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上海市十二校联考2015届高三数学(理)考试试卷(理答案)


2015 届第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷
2014 年 12 月 一、填空题 (本大题满分 56 分,每题 4 分) 1 1.设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? _ ?? 1, 2? ______. 2
2. 已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =9, a2 ? a4 ? a6 =15,则 a3 ? a4 ? 8 .

3
3.在行列式 0

a

5
中,元素 a 的代数余子式值为 -1 .

?4 1 ?1 1 3

4. 如果函数 y ?   ?

?2x ? 3   (x ? 0) (x ? 0) ?f(x )  

是奇函数,则 f(?2) ?

-1

5.设 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,若函数 f ( x) 的图像过点 (1 , 2) ,且 f ?1 (2x ? 1) ? 1,则 x ?

1 2



6.方程 cos2x+sinx=1 在 (0, ? ) 上的解集是______ ?

?? 5? ? , ? _________. ?6 6 ?
1 6


7. 若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥的体积为

8. 函数 f ?x ? ?

?? ? 2π ? 3 cos? ? 2 x ? ? 2 cos2 x 在区间 ? 0, ? 上的取值范围是 ? ?2 ? ? 3?

?? 2, 1?
3 .



9.已知 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为

? ,则 a ? b 在 a 上的投影为 3


10. 在锐角 ?ABC 中,角 B 所对的边长 b ? 10 , ?ABC 的面积为 10,外接圆半径 R ? 13 , 则 ?ABC 的周长为

10 ? 10 3

11. 已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q(q ? 0) ,前 n 项和为 S n ,若 lim 则公比 q 的取值范围是

S n ?1 ? 1, n ?? S n

?0, 1?
?



12.已知函数 f ( x) ? 2 3sin(? x ? 最大值

)(? ? 0) ,若 g (x) ? f (3x) 在 (0, ) 上是增函数,则 ? 的 3 3

?

1 6



13. 记数列 {an } 是首项 a1 ? a ,公差为 2 的等差数列;数列 {bn } 满足 2bn ? (n ? 1)an ,若 对任意 n ? N * 都有 bn ? b5 成立,则实数 a 的取值范围为

?? 22,?18?



14 . 若 平 面 向 量 a i 满 足 ai ? 1(i ? 1,2,3,4) 且

a i ? ai ? 1 ? 0(i ? 1, 2, 3) , 则

a1 ? a 2 ? a3 ? a4 可能的值有

3

个.

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分) x ?1 ? 0, q :| 2 x ? 1 |? 1, 则p是q 15. 设 p, q 是两个命题, p : x

( B



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16. 数列{an}中,已知 S1 =1, S2=2 ,且 Sn+1-3Sn +2Sn-1 =0 ( n ? 2 ,n∈N*),则此数 列为 ( D ) A.等差数列 B.等比数列 C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列

1 17.关于函数 f ( x) ? (2 ? x ) ? x 3 和实数 m、n 的下列结论中正确的是( C ) 2
x

1

A.若 ? 3 ? m ? n ,则 f (m) ? f (n) C.若 f (m) ? f (n) ,则 m ? n
2 2

B.若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) D.若 f (m) ? f (n) ,则 m ? n
3 3

18. 函数 f ?x ? ? ?

?kx ? 1, x ? 0 ,下列关于函数 y ? f ? f ?x ?? ? 1 的零点个数的判断正确的是 ?ln x , x ? 0

( D ) A.无论 k 为何值,均有 2 个零点 B.无论 k 为何值,均有 4 个零点 C.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 2 个零点 D.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 1 个零点

三、简答题 (本大题满分 74 分)
19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD,AB=3,SA=4 (1)求直线 SC 与平面 SAB 所成角; (2)求 ?SAB 绕棱 SB 旋转一圈形成几何体的体积。

解: (1)? SA ? 平面ABCD

? SA ? BC

(1 分) 又底面 ABCD 为正方形

? CB ? AB

? BC ? 平面SAB
? ?BSC 是直线 SC 与平面 SAB 所成角(3 分) Rt ?SBC 中

SB ? 5, BC ? 3
? tan ?BSC ? 3 5
(5 分)

所以,直线 SC 与平面 SAB 成角为 arctan (2)作 AE ? SB 于 E (7 分) Rt ?SBC 中,AB=3 SA=4,SB=5 又 S ?SAB ?

3 5

(6 分)

1 ? AE ? SB 2

1 ? SA ? AB 2 12 ? AE ? (9 分) 5 1 V ? ? ? AE 2 ? SB 3 ?

1 ? 12 ? 48? ? ?? ? ? ? 5 ? 3 ?5? 5

2

(12 分)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 向 量 m ? (cos

3A 3A , sin ) , 2 2

n ? (cos

A A , sin ) 且 m ? n ? 3 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ? 3 sin A ,求证 ?ABC 是直角三角形。 解(1) m ? 1, n ? 1 (1 分)

3A A 3A A m?n ? cos cos ?s i n s i n 2 2 2 2

? 3A A ? ? cos? ? ? ? cos A ? 2 2?
又 m?n
2 2

(2 分)

?3
(4 分)

m ? n ? 3m ? n ? 3

2

1 ? 1 ? 2 cos A, cos A ?
又 A ? (0, ? )

?A?

?

1 2
(7 分)

3

(另解可以参照给分) (2)? A ? B ? C ? ?

? sin B ? sin(

3? ? ? B) ? 3 sin (9 分) 3 3 2? 2? 3 sin B ? sin cos B ? cos sin B ? 3 3 2 3 1 3 sin B ? cos B ? 2 2 2

3 1 3 sin B ? cos B ? 2 2 2 sin(B ?

( 11 分)

?
6

)?

3 2
或B?

?B?
B?

?
6

?

?
3

?
6

?

?
6

或B ?

?
2

2? 3

(13 分)

sin B ?

?
6

C ? ?A ? B ?

?
2
(14 分)

? ?ABC 是直角三角形
(另外的解法可以参照给分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 8 分) . 已知函数 f ( x) ?

? 3x ? a 3 x ?1 ? b

x (1)当 a ? b ? 1 时,求满足 f ( x) ? 3 的 x 的 取值范围;

(2)若 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,求 y ? f ( x) 的解析式,并判断其在 R 上的单调 性并加以证明。

? 3x ? 1 ? 3x , 解: (1)由题意, x ?1 (1 分) 3 ?1
化简得 3 ? (3 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 0
x 2 x

(3 分)

解得 ? 1 ? 3 ?
x

1 3

(5 分) (6 分)

所以 x ? ?1

(2)已知定义域为 R,所以 f (0) ?

?1? a ? 0 ? a ? 1, (7 分) 3?b

又 f (1) ? f (?1) ? 0 ? b ? 3 , (9 分) 经验证 f ( x) ?

1 ? 3x 是奇函数; (10 分) 3 x ?1 ? 3

可以判断 f(x ) ? 证明如下:

1 ? 3x 是减函数 3x ? 1 ? 3

(11 分)

对 任 意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 可 知 ( 14 分) 因为 x 1 ?

f(x 1 ) ? f(x 2 ) ? 6

3 (3
x1 ? 1

x2

?3

x1

? 3)(3

x2 ?1

? 3)

(13 分) x 2 ,所以3x ? 3x ? 0 ,
2 1

所以 f(x 1 ) ?

(14 分) f(x 2 ),因此 f ( x) 在 R 上递减;

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满 6 分,第 3 小题 满6分 设 函 数 y ? f ( x) 与 函 数 y ? f ( f ( x)) 的 定 义 域 交 集 为 D 。 若 对 任 意 的 x ? D , 都 有

f ( f ( x)) ? x ,则称函数 f ( x) 是集合 M 的元素。
(1)判断函数 f ( x) ? ? x ? 1 和 g ( x) ? 2 x ? 1 是否集合 M 的元素,并说明理由;
x (2)设函数 f ( x) ? log2 (1 ? 2 ) ,试求函数 f ( x) 的反函数 f ?1

( x) ,并证明 f ?1 ( x) ? M ;

(3)若 f ( x) ?

ax ? M ( a , b 为常数且 a ? 0 ) ,求使 f ( x) ? 1 成立的 x 的取值范围。 x?b

(1)因为对任意 x∈R,f(f(x) )=-(-x+1)+1=x,所以 f(x)=-x+1∈M(2 分) 因为 g(g(x) )=2(2x-1)-1=4x-3 不恒等 x,所以 g(x)?M (4 分)

(2)因为 f(x)=log2(1-2x) ,所以 x∈(-∞,0) ,f(x)∈(-∞,0)…(5 分) 函数 f(x)的反函数 f-1(x)=log2(1-2x) , (x<0)…(6 分) 又因为 f-1(f-1(x) )=log2(1-2f-1(x))=log2(1-(1-2x) )=x…(9 分)

所以 f-1(x)∈M…(10 分) (3)因为 f(x)=

ax ∈M,所以 f(f(x))=x 对定义域内一切 x 恒成立, x ?b

(11 分) (12 分) (13 分)

(14 分)

(16 分)

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? , 如果数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N ? ) , 则称数列 ?bn ? 是 数列 ?an ? 的“生成数列” 。 (1)若数列 ?an ? 的通项为数列 an ? n ,写出数列 ?an ? 的“生成数列” ?bn ? 的通项公式 (2)若数列 ?cn ? 的通项为数列 cn ? An ? B , (A,B 是常数) ,试问数列 ?cn ? 的“生成数列”

?l n ?是否是等差数列,请说明理由
(3)若数列 ?d n ?的通项公式为 d n ? 2 n ? n ,设数列 ?d n ?的“生成数列” ?pn ?的前 n 项和 为 Tn , 问是否存在自然数 m 满足( 若存在, 请求出 m 的值, Tm ? 2014 )(Tm ? 6260 ) ? 0 , 否则请说明理由。 (1) 当 n≥2 时,bn=an+an-1=2n-1, (2 分)

当 n=1 时,b1=a1=1 适合上式, (3 分) ∴bn=2n-1(n∈N*). (4 分) (2) l n ? ?
?A ? B n ? 1 n ? 2 ?2An ? 2B ? A

(5 分)

当 B=0 时,ln=2An-A,由于 ln+1-ln=2A,所以此时数列{cn}的“生成数列”{ln}是 等差数列.(7 分) 当 B≠0 时,由于 l1=c1=A+B,q2=3A+2B,l3=5A+2B,此时 l2-l1≠l3-l2,所以 数列{cn}的“生成数列”{ln}不是等差数列. (9 分) 综上,当 B=0 时,{qn}是等差数列; 当 B≠0 时,{qn}不是等差数列. (10 分)

(14 分) 且在 N * 上单调递增。 (16 分)
T 9 ? 1613 , T1 0 ? 3168 , T1 1 ? 6261

又( Tm ? 2014 )(Tm ? 6260 ) ? 0 ∴
2013 ? T m ? 6260

所以,存在 m=10. (18 分)



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