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高二数学人教B版选修1-1课件2.2.2 双曲线的几何性质


2.2.2 双曲线的几何性质 课程目标 1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程, 讨论它的几何性质. 2.能够运用双曲线的性质解决一些简单问题. 3.正确理解双曲线的特有性质——渐近线. 学习脉络 双曲线的标准方程和几何性质 x2 标准方程 a2 ? 2 =1 b y2 y2 a2 ? 2 =1 b x2 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 范围 对称性 性 质 顶点 渐近线 离心率 实虚轴 a,b,c 的关系 x≥a 或 x≤-a, y∈R 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) y=± x x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 顶点坐标 A1(0,-a),A2(0,a) y=± x e= ,e∈(1,+∞),其中 c= 2 + 2 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做 双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 是双曲线的实半轴长,b 是双 曲线的虚半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 思考 1 双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响? 提示:双曲线的离心率 e= 反映了双曲线开口的大小,e 越大,双曲线的 开口就越大. 思考 2 双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上? 提示:实轴. 思考 3 一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几 个公共点? 提示:1 个. 名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线 图形 顶点 轴 渐近线 离心率 a,b,c 关系 两支曲线 两个顶点 实、虚轴 有渐近线 e>1 a2+b2=c2 椭圆 封闭的曲线 四个顶点 长、短轴 无渐近线 0<e<1 a2-b2=c2 探究一 探究二 探究三 探究四 由双曲线方程研究其几何性质 已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤:先将双曲线的方程 2 化为标准形式 2 ? 2 2 =1 2 2 或 2- 2 = 1 ,再根据 a,b 的值(注意分母分别为 a2,b2,而不是 a,b)求出 c,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画几 何图形时,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角 线所在的直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似 图形. 【典型例题 1】 求双曲线 16x2-9y2=-144 的半实轴长、半虚轴长、焦 点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程,并作出草图. 思路分析:将双曲线方程变为标准方程,确定 a,b,c 后求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 解:把方程 16x -9y =-144 化为标准方程 2 2 2 4 2 ? 2 3 4 3 2 =1,由此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3,c= 2 + 2 =5,焦点坐标为(0,-5),(0,5);顶点坐标为 (0,-4),(0,4);离心率为 e= = ;渐近线方程为 y=± x.作草图. 5 4 探究一 探究二 探究三 探究四 利用几何性质求双曲线的标准方程 双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数 法,即先设出标准方程,再利用条件列出关于 a,b,c 的方程,解方程组求出待 定系数. 【典型例题 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 1 2 2 9 (2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M ,-1 3 2 2 2 5

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