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【全国百强校】陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(原卷版)

陕西省西安市长安一中 2017~2018 学年度第一学期期末考试 高二数学试题(理科) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的.) 1. 设复数 满足 A. B. C. ,则 = ( ) D. 2 +(a-1)x0+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范围是( ) 2. 已知命题“存在 x0∈R,使 ...... A. (-∞,-1) C. (-3,+∞) B. (-1,3) D. (-3,1) 3. 在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计,统计结果如 右面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h~120 km/h,试估计 2000 辆车 中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( ) A. 30 辆 B. 1700 辆 C. 170 辆 D. 300 辆 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( ) 2 4. 用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = 2 A. k +1 2 B. (k+1) 2 2 2 2 D. (k +1)+(k +2)+(k +3)+…+(k+1) C. 5. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则 A. a2 B. a2 C. a2 3 的值为( ) D. a2 ). 6. 直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 4 B. C. 2 D. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良 好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我 的成绩。根据以上信息,则( A. 乙可以知道四人的成绩 ) B. 丁可以知道四人的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中 位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( ) A. 2, 5 B. 5, 5 C. 5, 8 D. 8, 8 ) 2 9. 已知条件 p:x +2x-3>0;条件 q:x>a,且 的一个充分不必要条件是 ,则 a 的取值范围是( A. [1,+∞) B. (-∞,1] C. (1,+∞) 中, D. (-∞,-3] , 为 的中点,则直线 与平面 的距离为 10. 已知正四棱柱 ( A. 1 ) B. C. D. 2 11. 已知双曲线 C: ,若 A. B. (a>0,b>0)与直线 ,且 C. D. 交于 其中 ) ,则双曲线 C 的渐近线方程为( 12. 设函数 A. [- ,1) = ,其中 B. [- , ) ,若存在唯一的整数 ,使得 D. [ ,1) ,则 的取值范围是( ) C. [ , ) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.) 拟采用分层抽样的方法, 从该校四个年级的 13. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数 之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 14. 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 15. 设函数 是奇函数 的导函数, ,且用料最省,则圆柱的底面半径为_______ . ,当 时, ,则使得 成立的 的取 值范围是________. 双曲线 C1: 16. 在平面直角坐标系 xOy 中, (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p>0)交于点 O、A、B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知 “直线 :“方程 18. 设函数 (Ⅰ)求实数 (Ⅱ)求函数 的值; 在 上的最大值. 的焦点,斜率为 的直线交抛物线于 与圆 相交”; 有一正根和一负根”.若 或 为真, 非 p 为真,求实数 的取值范围. ,若函数 在 处与直线 相切. 19. (本小题满分 12 分)已知过抛物线 两点,且 (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 . ,求 的值. 20. 如图,在四棱锥 中, ,且 . (1)证明:平面 (2)若 ⊥平面 , ; ,求二面角 的余弦值. 21. 一张坐标纸上涂着圆 E: 及点 P(1,0) ,折叠此纸片,使 P 与圆周上某点 P'重合,每次 折叠都会留下折痕,设折痕与直线 EP'交于点 M. (1)求 的轨迹 的方程; (2 ) 直线 与 C 的两个不同交点为 A,B, 且 l 与以 EP 为直径的圆相切, 若 , 求△ABO 的面积的取值范围. 22. 已知函数 (1)讨论 (2)当 的单调性; 时,证明: 对于任意的 成立. .

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