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2018版高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算导学案新人教A版

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 学习目标 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数 乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 知识点一 平面向量的正交分解 思考 如果向量 a 与 b 的夹角是 90°,则称向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b.互相垂直的两个向 量能否作为平面内所有向量的一组基底? 答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示 思考 1 如图,向量 i,j 是两个互相垂直的单位向量,向量 a 与 i 的夹角是 30°,且|a|= 4,以向量 i,j 为基底,如何表示向量 a? 答案 a=2 3i+2j. 思考 2 在平面直角坐标系内,给定点 A 的坐标为 A(1,1),则 A 点位置确定了吗?给定向量 a 的坐标为 a=(1,1),则向量 a 的位置确定了吗? 答案 对于 A 点,若给定坐标为 A(1,1),则 A 点位置确定.对于向量 a,给定 a 的坐标为 a =(1,1),此时给出了 a 的方向和大小,但因向量的位置由起点和终点确定,且向量可以任 意平移,因此 a 的位置还与其起点有关. → → → → 思考 3 设向量BC=(1,1),O 为坐标原点,若将向量BC平移到OA,则OA的坐标是多少?A 点 坐标是多少? → → 答案 向量OA的坐标为OA=(1,1),A 点坐标为 A(1,1). 梳理 (1)平面向量的坐标 ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底.对于 平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj. 平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记 作 a=(x,y). ②在平面直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系 表示形式不同 向量 a=(x,y)中间用等号连接,而点 A(x,y)中间没有等 号 点 A(x, y)的坐标(x, y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位 意义不同 置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向 量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙 述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终点 的坐标相同 区别 知识点三 平面向量的坐标运算 思考 设 i、j 是分别与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量,若设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量 a+b,a-b,λ a(λ ∈R)如 何分别用基底 i、j 表示? 答案 a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j, a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j, λ a=λ x1i+λ y1j. 梳理 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 数学公式 向量加法 文字语言表述 两个向量和的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的相应坐标 a+b=(x1+x2,y1+y2) 向量减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 向量数乘 λ a=(λ x1,λ y1) → 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量AB=(x2-x1,y2-y1),即任意一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 类型一 平面向量的坐标表示 → 例 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,OA= a,AB=b. 四边形 OABC 为平行四边形. → (1)求向量 a,b 的坐标; → (2)求向量BA的坐标; (3)求点 B 的坐标. 解 (1)作 AM⊥x 轴于点 M, 则 OM=OA·cos 45° =4× 2 =2 2, 2 AM=OA·sin 45° =4× 2 =2 2. 2 ∴A(2 2,2 2),故 a=(2 2,2 2). ∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°, ∴∠COy=30°. 又∵OC=AB=3, ? 3 3 3? → → ? 3 3 3? ∴C?- , ?,∴AB=OC=?- , ?, ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 3 3 3? 即 b=?- , ?. ? 2 2 ? 3 3? → → ?3 (2)BA=-AB=? ,- ?. 2 ? ?2 3 3 3 → → → (3)OB=OA+AB=(2 2,2 2)+(- , ) 2 2 3 3 3? ? =?2 2- ,2 2+ ?. 2 2 ? ? 反思与感悟 在表示点、向量的坐标时,可利用向量的相等、加减法运算等求坐标,也可以 利用向量、 点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解, 即把问题条件转化为关于参数的 不等式(组),再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围. 跟踪训练 1 已知边长为 2 的正三角形 ABC,顶点 A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,点 C 在第 → → → → 一象限,D 为 AC 的中点,分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标. 解 如图,正三角形 ABC 的边长为 2,则顶点 A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°), 1 3 ∴C(1, 3),D( , ), 2 2 → → ∴AB=(2,0),AC=(1, 3), → → BC=(1-2, 3-0)=(-1, 3), BD=( -2, 1 2 3 3 3 -0)=(- , ). 2 2 2

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