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高二数学圆锥曲线定义在解题中的应用教案


圆锥曲线第一定义在解题中的应用
安陆二中 方玲
新一轮的课程改革对高中数学课程的内容进行了适当的调整,更加强调本质,注重返 璞归真,努力揭示数学概念的形成和发展过程。对于三类圆锥曲线新课标明确指出:不要求 学生掌握其第二定义。 这就更加凸显了圆锥曲线的第一定义在解题中有着重要的作用, 本文 结合教学实例对椭圆的第一定义在解题中的应用进行说明,供参考。 一、利用第一定义求轨迹方程
s 例 1:已知 ? A B C 中,C(-2,0) ,B(2,0) n ,i B ? n i s C ? n i s 1 2 A

,求顶点 A 的

轨迹方程. 分析: 用正弦定理将 sin B ? sin C ?
1 2 1 2 sin A 化为 | A C | ? | A B |? 1 2 1 2 | B C |? | B C | ,由

双曲线的第一定义知顶点 A 的轨迹是以 C、B 为焦点,长轴长为 2 的双曲线的右支. 解:由正弦定理及 sin B ? sin C ?
sin A 得,∴ | A C | ? | A B | ? | B C |? | B C |

由双曲线的第一定义知顶点 A 的轨迹是以 C、B 为焦点,长轴长为 2 的双曲线的右支 ∴ c ? 2 , a ? 1 ,∴ b ? c ? a =3
2 2 2

∴顶点 A 的轨迹方程为 x ?
2

y

2

? 1 ( x ? 1 ).

3

点评:本题考查了双曲线的第一定义、正弦定理及双曲线的标准方程,利用定义求轨 迹是求轨迹问题的一种重要方法. 二、利用第一定义解决焦点三角形问题 例 2 已知 F1 ,F 2 是椭圆的两个焦点, F1 与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 过 若△ A B F2 是正三角形,求椭圆的离心率. 分析:本题关键在于寻找 a 、 c 间关系,结合图形,容易找到此关系. ? 解 析 : 由 △ A B F2 是 正 三 角 形 , 得 ? A F1 F 2 是 ? A F 2 F1 为 的直角三角形,设
6

| A F1 | = m ,则 | A F2 |? 2 m ,则 | F1 F 2 | =
c a 2c 2a

3 m ,由椭圆第一定义知, | A F1 | ? | A F 2 |? 2 a

= 3 m ,又 e =

=

=

3m 3m

=

3 3

.

点评:本题考查了椭圆的第一定义与椭圆性质,对焦点三角形问题,常用到第一定义. 三、利用第一定义求最值 例 3:已知 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 Q(2,2),在抛物线上找一点 P 使|PQ|+|PF|
2

最小,求点 P 的坐标. 分析:涉及到抛物线上一点到焦点的距离问题,可用抛物线的定义去处理.

解析:抛物线的准线 l 方程为 x ? ? 1 ,P 是抛物线上一点,过 P 作 PH⊥ l ,垂足为 H,根据抛物线定义知,|PH|=|PF|, ∴|PQ|+|PF|=|PQ|+|PH|, 当 H、P、Q 共线时,此时 P (1,2),|PQ|+|PH|值最小,最小值 为 3. 点评:将抛物线上一点到焦点的距离(即焦半径)转化为它 到准线距离构造出“点到直线的垂线段最短” 。 四、利用第一定义解与抛物线焦半径有关的问题 例 4:已知抛物线 y ? x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 2,求点 M 的坐标.
2

分析:本题是抛物线上一点到焦点的距离问题可利用抛物线的定义转化为到准线的距离 问题处理. 解析:设 M ( x , y ) ,由 y ? x 得, x ? y ,∴准线方程为 y ? ?
2 2

1 4



∴点 M 到准线的距离为 y ?
1 4

1 4


7 4

由抛物线的定义知 y ?

=2,解得 y ?

2 ,代入 x ? y 解得 x ? ?

7 2



∴点 M 的坐标为 ( ?

7 2

,

7 4

).

点评:本题也可以设出 M 点坐标,求出焦点坐标,利用两点距离公式构造方程组求解, 但过程复杂,抛物线定义是解决抛物线上一点到焦点距离的有效工具. 五、利用第一定义解与抛物线焦点弦有关的问题 例 5:已知抛物线 y ? 4 x ,过抛物线的焦点斜率为 2 的直线交抛物线于 A、B 两点,
2

求线段|AB|的长. 分析:过焦点的弦长问题可以利用抛物线的定义结合根与系数关系解决。 解析:设点 A、B 的横坐标分别为 x1 , x 2 , 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F(1,0) ,准线为 x ? ? 1 ,
2

∴点 A、B 到准线的距离分别为 x1 ? 1 , x 2 ? 1 , 根据抛物线的定义知,|AF|= x1 ? 1 ,|BF|= x 2 ? 1 , ∴|AB|=|AF|+|BF|= x1 ? 1 + x 2 ? 1 = x1 ? x 2 ? 2 直线 AB 的方程为: y ? 2 x ? 2 ,代入 y ? 4 x 化简整理得, x ? 3 x ? 1 ? 0 ,
2
2

∴ x1 ? x 2 =3,∴|AB|=3+2=5. 点评:圆锥曲线的弦长问题通常将曲线方程与直线方程联立转化为关于 x 或 y 的一元

二 次 方 程 , 利 用 根 与 系 数 的 关 系 与 弦 长 公 式 | AB | =
1 k
2

1? k

2

| x1 ? x 2 | 或

| AB | =

1?

| y1 ? y 2 | . 本 题 巧 用 定 义 不 难 得 到 抛 物 线 y

2

? 2 p x( p ? 0 )过 焦 点 弦

| A B | = x1 ? x 2 ? p ,大大简化了解题过程.

在数学解题过程中,应围绕核心的概念或定义展开教学,把数学教的本质、精确、简 单、实用、平易近人,这样才能引发学生的兴趣,让学生学的明明白白,想的清清楚楚,做 题才能文思泉涌。



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