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回扣验收特训（三） 空间向量与立体几何 a，b ＝( ) 1．已知 a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)，则 1 A． 3 C． 6 3 1 B． 6 D． 6 6 解析：选 C 由已知，得 a＝(1， 2， 3)，b＝(1,0， 3)，∴ 1＋0＋3 6× 4 ＝ 6 ． 3 a，b ＝ a·b ＝ |a||b| 2． 已知直线 l 过定点 A(2,3,1)， 且 n＝(0,1,1)为直线 l 的一个方向向量， 则点 P(4,3,2) 到直线 l 的距离为( 3 2 A． 2 C． 10 2 ) B． 2 2 D． 2 解析：选 A PA ＝(－2,0，－1)，| PA |＝ 5， PA · 2 n 2 ＝－ ，则点 P 到直线 l |n| 2 的距离为 | PA | －? PA · ? ? n ?2 ?＝ |n|? 1 3 2 5－ ＝ ． 2 2 ) 3．如图所示，已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1，则 AB1 · C1 B ＝( A．－2 C．－1 解析：选 C B．2 D．1 AB1 · C1 B ＝ AB1 · D1 A ＝( 2)2 AB1 ， D1 A ＝2cos(180°－ ? 1? 60°)＝2cos 120°＝2×?－ ?＝－1．故选 C． ? 2? 4．如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，底面 ABC 是 等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱 AA1＝2，D，E 分别是 CC1 与 A1B 的 中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G．则 A1B 与平面 ABD 所 成角的正弦值为( A． C． 2 3 3 2 ) B． D． 7 3 3 7 1 解析：选 A 以 C 为坐标原点，CA 所在的直线为 x 轴，CB 所在的直 线为 y 轴，CC1 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设 CA＝CB＝a，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴ ?a a ? ?a a 1? ?a a 2? E? ， ，1?，G? ， ， ?， GE ＝? ， ， ?， BD ＝(0，－a,1)． ?2 2 ? ?3 3 3? ?6 6 3? ∵点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G， ∴ GE ⊥平面 ABD，∴ GE · BD ＝0，解得 a＝2． ?1 1 2? ∴ GE ＝? ， ， ?， BA1 ＝(2，－2,2)， ?3 3 3? ∵ GE ⊥平面 ABD， ∴ GE 为平面 ABD 的一个法向量． 又 GE ， BA1 ＝ GE · BA1 | GE || BA1 | ＝ 4 3 6 ×2 3 3 ＝ 2 ， 3 ∴A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值为 2 ． 3 5．如图，已知矩形 ABCD 与矩形 ABEF 全等，二面角 D?AB?E 为直二面 角， M 为 AB 的中点， FM 与 BD 所成的角为 θ ， 且 cos θ ＝ A．1 C． 2 2 B． 2 1 D． 2 3 AB ， 则 ＝( 9 BC ) 解析： 选 C 建立如图所示空间直角坐标系， 设 AB＝1， BC＝λ ， 则 F(λ ， ? 1 ? 0,0)，M?0， ，0?，B(0,1,0)，D(0,0，λ )． ? 2 ? 1 ? ? ∵ FM ＝?－λ ， ，0?， BD ＝(0，－1，λ )． 2 ? ? | FM · BD | 3 ＝ ， 9 1 2 2 λ ＋ · λ ＋1 4 ∴cos θ ＝ ＝ | FM |·| BD | ?－1? ? 2? ? ? 解得 λ ＝ 2，所以 ＝ AB BC 2 ． 2 6．如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，底面 ABC 为正三角形，且侧棱 AA1⊥底 2 面 ABC，且底面边长与侧棱长都等于 2，O，O1 分别为 AC，A1C1 的中点，则平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离为( 3 5 A． 5 C． 5 5 ) 2 5 B． 5 D． 5 10 解析：选 B 如图，连接 OO1，根据题意，OO1⊥底面 ABC，则以 O 为原点， 分别以 OB，OC，OO1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AO1∥OC1， OB∥O1B1， AO1∩O1B1＝O1， OC1∩OB＝O， ∴平面 AB1O1∥平面 BC1O． ∴ 平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离即为 O1 到平面 BC1O 的距离． ∵O(0， 0,0)， B( 3， 0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，∴ OB ＝( 3，0,0)， OC1 ＝(0,1,2)， OO1 ＝(0,0,2)，设 n＝(x，y，z)为平面 BC1O 的法向量，则 n· OB ＝0，∴x＝0．又 n· OC1 ＝0，∴y＋2z＝0， |n· OO1 | 2 2 5 ∴可取 n＝(0,2，－1)．点 O1 到平面 BC1O 的距离记为 d，则 d＝ ＝ ＝ ．∴ |n| 5 5 2 5 平面 AB1O1 与平面 BC1O 间的距离为 ． 5 7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC?A1B1C1，CA＝CC1＝ 2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为________． 解析： 不妨设 CB＝1， 则 B(0,0,1)， A(2,0,0)， C1(0,2,0)， B1(0,2,1)． ∴ BC1 ＝(0,2，－1)， AB1 ＝(－2,2,1)． BC1 ， AB1 答案： 5 5 BC1 · AB1 0＋4－1 5 ＝ ＝ ＝ ． 5 5×3 | BC1 |·| AB1 | 8．如图，已知矩形 ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面 ABCD，若在 BC 上 只有一个点 Q 满足 PQ⊥QD，则

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