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知能巩固提升(四) 课后巩固作业(四) 1.2.1


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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

知能巩固提升(四)/课后巩固作业(四)
(时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知实数 a,b 满足 ab<0,则下列不等式成立的是( (A)|a+b|>|a-b| (C)|a-b|<||a|-|b|| (B)|a+b|<|a-b| (D)|a-b|<|a|+|b| ) 满分:100 分)

2.若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( (A)(-∞,1) (C)(3,4) (B)(1,+∞) (D)[3,+∞) ) )

3.设 a,b,c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( (A)|a-b|≤|a-c|+|b-c|
1 1 ?a? 2 a a 1 ?2 (C) a ? b ? a?b

(B) a 2 ?

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a 4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( (A)|a|<|b|+|c| (C)b>||c|-|a|| 5.已知|a|≠|b|, m ?
a?b a ?b ,n ?

)

(B)|c|<|a|+|b| (D)b<||a|-|c||
a?b a?b , 则 m,n 之间的关系是(
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)

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(A)m>n (C)m=n

(B)m<n (D)m≤n

6.(2012·青岛高二检测)设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大 小关系是( ) (B)|a+b|+|a-b|<2 (D)不能比较大小

(A)|a+b|+|a-b|>2 (C)|a+b|+|a-b|=2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)
|px ? | 7.(2012·大连高二检测)已知 p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则 ______ 2 pq (填 q x

不等关系符号). 8.(2011·江西高考)对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值 为__________. 9.(易错题)“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,m∈R)的 ____________________(填 “充分不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件” ). 三、解答题(每小题 14 分,共 28 分) 10.已知函数 f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数 f(x)-g(x)≥m+1 的解集为 R,求 m 的取值范围. 11.(2012·沈阳模拟)已知|x1-2|<1,|x2-2|<1. (1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2. (2)若 f(x)=x2-x+1,x1≠x2,求证: |x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|. 【挑战能力】 (18 分)如果结论 “
a?b 1? a ? b ? a?b 1? a ? b ” 成立,请问不等式
-2-

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

成立

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吗?

a ?b?c 1? a ? b ? c

?

a 1? a

?

b 1? b

?

c 1? c

成立吗?说明理由.

答案解析
1.【解析】选 B.≧ab<0,?|a-b|=|a|+|b|, 又|a+b|<|a|+|b|,?|a+b|<|a|+|b|=|a-b|. 2.【解析】选 A.由|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 得不等式|x-4|+|x-3|的最小值是 1, 当且仅当 3≤x≤4 时等号成立.故 a 的 取值范围是(-≦,1). 【变式训练】若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为( (A)(2,+≦) (C)(-3,+≦) (B)(-≦,5] (D)(-≦,-3) )

【解析】 选 B.因为|x-2|+|x+3|≥|-x+2+3+x|=5,当且仅当-3≤x≤2 时等号成立, 故|x-2|+|x+3|的最小值为 5,又不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ? ,所以 a≤5. 3.【解析】选 C.由于给出的是不完全题干,必须结合选项,才能得出正确的结 论.运用排除法,C 选项 a ? b ?
1 ? 2, 当 a-b<0 时不成立.故选 C. a?b

4.【解析】选 D.若|a-c|<b,令 a=1,c=2,b=3. 则||c|-|a||=||2|-|1||=1=||a|-|c||, ?b>||c|-|a||成立,而 b<||a|-|c||不成立. 5.【解析】选 D.≧|a|-|b|≤|a〒b|≤|a|+|b|,

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?m?
n?

a?b a ?b ?

?

a ?b a ?b

? 1,

a?b a?b

a?b a?b

? 1,

?m≤1≤n,即 m≤n. 【方法技巧】绝对值不等式中的放缩法 绝对值不等式性质的重要作用在于放缩,放缩的思路主要有两种: (1)分子不变,分母变小,则分数值变大; (2)分子变大,分母不变,则分数值也变大.但要注意放缩后等号是否还能成立. 6.【解析】选 B.当(a+b)(a-b)≥0 时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)| =2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0 时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.
|px ? | ? 2 pq, 7.【解析】当 p,q 至少有一个为 0 时, q x

当 pq>0 时,p,q 同号,则 px 与 同号,
q q x x q |px ? | ? 2 pq. 故 x |px ? | ? |px||| ? ? 2 pq, ?

q x

答案:≥ 8.【解题指南】根据|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|,结合|a+b|≤|a|+|b|易得. 【解析】根据条件有|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+|2(y-2)|+2. ≧|x-1|≤1,|y-2|≤1, ?|x-2y+1|≤1+2〓1+2=5. 答案:5
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9.【解析】≧|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m, ?|x-a|<m 且|y-a|<m 是|x-y|<2m 的充分条件,取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有|x-y|=2<5=2m,但|x-a|=5,不满足|x-a|< m=2.5,故|x-a|<m 且|y-a|<m 不是|x-y|<2m 的必要条件. 答案:充分不必要条件 10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求 f(x)-g(x)的最小值,求解时结 合绝对值三角不等式. 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6, 因为 x∈R,由绝对值三角不等式得 f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6 =|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2, 于是有 m+1≤-2,得 m≤-3, 即 m 的取值范围是(-≦,-3]. 11.【证明】(1)≧|x1-2|<1,|x2-2|<1, ?2-1<x1<2+1,2-1<x2<2+1, 即 1<x1<3,1<x2<3, ?2<x1+x2<6, |x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)| ≤|x1-2|+|x2-2|<1+1=2, 即|x1-x2|<2. (2)≧f(x)=x2-x+1, ?|f(x1)-f(x2)|=|x12-x1-x22+x2| =|(x1-x2)(x1+x2-1)|
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=|x1-x2||x1+x2-1|. 由(1)知 2<x1+x2<6,|x1-x2|>0, ?|x1-x2|<|x1-x2||x1+x2-1|<5|x1-x2|, 即|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|. 【方法技巧】含绝对值不等式的证明 证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条: (1)恰当地运用|a|-|b|≤|a〒b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及 等号成立的条件. (2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合 法及分析法等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论 法. 【变式训练】已知 f ? x ? ? 1 ? x 2 , a2≠b2, 求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
2 【证明】 | 1 ? a 2 ? 1 ? b| ? 2 2 |a 2 ? b| |a 2 ? b| < ? ? |a ? b| . ? b| |a ? b| 1 ? a 2 ? 1 ? b2 |a|| 2 |a 2 ? b|

≧ f ? a ? ? 1 ? a 2 , f ? b ? ? 1 ? b2 , ?|f(a)-f(b)|<|a-b|. 【挑战能力】 【解析】成立.因为左边=1 ?
? a?b 1? a ? b a 1? a ? ? b 1? b a 1? a ? b ? b 1? a ? b
1 1 ? 1? 1? a ? b 1? a ? b

?

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a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

成立.

又因为
? 1?

a ?b?c 1? a ? b ? c

? 1?

1 1? a ? b ? c

a?b?c 1 ? 1? a ? b ? c 1? a ? b ? c a ? b 1? a ? b ? c c 1? c ? a 1? a ? b 1? b ? c 1? c ? c 1? a ? b ? c

?

1? a ? b ? c a 1? a ? b 1? b

?

?

所以

a ?b?c 1? a ? b ? c

成立.

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