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高一数学用二分法求方程的近似解

3.1.2 用二分法求方程的近似解

问题提出 1. 函数 f ( x ) ? x ? 4x ? 3有零点吗?你怎 样求其零点?
2

2.对于高次多项式方程,在十六世纪已找到 了三次和四次方程的求根公式,但对于高于 4次的方程,类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗 瓦(Galois)的研究,人们认识到高于4次 的代数方程不存在求根公式,即不存在用四 则运算及根号表示的一般的公式解.同时, 即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的 表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体 计算.因此对于高次多项式函数及其它的一 些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法.

知识探究(一):二分法的概念

思考1:有12个大小相同的小球,其中有 11个小球质量相等,另有一个小球稍重, 用天平称几次就可以找出这个稍重的球?

思考2:已知函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6 在区间(2,3)内有零点,你有什么方 法求出这个零点的近似值?

思考3:怎样计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m)的近 精确度|a-b| 似值

(2,3)

2.5

-0.084

1

(2.5,3) (2.5,2.75)
(2.5,2.625)

2.75 2.625
2.562 5

0.512 0.215
0.066

0.5 0.25
0.125

(2.5,2.562 5)
(2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875) (2.531 25,2.539 062 5)

2.531 25
2.546 875 2.539 062 5 2.535 156 25

-0.009
0.029 0.01 0.001

0.0625
0.03125 0.015625 0.007813

思考4:上述求函数零点近似值的方法叫 做二分法,那么二分法的基本思想是什 么? 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

知识探究(二):
用二分法求函数零点近似值的步骤

思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么?
y ?3 2x

确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么?

求区间的中点c,并计算f(c)的值

思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ,则 分别说明什么?

若f(c)=0 ,则c就是函数的零点;
若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c); 若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).

思考4:若给定精确度ε,如何选取近似 值? 当|m—n|<ε时,区间[m,n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.

思考5:对下列图象中的函数,能否用 二分法求函数零点的近似值?为什么?
y

y
o x o x

理论迁移

例1 用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似 解(精确到0.1).
x

例2 求方程 log 3 x ? x 其大致所在区间.

? 3的实根个数及

用二分法求函数零点近似值的基本步骤: 1.确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0 ,给 定精度ε; 2. 求区间(a,b)的中点c;
3. 计算f(c): (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0 ,则令b=c,此时零点 x0∈(a,c); (3)若f(c)·f(b)<0 ,则令a=c,此时零点

x0∈(c,b).

4. 判断是否达到精确度ε:若 a ? b ? ? ,则 得到零点近似值a(或b);否则重复步骤 2~4.

作业 P92习题3.1A组: 3,4,5 题

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拜~”张祁潭也从窗户里翻了出去。“好的,明天见。”慕容凌娢这会连手都懒得抬了。韩哲轩和张祁潭都离开之后,慕容凌 娢开始构思到底要怎么样进入皇宫——三品一下官员是没资格上朝的,但如果不上朝就木有理由在皇宫闲散的瞎逛,就没办法 知道玉玺放在哪儿,也就没办法计划偷灵石的路线……真是麻烦,看来只能去拜托夏桦了……第二天下午,慕容凌娢抽时间回 了晴穿会总部。“大叔,你今天还进宫吗?”慕容凌娢趴在桌子前,“如果去的话带上我啊。”“为何?”夏桦头也不抬,翻 着这几天晴穿会成员的业绩记录。“我要去找灵石啊。”“灵石……”夏桦猛然抬头,进入沉思状态。过了许久,他缓慢的说 道,“你居然还记得。”“怎么会不记得!”慕容凌娢拍案而起,她不明白夏桦为什么是这种反应,该不会是忘记灵石这个梗 了吧……“那可是我穿越回去的希望啊!”“你如果真的想穿越回去……”夏桦慢条斯理的捋着胡须,“还不如去晴穿会旗下 的超自然协会,那儿的人都是研怎样究穿越时空的。当然,想要进那个协会,至少也要硕士以上学历……你没希望的。”“你 明明告诉我用灵石都可以的!”慕容凌娢感觉自己被耍了。“那只是传闻,所有解释权归晴穿会所有。”“我不管!”慕容凌 娢炸了,既然夏桦那么不要脸,她也开始没节操的软膜硬派。“你欺骗了我的感情,浪费了我的精力,消磨了我的时间,伤害 了我脆弱幼小的心灵。你要赔偿我!”“好好好……”慕容凌娢大声的鬼吼鬼叫,夏桦也有些方了。这要是被别人听到,指不 定以为自己做了什么伤天害理,丧尽天良的事呢。“明天进宫的时候一定带你去。”“说话算话啊,不能再找借口了。”“绝 对算话。”为了防止慕容凌娢把自己的办公室给拆了,夏桦决定先把她支走,“我今天还有别的事,要不……你明天来找 我?”“那好吧。”阴谋得逞,慕容凌娢欣慰的一笑,转身离去。(古风一言)十年戎马孤心单,今日我退隐归深山,如若有 天你难堪,我定扬旗再起帆。第117章 晴穿会创始人“说话算话啊,不能再坑我。”“绝对算话。”为了防止慕容凌娢把自己 的办公室给拆了,夏桦决定先把她支走,“我今天还有别的事,要不……你明天来找我?”“那好吧。”阴谋得逞,慕容凌娢 欣慰的一笑,转身离去。于是乎,第二天,慕容凌娢又兴冲冲的去找夏桦。“大叔,我准备好了。”“走吧,白绫。”夏桦依 旧提着上次那个箱子,装出一副仙风道骨的样子。“走走走,到时候你还找借口和皇上胡扯,把我打发走,然后我就可以在四 处转转,设定路线。”慕容凌娢很拽的一摆手,搞得自己是老大一样。“哎~”夏桦叹了口气,递给慕容凌娢一个小瓶子, “你要是摊上事了,别指望我帮你。自尽之前,随便喊


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