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湖北省武汉市新洲区四中2013届高三元月测试题数学试题


2013 届高三数学试题(20130114)
高三寄语:等是窟窿,走是灯笼 一、选择题: 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是 ( A.1 B.0 C.-1 D.1 或-1 2.已知 ?ABC中, ?A ? 30? ,AB,BC 分别是 3 ? 面积等于( A. ) B. )

2, 3 ? 2 的等差中项与等比中项,则 ?ABC 的

3 2

3 4

C.

3 或 3 2


D.

3 3 或 2 4

3. “m<1”是“函数 f(x)=x2+2x+m 有零点”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图,则输出的 S = ( ) A.14 B.30 C.20 D.55 5.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或最后一步, 程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( ) A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种 6.已知某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( ) (A) 2

1

(B) 4

1

1 (C) 6

(D) 8

1

( 1 , O为,坐 标 原 点 , 点 C 在 第 二 象 限 , 且 ?AOC ? 120 ? , 设 3) ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O C ? ? O A? O,B? ? ) , ? 2 ? ( R 则 等于 ( ) A. ? 1 B.2 C.1 D. ? 2 B 7 . 已 知 两 点 A( 1 , 0 ) ,
8.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距 离之和等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

9.已知函数 y ? sin( ? 4

? 2 x) ,则其图象的下列结论中,正确的是(
(B)关于直线 x ? ? 轴对称 8 (D)向左平移 ? 后得到偶函数 8



(A)关于点 ? ? ,1 中心对称 8 (C)向左平移 ? 后得到奇函数 8

?

?

10.已知定义在 R 上的函数 f (x ) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 满足

3 2

a1 ? ?1 ,且
A. ? 3 二、填空题

Sn a (其中 S n 为 ?an ? 的前 n 项和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( ? 2? n ?1, n n B. ? 2 C. 3 D. 2

)

1 {a } a ? a4 ? a6 ? 9 ,则 a5 ? a7 ? a9 的值等于 的等差数列 n 满足 2 2 6 1 ? 1? ? 2 12.已知 a ? ? (1 ? 1 ? x ) dx ,则 ?(a ? ) x ? ? 展开式中的常数项为 ?1 2 x? ?
11.公差为



?x ? y ? 4 ? 13.已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x2 ? y2 ? 14 ?x ? 1 ?
相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为 . 14.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ?? ) , 则

1 9 的最大值为 ? c ?1 a ? 9



15.(1)(2)小题选做一题) ( 、 (1)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过点 C 作圆的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,则线段 AE 的长为 .

? x ? 2t ? 2a ? x ? 2sin ? (2)在平面直角坐标系下,曲线 C1 : ? (t 为参数),曲线 C2 : ? , ( ? 为参数) , ? y ? ?t ? y ? 1 ? 2cos?
若曲线 C1、C2 有公共点,则实数 a 的取 值范围为 . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 , (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)设 x 为三角形的内角,且函数 y=2 f(x)+k 恰有两个零点,求实数 k 的取值范围.[来源:学,

17. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ?1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

n ?1 an?1 (n ? N * ). 2

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , ABCD是 边 长 为 3 的 正 方 形 , DE ? 平 面 A B CD ,

E

AF// DE, DE ? 3AF , BE 与平面 ABCD所成角为 60 ? .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. F D

C

A

B

19. (本小题满分 12 分) 一个车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验, 收集数据如下:

(1)在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 a、b,求“事件 a、b 均小于 80 分钟”的概率; (2)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ; (3)根据(2)得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间. 参考公式:

1 ,一个焦点和 2 抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A, B . (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)判断直线 AB 是否恒过定点 C ;若是,求定点 C 的坐标.若不是,请说明理由。
20.(本小题满分 13 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln ?2ax ? 1? ? (I)若 x ? 2 为 f ?x? 的极值点,求实数 a 的值;
3

x3 ? x 2 ? 2ax ?a ? R ? 3

(II)若 y ? f ?x ? 在 ?3,?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (III)当 a ? ?

?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. 1 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2

参考答案(20130114)
1-------5: CDABC 6-------10:CCBCC 13.4 14.

27 11. 2

12.-160

6 5
3 ) ?1 ?

15(1)4

(2)[ 1 ? 5 , 1 ? 5 ]

16、(1)解: f ( x) ? a ? b +1 ? cos 2 x ? cos(2 x ? ∴最小正周期为 ?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 2 2 3

由 2k? ≤ 2x ?

?
3

≤ 2k? ? ? ,得 k? ?

?
6

≤ x ≤ k? ?

?
3

(k∈Z) 6分

∴函数 f (x)的单调递减区间是 (k? ? (2)解: y ? 2 f ( x) ? k ? 2cos(2x ? 因为 x 是三角形的内角,所以 由 2cos(2x ?

?
6

,? ? k

?
3

) (k∈Z)

?
3

)?2?k

?
3

? 2x ?

?
3

?

2?k k ? ?1 ? 3 3 2 2 函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点,即①在(0, ? )有两个根 k 1 1 k ∴ ?1 ? ?1 ? ? 或 ? ?1 ? ? 1 2 2 2 2 即-3 < k < 0 或-4 < k <-3 ) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2x ? )??
∴实数 k 的取值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}.

?

?

7? 3


8分

10 分

12 分

? 1, n ? 1 ? 17. 解: (1) an ? ? 2 n?2 ?n ?3 , n ? 2 ?

?????? 6 分

an 2 ? 3n ? 2 an ? , (2) an ? ? n ? 1? ? ? ? ? , 由(1)可知当 n ? 2 时, n ? 1 n ? n ? 1? n ?1
设 f ?n? ?

n ? n ? 1? ? n ? 2, n ? N * ? n 2?3

?????? 8 分

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

2 ? n ? 1??1 ? n ? 1 1 1 1 a 1 ? 0,? ? ? 及 1 ? ,所以 ? n ? 2? 又 n ?1 2?3 f ? n ? 1? f ? n ? f ? 2? 3 2 2

所求实数 ? 的最小值为

1 3

?????? 12 分 z E

18.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AC . 因为 ABCD是正方形,所以 AC ? BD , 从而 AC ? 平面 BDE . ????????(4 分) (Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD所成角为 60 ,
0

F A x

D M B

C y

ED 即 ?DBE ? 60 , 所以 ? 3. DB
?

由 AD ? 3,可知 DE ? 3 6 , AF ? 6 . 则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B (3,3, 0) ,

??? ? ??? ? C (0,3, 0) ,所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) .
设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ??3 y ? 6 z ? 0 ?n ? BF ? 0 ? ? ,即 ? .令 z ? 6 ,则 n ? (4, 2, 6 ) . ? ? ??? n ? EF ? 0 3x ? 2 6 z ? 0 ? ? ? ? ??? ? ??? ? 因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) . ??? ? ??? ? n ? CA 6 13 所以 cos? n, CA? ? . 因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余 ? ??? ? ? n CA 3 2 ? 26 13
弦值为

13 13

????????8 分

(Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) .则 AM ? (t ? 3, t , 0) .因为 AM // 平面 BEF , 所以 AM ? n ? 0 ,即 4(t ? 3) ? 2t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) ,即当 BM ?

???? ?

???? ?

1 BD 时, AM // 平面 BEF ?????(12 分) 3

19.(1)解:a、b 构成的基本事件(a,b)有(62,67),(62,65),(62,80),(62,89),(67,75),(67, 80),(67,89),(75,80),(75,89)共有 10个 其中“a、b 均小于 80 分钟”的有(62,67),(62,75),(67,75)共 3 个 3 ∴事件“a、b 均小于 80 分钟”的概率为 10

4分

74 (2)解: ? (20 ? 30) ? (67 ? 74) ? (30 ? 30) ? (75 ? 74) ? (40 ? 30) ? (80 ? 74) ? 13 b? 20 (20 ? 30)2 ? (30 ? 30)2 ? (40 ? 30) 2 13 ? a ? 74 ? ? 30 ? 54.5 20

x?

1 (20 ? 30 ? 40) ? 30 3

y?

1 ( 6 7? 7 5 8 0?) ? 3

? ∴y 关于 x 的线性回归方程为 y ?

13 x ? 54.5 20 13 x ? 54.5 20

8分

? (3)解:由(2)知 y 关于 x 的线性回归方程为 y ?
当 x = 70 时, y ?

13 ? 70 ? 54.5 20

∴预测加工 70 个零件需要 100 分钟的时间.

12 分

20. 解: (I)设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ?。抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点是 ?? 1,0 ? ,故 c ? 1 ,又 2 a b

c 1 ? ,所以 a ? 2, b ? a2 ? c2 ? 3 , a 2
所以所求的椭圆 ? 方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

???5 分

( II ) 设 切 点 坐 标 为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? , 直 线 l 上 一 点 M 的 坐 标 ?4, t ? 。 则 切 线 方 程 分 别 为

x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 。又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的坐标 4 3 4 3 3 3 t t 都适合方程 x ? y ? 1 ,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 ,显然对 3 3
任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C ?1,0 ? 。 ???13 分

21,解: (I) f ?? x ? ?

2a x 2ax 2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 2 ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

?

?

??

因为 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,所以 f ??2? ? 0 ,即 (II)因为函数 f ?x ? 在 ?3,?? ? 上为增函数,所以

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 。??2 分 4a ? 1

f ??x ? ?

x 2ax 2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,?? ? 上恒成立。?4 分 2ax ? 1

?

?

??

?当 a ? 0 时, f ??x? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,?? ? 上恒成立, 所以 f ?x? 在 ?3,?? ? 上为增函数, a ? 0 符 故 合题意。 ?当 a ? 0 时,由函数 f ?x? 的定义域可知,必须有 2ax ?1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 ,所 以 2ax2 ? ?1? 4a?x ? 4a2 ? 2 ? 0 在 ?3,?? ? 上恒成立。

?

?

???6 分

令函数 g?x? ? 2ax2 ? ?1? 4a?x ? 4a2 ? 2 ,其对称轴为 x ? 1?

?

?

1 1 ,因为 a ? 0 ,所以 1 ? ? 1, 4a 4a

要 使 g ?x ? ? 0 在 ?3,?? ? 上 恒 成 立 , 只 要 g ?3? ? 0 即 可 , 即 g?3? ? ?4a2 ? 6a ?1 ? 0 , 所 以

3 ? 13 3 ? 13 3 ? 13 ?a? 。因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 。 4 4 4

综上所述,a 的取值范围为 ? 0,

? 3 ? 13 ? ? 。???8 分 4 ? ?
3

(Ⅲ)当 a ? ?

?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x?2 ? ?1 ? x? ? b 。 1 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2 x
2

2 3 问 题 转 化 为 b ? x ln x ? x?1 ? x ? ? x?1 ? x ? ? x ln x ? x ? x 在 ?0,?? ? 上 有 解 , 即 求 函 数

g?x? ? x ln x ? x2 ? x3 的值域。
因为函数 g?x? ? x ln x ? x2 ? x3 ,令函数 h?x? ? ln x ? x ? x2 ?x ? 0? ?12 分 则 h??x ? ?

?2x ? 1??1 ? x? , 1 ?1 ? 2x ? x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?1,?? ? 上为减函数, 因此 h?x? ? h?1? ? 0 。而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x? ? 0 , 因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ???14 分

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