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等比数列的通项公式_图文

浙江省金华第一中学 郑晨曦 制作
晨曦工作室创意设计

等比数列的 通项公式

复习数列的有关概念2 如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的关
系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做 这个数列的通项公式。

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。
? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

复习等差数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
当d≠0时,这是 等差数列 a 的通项公式为 n 关于n的一个一 an ? a1 ? (n ?1)d 次函数。 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, a?b 那么A叫做a与b的等差中项。 A? 等差数列 an 的前n项和 2

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子)

? ?

? ?

Sn ? Sn

n(a1 ? an ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2

Sn

n(n ? 1) ? na n ? d 2

当公差d=0时,Sn ? na1 , d 2 d , 当d≠0时, S n ? ? n ? (a1 ? )n 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.

定,所以该数列的 观察数列 ( 1) 2,4,8,16,32,64. 公比 q=2 递增数列 增减性等尚不能确 (2) 定。 1,3,9,27,81,243,… 公比 q=3 递增数列

因为x的正负性不确 等比数列的有关概念

(3) (4)
(5) (6)

1, x, x , x , x ,?( x ? 0)公比 d= x
2 3 4
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,…

1 公比 q= 递减数列 2

公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

an ?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an
以上6个数列的公比分别为…

等比数列的通项公式 如果一个数列 a , a , a , …,a , …, 1 2 n 3
是等比数列,它的公比是q,那么

a2 ? a1 ? q 2 a3 ? a2 ? q ? a1 ? q

a4 ? a3 ? q ? a1 ? q

3

由此可知,等比数列

?? ???a ?
n

a5 ? a4 ? q ? a1 ? q 4

的通项公式为

an ? a1 ? q

n ?1

当q=1时,这是 一个常函数。

an ? 0

等比数列的图象 1 20
18 16 (1)数列:1,2,4,8,16,…


14 12 10 8
6 4 2 0
● ● ●



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等比数列的图象 2 10
9 8 (2)数列: 8, 4, 2,1,


1 1 1 , , ,? 2 4 8

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3


● ● ●



4

5

6



7

8

9

10

等比数列的图象 3 10
9 8 (1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

等比数列的图象 4 10
9 8 (1)数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,…

7 6 5 4
3 2 1 0
● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 , 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

等比数列的通项公式例题1
例1 培育水稻新品种,如果第1代得到120粒种子,并且从第1代 起,以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5 代大约可以得到这种新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)? 解:由于每代的种子数是它的 前一代种子数的120倍, 因此,逐代的种子数组成 等比数列,记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?1205?1 ? 2.5 ?1010

an ? a1 ? q

n ?1

答:到第5代大约可以得到 这种新品种的种子 2.5 ?1010 粒.

例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它 的第1项与第2项. 解: 用 ?an ?表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

等比数列的通项公式例题2
a3 ? 12, a4 ? 18, ?a1q 2 ? 12 即? 3 a q ? 1 3 ? 18 2

解得

a1 ?

16

,q ?

an ? a1 ? q

n?1

3

3 2 因此, a2 ? a1 ? q ? ? ? 8 16 3
16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与8. 3

例3 某种电讯产品自投放市场以来,经过三次降价,单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百 分率大约是多少(精确到1%)? n?1 解:设平均每次降价的百分率是x, n 1 那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.

等比数列的通项公式例题3

a ? a ?q

若原价格 a1 ? 174 , a4 ? 58, n ? 4, q ?为 1 ?ax ,则降 58 ? 174? (1 ? x) 4?1. 因此, 价x后的价 3 整理后,得( 1 ? x) ? , 1 1 格应为 1? x ? ? 0.693 3 x ? 1 ? 0.693 ? 31 % a-ax=a(1-x)
由已知条件,有
3

将原单价与三次降价后的单价依次排列,就组成一个依 (1-x)为的公比等比数列 an ,

? ?

3

答:上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.

n?1 等比数列的通项公式练习 1 a ? a ?q
求下列等比数列的第4,5项: (1) 5,-15,45,…

n

1

a4 ? 5 ? (?3)4?1 ? ?135, a5 ? 5 ? (?3)5?1 ? 405.
(2)1.2,2.4,4.8,…

a4 ? 1.2 ? 2

4?1

? 9.6, a5 ? 1.2 ? 2

5?1

? 19.2.
5?1

2 1 3 (3) , , ,? 3 2 8
2 ? 3? a4 ? ? ? ? 3 ? 4?
4 ?1

( 4)
a4 ?

2 ,1,

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ,? 2 4?1

9 2 ? 3? ? , a5 ? ? ? ? 32 3 ? 4?

27 ? , 128
5?1

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ? , 4

等比数列的通项公式练习2
已知等比数列 (1) 首项

?an ?
a1

: 能不能是零?

不能!!!
(2)公比q能不能是零?

不能!!!

等比数列的通项公式作业

P 1 , 2, 3, 4. 57习题十八:


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