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a 的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
2

? c 2 ? 2b 左侧是二次

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过

多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而 失分. 解 法 一 : 在

?ABC



? sin A cos C ? 3cos A sin C,

则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理

有:

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 a? ?3 ?c, 2ab 2bc

化简并整理得:

2(a 2 ? c 2 ) ? b2 . 又 由 已 知

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .
解法二:由余弦定理得:

a2 ? c2 ? b2 ? 2bc cos A .又 a 2 ? c 2 ? 2b , b ? 0 。
? 2c cos A ? 2 …………………………………①

所以 b 又 sin

A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B 由① ,② 解得 b

b ? sin C ,故 b ? 4c cos A ………………………② c

? 4。

评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问 题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的知识和方法了解就 行,不必强化训练。 18(I)解法一:作 MN ∥SD 交 CD 于 N,作 NE 连 ME、NB,则 MN 设 MN

? AB 交 AB 于 E,

? 面 ABCD , ME ? AB , NE ? AD ? 2

? x ,则 NC ? EB ? x , ? 60? ? ME ? 3x 。
S M

在 RT ?MEB 中,? ?MBE 在 RT ?MNE 中由 ME
2

? NE 2 ? MN 2 ? 3x 2 ? x 2 ? 2
D N B

- 44 -
A E

C

解得 x

? 1 ,从而 MN ?

1 SD ? 2

M 为侧棱 SC 的中点 M.

解法二:过 M 作 CD 的平行线. 解法三:利用向量处理. 详细可见 09 年高考参考答案. (II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基 本上不用三垂线定理的方法求作二面角。 过 M 作 MJ ∥CD 交 SD 于 交

S

J

,作 SH 于

? AJ
G

J

H K

M

AJ



H

,作 ,

HK ? AM




AM

K

,则 面

JM



CD

JM ?

SAD

, 面

SAD ?

D F A

N B

C

MBA , SH ? 面 AMB ? ?SKH
的补角.

即为所求二面角

分析二:利用二面角的定义。在等边三角形

ABM

中过点 B 作 BF

? AM



AM

于点 F ,

则点 F 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 GF

? AM ,则 ?GFB 即为所求二面角.

分析三:利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可。 另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效。 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的 状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19. 分析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。 需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很可惜的, 主要原因在于没读懂题。 另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。 20. 分析: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 bn ? 2 ? 1 * (n? N ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: (II)由(I)知 an

? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2

- 45 -



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

n

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

n

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

评析: 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和, 09 一 改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础 知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 21. 分析: (I)这一问学生易下手。将抛物线 E : 联立,消去 抛物线 E :

y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的方程

......(*) y 2 ,整理得 x2 ? 7 x ? 16 ? r 2 ? 0 .......

y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的充
15 , 4) .考生利用数形结合及函数 2

要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.易得 r ? (

和方程的思想来处理也可以. (II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理 本小题是一个较好的切入点. 设四个交点的坐标分别为 A( x1 ,

x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 。
? 7, x1x2 ? 16 ? r 2 , r ? (
15 , 4) 2

则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x2

则S

?

1 ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2

? S 2 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15)


16 ? r 2 ? t ,则 S 2 ? (7 ? 2t )2 (7 ? 2t )

下面求 S 的最大值。

2

方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时很方便。 它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件,这和二次均值类似。

1 S 2 ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? (7 ? 2t )(7 ? 2t )(14 ? 4t ) 2
- 46 -

?

1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ( ) ? ?( ) 2 3 2 3
? 14 ? 4t ,即 t ?

当且仅当 7 ? 2t

7 15 时取最大值。经检验此时 r ? ( , 4) 满足题意。 6 2

方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点 P 的坐标。设点 P 的坐标为: P( x p ,0)



A、P、C 三点共线,则

x1 ? x2 x1 ? x1 ? x2 x1 ? x p

得 xp

? x1 x2 ? t ?

7 。 6

以下略。 22. 分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

f ? ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 3c 由题意知方程 f ? ? x ? ? 0 有两个根

x1、x2 且x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. 则有 f ? ? ?1? ? 0, ,

f ? ? 0? ? 0, ? ?1? ? 0,f ? ? 2? ? 0 故有 f
右图中阴影部分即是满足这些条 件的点

? b, c ? 的区域。

(II)这一问考生不易得分,有一定 的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标 (如果消 c 会较繁琐)再利用 x2 的范围,并借助(I)中的约 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 中的 b , 束条件得 c ? [?2,0] 进而求解,有较强的技巧性。 解: 由题意有 又 ......① f ? ? x2 ? ? 3x22 ? 6bx2 ? 3c ? 0 ......

.......... f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 ...........②

- 47 -

消去 b 可得

1 3c f ? x2 ? ? ? x23 ? x2 . 2 2 ??1 0? f ( 2 ? ? x ) 1 2

又? x2 ?[1, 2] ,且 c ? [?2,0]

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