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高一数学集合的含义与表示教案[1]


高一数学——集合
第一讲 集合的含义与表示 四、关于集合概念的提问 大家对集合、元素已有一定的概念,那么从特殊到一般,我们对元素、集合给一个定义。 1、那么什么叫元素?集合? 定义:一般地,研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) ,也简称 集。 (通俗一点说:由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说,每一组
对象的全体形成一个集合,或者说,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.)

集合通常用大写的拉丁字母表示,如 A、B、C、??元素通常用小写的拉丁字母表示,如 a、b、 c、?? 2、集合中的元素的有哪些特征?
(1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此,同一集合中不 应重复出现同一元素。 (3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.(这一点教材中的例 1 中有一句话,可举例,让教室中的同学 坐到不同的位置,问本教室内所有人,这个集合是否有变化)

3、什么叫集合是相等的?
集合相等:构成两个集合的元素完全一样

4、如何表示元素与集合的关系?
(1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a ? A

例如:1、扑克牌的黑桃为集合 A,则红心 2 ? A,黑桃 2∈A 5、常用数集及其记法
(1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合 记作 N, N ? ?0,1,2, ??
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(2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+ , N * ? ? 1,2,3, ??
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? 1, ? 2, ?? (3)整数集:全体整数的集合 记作 Z , Z ? ?0,
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(4)有理数集:全体有理数的集合 记作 Q , Q ? 整数与分数
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?

?

(5)实数集:全体实数的集合 记作 R, R ? 数轴上所有点所对应的 数
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?
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?

注: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0 (2)非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+ Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也是这样表示,例如, 整数集内排除 0 的集,表示成 Z*
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练习 五、集合的表示方法
1

1、列出集合的表示方法:自然语言、列举法和描述法表示集合。
我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法 来表示集合。

2、列举法
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 例 1. (课本例题) 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 用列举法必须注意的事项: (1)大括号不能缺失. (2)有些集合种元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可如下表示:从 1 到 100 的所有整数组成的集合:{1,2,3,?,100} 自然数集 N:{1,2,3,4,?,n,?} (3)区分 a 与{a}:{a}表示一个集合,该集合只有一个元素. a 表示这个集合的一个元素. (4)用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次. 有些集合的元素是列举不完的,此时就要用下面的方法来表示。

3、描述法
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; 例 2. (课本例 2) 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代 表整数集 Z。 例 集合 {( x, y) | y ? x ? 1} 与集合 { y | y ? x ? 1} 是同一个集合吗?
2 2

答 : 不 是 因 为 集 合 {( x, y) | y ? x ? 1} 是 抛 物 线 y ? x ? 1 上 所 有 的 点 构 成 的 集 合 , 集 合
2 2
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{y | y ? x 2 ? 1} = { y | y ? 1} 是函数 y ? x 2 ? 1 的所有函数值构成的数集

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辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素 较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 4、何时用列举法?何时用描述法? ⑴有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法 如:集合
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{x 2 ,3x ? 2,5 y 3 ? x, x 2 ? y 2 }
⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描述法 如:集合 {( x, y) | y ? x ? 1} ;集合{1000 以内的质数}
2
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2

六、课堂练习 做练习前, 对集合中元素三个特性再认识: (1) 确定性:指的是作为一个集合中元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于不属于这个 集合是确定的。要么是该集合中的元素要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是 否构成集合。 (2) 互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的。如 方程 ( x ? 1) 2 ? 0 的解构成的集合为 ? 而不能记为 ? 这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确, 1? , 1,1? 。 或用来求集合中的未知元素。如果已知两个集合的关系,求集合中字母的取值时,求出后一定要检验,以 满足集合中元素的互异性。 (3) 无序性:集合与其中的元素的排列顺序无关,如集合 ?a, b, c?与 ?c, b, a?是相等的集合,这个特性通常用来 判断两个集合的关系。 1、教材第五页:练习 2、下列各组对象能确定一个集合吗? (1)所有很大的实数
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(2)好心的人

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(3)1,2,2,3,4,5.

3、设 a,b 是非零实数,那么

a a

?

b b

可能取的值组成集合的元素是__

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4、由实数 x,-x,|x|, x 2 ,?3 x 3 所组成的集合,最多含 A、2 个元素 B、3 个元素 ) C、 0 ? ?0, 1?

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C、4 个元素 D、5 个元素 D、 1 ? ?0, 1?

5、下列关系中正确的是(

? 0, ? A、 0 ?( 1 )

6、在数集 2x, x ? x 中,实数 x 的取值范围是
2

?

? 0, ? B、 1 ?( 1 )

?

2 7、已知集合 A ? x ax ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R ,若集合 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围。

?

?

8、下列各组中的两个集合 P 和 Q,表示同一集合的是( A、 P ? 1, 3, ? , Q ? ? ,1, ? 3 C、 P ? ?2,3?, Q ? ?(2,3)? 9、已知集合 M ? ?a ? Z

?

?

?

?



? B、 P ? ? ? ?, Q ? ?3.14159
D、 P ? x ? 1 ? x ? 1, x ? N , Q ? ?? 1

?

?

? ?

? 6 ? N * ? ,则 M 是( 5?a ?
C、 ?2,3?



A、 ?? 1,2,3,4?
2

B、 ?2,3,7,8?

? D、 ?? 1,2,3,6,7,8,11

10、 x ? ? 1,0, x? ,求实数 x 的值。
3

11、已知 a ?

1 2? 3

, A ? x x ? m ? 3n, m, n ? Z ,则 a 与 A 之间是什么关系?

?

?

12、用列举法表示下列集合
* * (1) A ? ( x, y ) x ? y ? 4, x ? N , y ? N ; (2) B ? ?

?

?

? 6 ? ? Z x ? N? ?1 ? x ?

(3)方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 的解集 四、作业 1、 ( 1) “某中学的大胖子”(2)“某校身高超过 1.80 米的学生” (3) “08 年北京奥运会的比赛项目” (4) ?a, a, b, c? 以上四者不能组成集合的哪几个?

2、集合 ( x, y) y ? 2x ? 1 表示( A、方程 y ? 2 x ? 1 B、点 ( x, y )

?

?

) C、平面直角坐标系中的所有点组成的集合

D、函数 y ? 2 x ? 1 图象上的所有点组成的集合 3、定义集合运算: A ? B ? ?z | z ? xy, x ? A, y ? B? .设 A ? ?1, 2? , B ? ?0, 2 ? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为 ( ) A.0 B.2 C.3 ) D.6

2 4、用列举法表示集合 x x ? 2 x ? 1 ? 0 为(

?

?

A、 ? 1,1?

B、 ? 1?

C、 ?x ? 1?

D、 x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?

?
) D、直角三角形

5、若以集合 S ? ?a, b, c?中三个元素为边可以构成一个三角形,那么该三角形一定不是( A、锐角三角形 B、等腰三角形 C、钝角三角形

6、含有 3 个实数的集合可表示为 ?a,

? b ? ,1? ,也可以表示为 a 2 , a ? b,0 ,则 a ? b ? a ? ?

?

?

7、若 ? 3 ? a ? 3,2a ? 1, a ? 4 ,求实数 a
2

?

?

8、已知 A ? a ? 1,2a ? 5a ? 1, a ? 1 ,且 ? 2 ? A ,求 a 值。
2 2

?

?

2 9、已知集合 A ? x ? R mx ? 2 x ? 3 ? 0, m ? R ,且 A 中只有一个元素,求 m 的值。 (世纪金榜)

?

?

4


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