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2015年2月宁德市质检卷 文数word版含答案

2015 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查

数学(文科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
1 锥体体积公式 V ? Sh 3

柱体体积公式 V ? Sh ,

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积公式 S ? 4?R 2 其中 R 为球的半径
4 体积公式 V ? ?R3 , 3

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 i(1 ? 2i) ( i 为虚数单位)等于 A. ?2 ? i B. 2 ? i C. ?2 ? i 2.已知集合 M ? x 2x ? 1 ,若 a ? M ,则实数 a 可以是 A. 3 3.已知 sin ? ? B. 2 C. 1 D. ?1 D. 2 ? i

?

?

3 , ? 为第二象限角,则 tan? 的值是 2 3 1 A. ? 3 B. ? C. ? D. 3 3 2 4.如图所示,矩形长为 3,宽为 2,在矩形内随机撒 200 颗黄豆,

数得落在椭圆内的黄豆数为 160 颗,依据此实验数据可以估计出 椭圆的面积约为 A.4.7 B.4.8 C.1.2 D.1.3

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“a ? b”是“ a ? b” 5. 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知一个几何体的三视图如图所示, 根据图中尺寸可得该几何体的体积为 A. 36 ? B. ??? C. 15 ? D. 12 ?
俯视图

4
正视图 侧视图

6

? 7.要得到函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? 3sin 2 x 的图象 4 ? ? A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 4 4
C.向右平移

? 个单位 8

D.向左平移
开始

? 个单位 8

8. 运行如图所示的程序框图,则输出的所有 实数对 ( x, y ) 所对应的点都在函数 A. f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的图像上

x ? 1, y ? 1

x ? x ? 1, y ? 2 y
B. f ( x) ? x ? 2x ? 2 的图像上
2

C. f ( x) ?

4 x 的图像上 3
x ?1

x?4?
否 结束



输出 ( x ,

y)

D. f ( x) ? 2

的图像上

9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x2 .若在 区间 [ ?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? a 有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是

1 A. (0, ) 2
1 C. ( ,1) 2

1 B. (0, ] 2
1 D. ( ,1] 2
文科数学试题 第 2 页 共 11 页

10. 若双曲线

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1有公共点,则此双曲线 2 a b 的离心率的取值范围是
A. (1,

2 3 2 3 2 3 2 3 ) ] , ??) , ??) B. (1, C. ( D. [ 3 3 3 3 ??2 ? 2 x ? y ? 2, 11.不等式组 ? 围成的区域为 ? ,能够把区域 ? 的周长和面积同时分为相等 ??2 ? 2 x ? y ? 2

两部分的曲线为 A . y ? x 3 ? 3x ? 1 C. y ? ln B. y ? x sin 2 x

2? x 1 D. y ? (e x ? e? x ) 2? x 4 12.一数字游戏规则如下: 第 1 次生成一个数 a , 以后每次生成的结果均是由上一次生成的
每一个数 x 生成两个数, 一个是 ?x , 另一个是 x ? 2 . 设前 n 次生成的所有数 的和为 Sn , ... 若 a ? 1 ,则 S6 ? A.63 B.64 C.127 D.128

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.某校参加“数迷会”社团的学生中,高一年级有 50 名,高二年级有 40 名.现用分层 抽样的方法在这 90 名学生中抽取一个容量为 18 的样本, 则在高二年级的学生中应抽 取的人数为 . . .

14.若向量 a ? (1, ?2) , b ? (?3, y) ,且 a ∥b ,则 a + b = 15.已知扇形的周长为 4, 则该扇形的面积的最大值为

x ? ?10 , x ? 0 16.已知函数 f ( x) ? ? x ,若对于任意 x ? [1 ? 2a, 1 ? 2a] ,不等式 f ( x ? a) ? f (2 x) ? ?e , x ? 0

恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

文科数学试题 第 3 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N? ) 在函数 f ( x) ? x 2 的图象上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

18.(本小题满分 12 分) 某市一水电站的年发电量 y (单位:亿千瓦时)与该市的年降雨量 x (单位:毫米) 有如下统计数据: 2010 年 降雨量 x (毫米) 发电量 y (亿千瓦时) 1500 7.4 2011 年 1400 7.0 2012 年 1900 9.2 2013 年 1600 7.9 2014 年 2100 10.0

(Ⅰ)若从统计的 5 年中任取 2 年,求这 2 年的发电量都低于 8.0(亿千瓦时)的概率;
? ? 0.004 x ? a ? .该水电站计划 2015 年的发电 (Ⅱ) 由表中数据求得线性回归方程为 y

量不低于 9.0 亿千瓦时, 现由气象部门获悉 2015 年的降雨量约为 1800 毫米, 请你预 测 2015 年能否完成发电任务,若不能,缺口约为多少亿千瓦时?

19.(本小题满分 12 分) 如图三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证:BC1∥平面 A1CM; (Ⅱ)若 CA=CB,A1 在平面 ABC 的射影为 M, 求证: 平面 A1CM⊥平面 ABB1 A1. A M A1

C1 B1

C B

文科数学试题 第 4 页 共 11 页

20.(本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? cos ? x ? cos(2? x ? ) (? ? 0) 的最小正周期为 2 ? . 3 f ( x ) (Ⅰ)求函数 的解析式; ? ABC (Ⅱ)在 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,当 x ? A 时函数 f ( x) 取到最值,
且 ?ABC 的面积为
3 3 , b ? c ? 5 ,求 a 的值. 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 (Ⅱ)求函数 g ( x) ? e x ? x2 ? 1 在 [0, ??) 上的最小值; 2
(Ⅲ)求证: ex ? ln x ?

3 . 2

22.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 与椭圆

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点重合. 4 3

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? 1 交抛物线于 A,B 两点,过 A,B 分别作抛物线的切线交于点 P. (ⅰ)探究 PF ? AB 是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由; (ⅱ)若直线 PF 与抛物线交于 C,D,求证: PC ? FD ? PD ? FC . y

2015 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查
B

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, A 如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的 x O P 评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分。 文科数学试题 第 5 页 共 11 页

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.A 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.C 12.A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 1 13.8; 14. 2 5 ; 15.1; 16. (0, ] . 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本题主要考等差数列、数列求和等基础知识;考查推理论证与运算求解能力,满分 12 分. 解: (I)∵点 (n, Sn ) 在函数 f ( x) ? x 2 的图象上, ∴ Sn ? n 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ∴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? n2 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 · 又 a1 ? 1 满足 an ? 2n ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∴ an ? 2n ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1 1 ? (II) ∵ bn ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? ( ? ) ,· 2 2n ? 1 2n ? 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn 1 1 1 1 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] · 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? (1 ? )? .· 2 2n ? 1 2n ? 1 18.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (I)从统计的 5 年发电量中任取 2 年的基本事件为 (7.4,7.0), (7.4,9.2), (7.4,7.9),(7.4,10.0), (7.0,9.2), (7.0,7.9), (7.0,10.0), (9.2,7.9), (9.2,10.0), (7.9,10.0) 共 10 个. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (说明:若列出不足 6 个,不给分;若列出 6 个,不足 10 个且所列均正确者得 1 分) 其中 2 年发电量都低于 8.0 (亿千瓦时)的基本事件为 (7.4, 7.0), (7.4, 7.9), (7.0, 7.9), 共 3 个. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 所以这 2 年发电量都低于 8.0 (亿千瓦时)的概率 P ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 10 1500 ? 1400 ? 1900 ? 1600 ? 2100 8500 (II)∵ x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? ? 1700, · 5 5 7.4 ? 7.0 ? 9.2 ? 7.9 ? 10.0 41.5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 y? ? ? 8.3. · 5 5 又直线 y ? 0.004x ? a 过点 ( x, y) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
文科数学试题 第 6 页 共 11 页

∴ 8.3 ? 0.004 ?1700 ? a , 解得 a ? 1.5 , ∴ y ? 0.004 x ? 1.5 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 当 x ? 1800 时, y ? 0.004 ?1800 ? 1.5 ? 8.7 ? 9.0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 所以不能完成发电任务,缺口量为 0.3 (亿千瓦时) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19. 本题主要考查空间线与线、线与面、面面的位置关系等基础知识;考查空间想象能力、 推理论证能力,满分 12 分. C1 证法一: (I)连接 AC1 交 A1C 于点 N ,则 N 为 A1C 的中点.??1 分 A1 B1 ∵ M 为 AB 的中点, ∴ MN // BC1 .?????????????????3 分 N 又∵ MN ? 平面A1CM , ????????????4 分 C BC1 ? 平面A1CM , ??????????????5 分 ∴ BC1 // 平面A1CM .??????????????6 分 (II)∵ CA ? CB , M 为 AB 的中点, ∴ CM ? AB . ????????????????7 分 ∵ A1 在平面 ABC 的射影为 M , ∴ A1M ? 平面ACB ,??????????????8 分 ∴ A1M ? AB ,????????????????9 分 又 CM
A1M ? M ,

A

M
证法一图

B

∴ AB ? 平面A1CM ,?????????????10 分 又 AB ? 平面ABB1 A1 ,????????????11 分
? 平面ABB1 A1. ??????????12 分 ∴ 平面ACM 1

证法二: (I)取 A1 B1 中点 N ,连结 BN , C1 N ,???1 分 ∵ M 为 AB 的中点, ∴ A1 N ? MB , A1 N / / MB ∴四边形 A1 MBN 为平行四边形, ∴ BN // A1M .????????????????2 分 同理可得 C1 N / /CM , 又 C1 N ? 平面A1CM , CM ? 平面A1CM ,????3 分 ∴ C1 N // 平面A1CM .?????????????4 分 同理 BN // 平面A1CM . ∵ C1 N
BN ? N ,

C1 A1 C A M
证法二图

N

B1

B

∴ 平面BC1 N // 平面A1CM ,???????????5 分 ∵ BC1 ? 平面BC1 N , ∴ BC1 // 平面A1CM . ?????????????6 分 (II)同解法一. 20.本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识;考查运 算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (I)依题意得: 文科数学试题 第 7 页 共 11 页

1 3 f ( x) ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? sin 2? x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 2 3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? sin(2? x ? ) , · 6 ∵? ? 0 , 2? ∴T ? ? 2? , 2? 1 ∴? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 ∴ f ( x) ? sin( x ? ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 6 (II)∵ 0 ? A ? ? , ? ? 7? ∴ ? A? ? . 6 6 6 ∵ f ( x) ? sin( x ? ) 在 x ? A 时取得最值, 6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 3 1 3 3 3 bc ? ∵ S?ABC ? bc sin A ? , 2 4 2 ∴ bc ? 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ∵b ? c ? 5 , ∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 ? b ? c ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ? 25 ? 18 ? 7 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ∴ a ? 7. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21.本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 考查化归转化思想、函数方程的思想、数形结合思想.满分 12 分. 解法一: (I) f ?( x) ? e x ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? ? 由 f ( x) ? 0 可得 x ? 0, ;由 f ( x) ? 0 可得 x ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 f ( x ) ( ?? , 0) (0, ?? ) ∴ 在 上单调递减,在 上单调递增.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ∴ A?

?

?

?

?

6

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, A?

?

(II) g ?( x) ? e x ? x, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 由(I)知 g ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, ∴ g ?( x) ? g ?(0) ? 1 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ∴ g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ∴ x ? [0, ??) 时, g ( x)min ? g (0) ? 0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (III)由(II) 知当 x ? 0 时, g ( x) ? 0, 1 即 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 文科数学试题 第 8 页 共 11 页

1 2 3 1 1 x ? 1 ? (ln x ? ) ? x2 ? ln x ? , 2 2 2 2 2 1 x ?1 则 h?( x) ? x ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ( x ? 0) , · x x 由 h?( x) ? 0 可得 x ? 1 ;由 h?( x) ? 0 可得 0 ? x ? 1, ∴ h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∴ h( x) ? h(1) ? 0 , 1 3 ∴ x ? 0 时, x2 ? 1 ? ln x ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 2 3 ∴ e x ? ln x ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 解法二: (I)(II)同解法一. 3 (III)设 h( x) ? e x ? ln x ? , 2 1 则 h?( x) ? e x ? ( x ? 0) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x 1 ∵ h?( x) ? e x ? 在 (0, ??) 上单调递增, x 1 1 1 且 h?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , h?(1) ? e ? 1 ? 0 , h( x) 在 ( ,1) 上连续, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 2 1 1 ∴存在唯一 x0 ? ( ,1) ,使得 h?( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ? , x0 ? ? ln x0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x0 2
设函数 h( x) ? ∴ x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减, x ? ( x0 , ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增, …………………………11 分 3 1 3 3 1 ∴ h( x) ? h( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? ? ? x0 ? ? 2 ? ? ? 0, 2 x0 2 2 2

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 .· 2 22.本题主要考查直线、抛物线、椭圆等基础知识及直线与抛物线的位置关系;考查运 算求解、抽象概括能力,化归与转化思想.满分 14 分. p 解法一: (I)∵抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F (0, ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2 y 2 x2 椭圆 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? 1 的焦点为 (0, ?1) · 4 3 p ∴ ? 1, p ? 2, 2 ∴抛物线的方程为 x2 ? 4 y . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
∴ h( x ) ? 0 , 即 e x ? ln x ?
? y ? kx ? 1 (II) (ⅰ)联立 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 , 得 x2 ? 4kx ? 4 ? 0, · ?x ? 4 y ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 文科数学试题 第 9 页 共 11 页

则 x1 ? x2 ? 4k , x1 ? x2 ? ?4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 由 x 2 ? 4 y ,得 y ?

x2 x , y? ? , 4 2
1 x1 ( x ? x1 ), 2

所以过 A 的切线 PA 的方程为: y ? y1 ? 整理得:

1 1 ??? ① …………………………………6 分 x1 x ? x12 2 4 1 1 同理切线 PB 的方程为: y ? x2 x ? x22 ??? ② 2 4 x ?x 联立①②解得 xP ? 1 2 ? 2k , yP ? ?1, 即 P (2k , ?1). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 当 k ? 0 时, P(0, ?1) , F (0,1), 有 PF ? AB. ……………………………………………8 分 1 ? (?1) 1 当 k ? 0 时, kPF ? ? ? , 有 PF ? AB. 0 ? 2k k 所以 PF ? AB ? 0 为定值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1 (ⅱ)由(ⅰ)可设直线 PF 的方程为: y ? ? x ? 1(k ? 0) .???????10 分 k y 1 ? y ? ? x ? 1 4 ? , 得 x2 ? x ? 4 ? 0, k 由? k ? x2 ? 4 y D B ? y?
x32 x2 ) , D ( x4 , 4 ) 4 4 4 则 x3 ? x4 ? ? , x3 ? x4 ? ?4, ???????11 分 k ∵ P(2k , ?1) , F (0,1).

设 C ( x3 ,

C P

F A O

x

∴ PC ? FD ? PD ? CF 1 1 1 1 ? ( x3 ? 2k , x32 ? 1) ? ( x4 , x42 ? 1) ? ( x4 ? 2k , x42 ? 1) ? (? x3 ,1 ? x32 ) 4 4 4 4 1 1 1 1 ? ( x3 ? 2k ) ? x4 ? ( x32 ? 1) ? ( x42 ? 1) ? ( x4 ? 2k ) x3 ? ( x42 ? 1) ? ( x32 ? 1) ???12 分 4 4 4 4 1 ? 2x3 x4 ? 2k ( x3 ? x4 ) ? x32 x42 ? 2 8 4 1 ? ?8 ? 2k (? ) ? ? (?4)2 ? 2 =0 k 8 ∴ PC ? FD ? PD ? CF , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 又 P, C , F , D 共线, ∴ | PC | ? | FD |?| PD | ? | CF | . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 解法二: (I) (II) (ⅰ)同解法一 1 (ⅱ)由(ⅰ)可设直线 PF 的方程为: y ? ? x ? 1(k ? 0) .???????10 分 k

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1 ? 4 ?y ? ? x ?1 , 得 x2 ? x ? 4 ? 0, k 由? k ? x2 ? 4 y ?

设 C ( x3 ,

x32 x2 ) , D ( x4 , 4 ) 4 4 4 则 x3 ? x4 ? ? , x3 ? x4 ? ?4, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 k x | PC | 2k ? x3 | FC | ? , ?? 3,· ∴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 | PD | 2k ? x4 | FD | x4

4 由 2k ? (? ) ? 2 ? (?4) ? 0 k 得 2k ( x3 ? x4 ) ? 2 x3 ? x4 ? 0,
∴ 2kx4 ? x3 ? x4 ? ?2kx3 ? x3 ? x4 , ????????????????????13 分 2k ? x3 x | PC | | FC | ?? 3 , ? , ∴ 2k ? x4 x4 | PD | | FD | ∴ | FC | ? | PD |?| FD | ? | PC | . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 y 解法三: (I),(II) (ⅰ)同解法一 (ⅱ)由(ⅰ)知 P 在准线 l : y ? ?1 上, ???10 分 过 C , D 作 CC1 ? l , DD1 ? l , C1 , D1 为垂足, 则 | CF |?| CC1 | , | DF |?| DD1 | . ????????12 分 | FC | | CC1 | | PC | ? ? , 所以 | FD | | DD1 | | PD | 即 | FC | ? | PD |?| FD | ? | PC | . ?????????14 分 B D

C P C1

F A O

D1 1

x

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