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2019-2020高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文_图文

专题二 三角函数与平面向量 第 2 讲 三角恒等变换与 解三角形 1.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α-cos α=43,则 sin 2α =( ) A.-79 B.-29 C.29 D.79 (sin α-cos α)2-1 解析:sin 2α=2sin αcos α= = -1 -79. 答案:A 2.(2016·山东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin A),则 A=( ) A.34π B.π3 C.π4 D.π6 解析:因为 b=c,a2=2b2(1-sin A), b2+c2-a2 2b2-2b2(1-sin A) 所以 cos A= 2bc = 2b2 , 则 cos A=sin A. 在△ABC 中,A=π4. 答案:C 3.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2, c= 2,则 C=( ) A.1π2 B.π6 C.π4 D.π3 解析:由题意得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 则 sin C(sin A+cos A)= 2sin Csin???A+π4???=0, 因为 sin C≠0,所以 sin???A+π4???=0, 又因为 A∈(0,π),所以 A+π4=π, 所以 A=34π. 由正弦定理sina A=sinc C, 得2 sin 3π=sin2C, 4 则 sin C=12,得 C=π6. 答案:B 4.(2017·全国卷Ⅰ)已知 α∈???0,π2???,tan α=2,则 cos???α-π4???=________.(导学号 55410031) 解析:由 tan α=2,得 sin α=2cos α, 又 sin2α+cos2α=1,所以 cos2α=15. 因为 a∈???0,π2???, 所以 cos α= 55,sin α=255. 因为 cos???α-π4???=cos αcos π4+sin αsin π4, 所以 cos???α-π4???= 55× 22+255× 22=31010. 答案:3 1010 【命题透视】 三角函数的化简与求值是命题的热 点,其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式,同 角三角函数的关系是恒等变换的依据.正弦定理、余弦定 理是高考的重点内容,主要考查边和角、面积的计算、三 角形形状的判定.高考命题中,选择、填空及解答题均可 能呈现,不超过中等难度. 热点 1 三角恒等变换及求值 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan 2α=1-2tatannα2α. 3.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 tan φ=ba. [例 1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且 sin???θ+π4???=35,则 tan???θ-π4???=________. (2)如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为 ???1123,-153???,∠AOC=α.若|BC|=1,则 3cos2α2-sin α2·cos α2- 23的值为________. 解析:(1)由题意,得 cos???θ+π4???=45. 所以 tan???θ-π4???=tan???θ+π4-π2???=csions??????θθ++π4π4--π2π2??????= -sicno???sθ???+θ+π4π???4???=-43. (2)由题意得|OC|=|OB|=|BC|=1,从而△OBC 为等 边三角形, 所以 sin ∠AOB=sin???π3-α???=153, 又因为 3 cos2 α 2 - sin α 2 cos α2- 23= 1+cos α 3· 2 - sin 2 α- 23=-12sin α+ 23cos α=sin???π3-α???=153. 答案:(1)-43 (2)153 [规律方法] 1.三角恒等变换的基本思路:找差异,化同角(名), 化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点: (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知 角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知 求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求 出角的大小. [变式训练] (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对 称.若 sin α=13,则 sin β=________. (2)(2017·石家庄质检)若 cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β) =473,0<β<π4<α<π2,则 α+β 的值为________. 解析:(1)α 与 β 的终边关于 y 轴对称,则 α+β=π+ 2kπ,k∈Z,所以 β=π-α+2kπ,k∈Z. sin β=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sin α=1

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