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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练12 新人教A版


圆锥曲线(12)
1、已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是 (1)求椭圆 E 的方程; (2) 过点 C (—1, 0) , 斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、 B 两点, 请问 x 轴上是否存在点 M, 使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 解: (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且 a ? 5, 又c ? ea ?

6 3

6 30 ? 5? , 3 3

故b ? a2 ? c2 ? 5 ?

10 5 x2 y2 ? 1, 即 x 2 ? 3 y 2 ? 5 , ? , 故所求方程为 ? 5 5 3 3 3
2 2

(2)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x ? 3 y ? 5 得: (3k ? 1) x ? 6k x ? 3k ? 5 ? 0
2 2 2 2

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (m,0) 则 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

??? ? ???? 1 6m ? 14 MA ? MB ? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2 ? m2 ? 2m ? ? 3 3(3k 2 ? 1)
要使上式与 k 无关,则有 6m ? 14 ? 0, 解得 m ? ?

7 7 ,存在点 M ( ? ,0) 满足题意。 3 3
纵坐标扩大

2、在平面直角坐标系内已知两点 A( ?1,0) 、 B(1,0) ,若将动点 P( x, y ) 的横坐标保持不变, ???? ??? ? 到原来的 2 倍后得到点 Q( x, 2 y ) ,且满足 AQ ? BQ ? 1 . (Ⅰ)求动点 P 所在曲线 C 的方程;

???? ? ???? ???? ? 2 的直线 l 交曲线 C 于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ? OH ? 0 , 又点 H 关于 2 原点 O 的对称点为点 G ,试问 M 、 G 、 N 、 H 四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆, 请说明理由.

(Ⅱ)过点 B 作斜率为 ?

解(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则点 Q 的坐标为 ( x, 2 y) ,

???? ??? ? ???? ??? ? 依据题意,有 AQ ? ( x ? 1, 2 y), BQ ? ( x ? 1, 2 y). ? AQ ? BQ ? 1,? x 2 ? 1 ? 2 y 2 ? 1.
? 动点 P 所在曲线 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 2

1

(Ⅱ)因直线 l 过点 B ,且斜率为 k ? ?

2 2 ,故有 l : y ? ? ( x ? 1). 2 2

? x2 ? y2 ? 1 ? ?2 联立方程组 ? ,消去 y ,得 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0. ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? ? 2

? x1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ? ? 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,可得 ? 1 ,于是 ? 2. x x ? ? y1 ? y2 ? 1 2 ? ? ? 2 ? 2
???? ???? ? ???? ???? ? 2 又 OM ? ON ? OH ? 0 ,得 OH ? (? x1 ? x2 , ? y1 ? y2 ), 即 H ( ?1, ? ) 2
而点 G 与点 H 关于原点对称,于是,可得点 G(1, 若线段 MN 、 GH 的中垂线分别为 l1 和 l2 , kGH ?

2 ). 2
2 1 2 ? 2( x ? ), l2 : y ? ? 2 x. ,则有 l1 : y ? 4 2 2

? 2 1 ? 2( x ? ) 1 2 ?y ? 联立方程组 ? ). 4 2 ,解得 l1 和 l2 的交点为 O1 ( , ? 8 8 ? y ? ? 2x ?

9 3 2 2 3 11 1 2 2 3 11 因此,可算得 | O1H |? ( )2 ? ( ) ? , | O1M |? ( x1 ? )2 ? ( y1 ? ) ? . 8 8 8 8 8 8

3 11 1 2 所以 M 、 G 、 N 、 H 四点共圆,且圆心坐标为 O1 ( , ? . ), 半径为 8 8 8

2


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