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高优指导2017高考数学一轮复习 解答题增分专项6 高考中的_图文

解答题增分专项六 高考中的概率与统计

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从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与 统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,其中回归 分析、独立性检验,用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查 重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇 考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率 分布直方图、频率、概率以及概率分布列等知识交汇考查;三是期 望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、 二项分布等知识交汇考查.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型一利用回归方程进行回归分析 如果某一个量组成比较复杂,求它的值计算量比较大,为使计算 准确,可将这个量分成几个部分分别计算,最后再合成,这样等同于 分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
例1某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千 元)的数据如下表:

年份 年份代号 t

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 1234567

人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

(1)求y关于t的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民 家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人 均纯收入. 附:回 归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b==∑1∑n(ti(-t)-(y)i2-y),a=-b.
i=1

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)由所给数据计算得, = 17(1+2+3+4+5+6+7)=4,

= 17(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

7

7

∑ (ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28, ∑ (ti-)(yi-)

=1

i=1

=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9

+3×1.6=14,
7
b==∑1=∑(71(-)-()2-) = 1248=0.5,a=-b =4.3-0.5×4=2.3,

所求回归方程为^=0.5t+2.3.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
(2)由(1)知,b=0.5>0,故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均 纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2017年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得
y=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
对点训练1 (2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投
入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单 位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售 量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计 量的值.

8
x y w ∑ (xi-x)2
i=1
46.6 563 6.8 289.8

8
∑ (wi-w)2
i=1
1.6

8
∑ (xi-x)(yi-y)
i=1
1 469

8
∑ (wi-w)(yi-y)
i=1
108.8

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

表中 wi=

,



=

1 8

8
∑ wi.
=1

(1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销

售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明

理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程;

(3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)

的结果回答下列问题:
①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的

n

∑ (-)(-)

斜率和截距的最小二乘估计分别为

β=i=1


(-)2

,α=-β.

=1

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
解:(1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型.
(2)令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.
8
由于 d==∑1∑(8w(i-w-)(y)i2-y) = 110.86.8=68,
i=1
c=-d=563-68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 y=100.6+68 .

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(3)①由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值
y=100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值 z=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值
z=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12.
所以当 = 132.6=6.8,即 x=46.24 时,z 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型二依据统计数据求事件发生的概率 求某事件发生的概率,首先分析所求事件可由哪些小事件组成, 并设出各个小事件,其次分析这些小事件间的关系(独立、互斥),并 写出由小事件组成的所求事件,最后用小事件的频率充当其概率求 出所求事件的概率.
例2(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意
度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意 度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎 叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具 体值,给出结论即可);

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分

满意度等级 不满意

满意

非常满意

记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等 级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发 生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:

通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地 区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地 区用户满意度评分比较分散.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;

CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;

CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;

CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”, 则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.

P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P

(CB2)P(CA2).

由所给数据得

CA1,CA2,CB1,CB2

发生的频率分别为16
20

,

4 20

,

10 20

,

280,

故 P(CA1)=1260,P(CA2)=240,P(CB1)=1200,P(CB2)=280,

P(C)=1200

×

16 20

+

8 20

×

240=0.48.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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对点训练2 (2015北京,理16)A,B两组各有7位病人,他们服用某 种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
A组:10,11,12,13,14,15,16 B组:12,13,15,16,17,14,a 假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率; (2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求 证明)

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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解:设事件 Ai 为“甲是 A 组的第 i 个人”,事件 Bi 为“乙是 B 组的
第 i 个人”,i=1,2,…,7. 由题意可知 P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,…,7. (1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A
组的第 5 人,或者第 6 人,或者第 7 人”,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是 P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

-18-

(2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知, C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6 ∪A7B6. 因此
P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2
)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6) =10P(A4B1)
=10P(A4)P(B1) =1409. (3)a=11 或 a=18.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型三频率分布表(图)与数字特征及正态分布的综合 若已知样本的频率分布表或样本的频率分布直方图,求样本的 平均数及样本的方差,由于每个样本的具体值不知道,只知道在某 一区间上样本的个数,这时取区间两端数据的平均值作为样本的具 体值,求样本的平均值及方差. 例3从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一 项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),其中 μ 近似为样本平均数,σ2 近似为样本方差 s2.
①利用该正态分布,求 P(187.8<Z≤212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件 产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,
求 EX.
附: 150≈12.2.若 Z~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<Z≤μ+σ)=0.682 6,P(μ2σ<Z≤μ+2σ)=0.954 4.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 s2 分 别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220× 0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z≤212.2)=P(200-
12.2<Z≤200+12.2)=0.682 6.
②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率
为 0.682 6, 依题意知 X~B(100,0.682 6),所以 E(X)=100×0.682 6=68.26.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

对点训练3 为了解一种植物的生长情况,抽取一批该植物样本测

量高解度:((单1)根位据:cm频),率其分频布率直分方布图直,方得图该如植物 图样所本示高. 度的平均数

关闭

=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,

方差

s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)

2×0.05=110.

(2)由(1)知,Z~N(75,110),

据6=用0.(该3从14)组1求而3区该,P间(植64的物.5中<样Z点本≤值高75作度)=代的12 ×表平P)(均.75数-10.和5<样Z≤本7方5+差10s.25()同=12一×组0.6中82的数

本4=平0.(均4P27()数77假52<设;,Zσ该≤ 2 近植96似物)=为的12 样×高P本(度7方5Z-2差服×1s从02..利5正<用态Z≤该分7正布5+态2N×分(μ1,布0σ.25求)),=其12中×0μ.9近54似为样 P(64.5∴<PZ(≤649.56<).Z≤96)=P(64.5<Z≤75)+P(75<Z≤96)=0.341

3+0.附47:7 21=10.≈8108.5.若 Z~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<Z≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-

2σ<Z≤μ+2σ)=0.954 4.

答案

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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题型四求随机变量的概率、概率分布列及期望 突破策略一 频率代替法
在统计中,某事件的概率无法确知,可以通过频率分布表(直方图) 计算某事件的频率,以频率估计其概率来进行相关计算.
例4某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明 质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种 新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品, 并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

A配方的频数分布表

指标值 分组 [90,94) [94,98)

频数 8

20

[98,102) 42

[102,106) 22

B配方的频数分布表

指标值 分组 [90,94) [94,98)

频数 4

12

[98,102) 42

[102,106) 32

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[106,110] 8
[106,110] 10

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率; (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标 值t的关系式为 -2, < 94,
y= 2,94 ≤ < 102, 4, ≥ 102.
从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的 分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作 为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为

2120+08=0.3,所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3;

由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为

321+0010=0.42,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42.

(2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间 [90,94),[94,102),[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此P(X=-

2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列为 X -2

2

4

P 0.04 0.54 0.42

X的数学期望EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
对点训练4 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资 料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销 商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单 位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各 个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的 概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于 需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.

解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,

当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.

所以

T=

800-39 000,100 ≤ < 65 000,130 ≤ ≤ 150.

130,

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季 度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为

T 45 000 P 0.1

53 000 0.2

61 000 0.3

65 000 0.4

所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4
=59 400.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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突破策略二 正难则反法 在求离散型随机变量的分布列时,如果随机变量X取a时的概率包 含的情况比较复杂,不易求出,可先求随机变量X其余值的概率,然后 利用随机变量X各个值的概率之和为1的性质求出,即P(a)为1减去X 取其余值时的各个概率.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

例5一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任

取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批

产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果

n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过

检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的

概率都为

1 2

,且各件产品是不是优质品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率;

(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要

检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分

布列及数学期望.

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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,

第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产

品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件

B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1

与 A2B2 互斥,所以

P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=

C43

1 2

3

1 2

·

1 2

4
+ C44

1 2

4

1 2

=

4 16

×

1 16

+

1 16

×

1 2

=

634.

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且

P(X=500)=116,P(X=800)=14,P(X=400)=1-146

?

1 16

=

1116,

所以 X 的分布列为

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

-33-

X 400

500

800

11

1

1

P

16

16

4

EX=400×1116+500×116+800×14=506.25.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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对点训练5 (2015辽宁葫芦岛二模)某电视台推出一档游戏类综 艺节目,选手面对1—5号五扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播 放一段音乐,选手需正确回答这首歌的名字,回答正确,大门打开,并 获得相应的家庭梦想基金,回答每一扇门后,选手可自由选择带着 目前的奖金离开,还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金, 但是一旦回答错误,游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零; 整个游戏过程中,选手有一次求助机会,选手可以询问亲友团成员 以获得正确答案.

-35-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
1-5 号门对应的家庭梦想基金依次为 3 000 元、6 000 元、8 000 元、12 000 元、24 000 元(以上基金金额为打开大门后的累积 金额,如第三扇大门打开,选手可获基金总金额为 8 000 元);设某选 手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为 pi(i=1,2,…,5),且 pi=67--(i=1,2,…,5),亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为 15,该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率 均为12.
(1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得12 000元家庭梦想基 金的概率;
(2)若选手在整个游戏过程中不使用求助,且获得的家庭梦想基金 数额为X(元),求X的分布列和数学期望.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

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解:设事件“该选手回答正确第 i 扇门的歌曲名称”为事件 Ai,“使

用求助回答正确歌曲名称”为事件 B,

事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件 C;



P(A1)=56,P(A2)=45,P(A3)=34,P(A4)=23,P(A5)=

1,P(B)=1,P(C)=1.

2

5

2

(1)设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得 12 000 元家

庭梦想基金”为事件 A,则 A=A1CA2C3BCA4

,故

P(A)=56

×

4 5

×

1 4

×

1×2× 1 4 = 1 .

53 2

720

∴选手在第三扇门使用求助且最终获得 12 000 元家庭梦想基

金的概率为 1 .
720

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

-37-

(2)X 的所有可能取值为 0,3 000,6 000,8 000,12 000,24 000;

P(X=3 000)=P(A1

)=56

×

1 2

=

152;

P(X=6 000)=P(A1CA2

)=56

×

4 5

×

1 2

2

= 16;

P(X=8 000)=P(A1CA2CA3

)=56

×

4 5

×

3 4

×

1 2

3

= 116;

P(X=12 000)=P(A1CA2CA3CA4

)=5 × 4 × 3 × 2 ×
6543

1

4
=

1;

2

48

P(X=24

000)=P(A1CA2CA3CA4CA5)=56

×

4 5

×

3 4

×

2 3

×

1 5 = 1;

2

96

P(X=0)=1-

5 +1+ 1 + 1 + 1
12 6 16 48 96

=1-6956

=

31.
96

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

-38-

∴X 的分布列为:

X 0 3 000 6 000 8 000 12 000 24 000

31 5

1

1

1

1

P

96 12

6

16

48

96

∴EX=0×

3916+3

000×

152+6

000×

16+8

000×

1 16

+12

000×

1 48

+24

000×

916=1

250+1

000+500+250+250

=3 250(元).

∴选手获得的家庭梦想基金数额 X 的数学期望为 3 250 元.

-39-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型五期望与方差的实际应用 利用期望与方差解决实际中的问题,首先计算并比较两个随机 变量的期望,期望大表明随机变量取值的平均水平大.如果期望相 等,还要计算并比较它们的方差,方差大,说明取值较分散;方差小,说 明取值较集中. 例6某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然 后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾 处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当 天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;

-40-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量 n 频数

14 15 16 17 18 19 20 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X
的分布列、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还
是17枝?请说明理由.

-41-

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)当日需求量n≥16时,利润y=80. 当日需求量n<16时,利润y=10n-80. 所以y关于n的函数解析式为

y=

10-80, < 80, ≥ 16

16,(n∈N).

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且

P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
X的分布列为 X 60 70 80

P 0.1 0.2 0.7

X的数学期望为
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X的方差为D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.

-42-

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

②答案一:

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y

的分布列为

Y 55 65 75

85

P 0.1 0.2 0.16 0.54

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16 +(85-76.4)2×0.54=112.04.
由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润 波动相对较小.
另外,虽然EX<EY,但两者相差不大. 故花店一天应购进16枝玫瑰花.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

-43-

答案二: 花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为
Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平 均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

-44-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
对点训练 6 某地农民种植 A 种蔬菜,每公顷每年生产成本
为 105 000 元,A 种蔬菜每公顷产量及价格受天气影响,预计明年雨 水正常的概率为23,雨水偏少的概率为13.若雨水正常,A 种蔬菜每公顷 产量为 30 000 千克,单价为 6 元/千克的概率为14,单价为 3 元/千克的 概率为34;若雨水偏少,A 种蔬菜每公顷产量为 22 500 千克,单价为 6 元/千克的概率为23,单价为 3 元/千克的概率为13.
(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率; (2)在政府引导下,计划明年采取“公司加农户,订单农业”的生产 模式,某公司未来不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立 大棚后,产量不受天气影响,因此每公顷产量为37 500千克,农民生 产的A种蔬菜全部由公司收购,为保证农民的每公顷预期收入增加 15 000元,收购价格至少为多少?

-45-

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:(1)只有当价格为 6 元/千克时,农民种植 A 种蔬菜才不亏本,

则农民种植

A

种蔬菜不亏本的概率是

P=23

×

1 4

+

1 3

×

2 3

=

7.
18

(2)按原来模式种植,设农民种植 A 种蔬菜每公顷收入为 ξ 元,

则 ξ 可能取值为 75 000,30 000,-15 000,-37 500.

P(ξ=75

000)=23

×

1 4

=

16,

P(ξ=30

000)=13

×

2 3

=

29,

P(ξ=-15 000)=2 × 3 = 1,
34 2
P(ξ=-37 500)=1 × 1 = 1,
33 9
E(ξ)=75 000× 16+30 000× 29-15 000× 12-37 500× 19=7 500.

设收购价格为 a 元/千克,农民每公顷预期收入增加 15 000 元,

则 37 500a≥105 000+22 500,即 a≥3.4,

所以收购价格至少为 3.4 元/千克.

-46-
解决高考解答题中的统计与统计案例,以及统计与概率相结合的 综合问题,先通过审题将条件与结论分块,并加以转化或具体化,再 分块处理加以整合,其中解决题目中有关概率问题的关键是读懂题 意,能从题目的统计背景中抽取有关概率的相关信息,然后将信息 转化为概率所属类型,按照概率所属类型求出概率.


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