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2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国新课标I卷无答案)

试卷类型:A 卷

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
一.选择题:在大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2 (1) 已知集合 A ?1 2,4? , B= x | x ? n , n ? A ,则 A ? B ? ( = ,3,

?

?



(A) ?1 4? , (2)

(B) ?1,3? )

(C)

?9,16?

(D) ?1,2?

1 ? 2i ? ( (1 ? i )2
1 i 2

(A) ?1 ?

(B) ?1 ?

1 i 2

(C) 1 ?

1 i 2

(D) 1 ?

1 i 2


(3)从 1,2,3,4 中任取两个不同的数,则取出的两个数之差的绝对值为 2 的概率是( (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6


(4)已知双曲线 C : (A) y ? ?

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
1 x 3
x

1 x 4

(B) y ? ?
x

(C)

1 y?? x 2

(D) y ? ? x )

(5)已知命题 P : ?x ? R,2 ? 3 ; 命题 q : ?x ? R, x3 ? 1 ? x 2 , 则下列命题中为真命题的是( (A) p ? q (B) ? p ? q (C)

p ? ?q

(D) ?p ? ?q )

(6)设首项为 1,公比为

2 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则( 3
(C) Sn ? 4 ? 3an

(A) Sn ? 2an ? 1 (B) Sn ? 3an ? 2

(D) Sn ? 3 ? 2an )

(7)执行右面的程序框图,如果输入的 t ?? ?1,3? ,则输出的 s ?( (A) ? ?3,4? (B) ? ?5,2? (C)

??4,3?

(D) ? ?2,5?

(8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y 2 ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,则 ?POF 的 面积为( (A) ) (B) 2 2 (C)

2

2 3

(D) 4 )

(9)函数 f ( x) ? (1 ? cos x)sin x 在 ? ?? ,? ? 的图像大致为(

(A)

(B)

(C)

(D)

2 (10)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 23cos A ? cos2 A ? 0, a ? 7, c ? 6 ,则 b ?

( ) 10 (A)

(B) 9

(C)

8

(D) 5

(11) 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( (A) 16 ? 8? (B) 8 ? 8? (C) 16 ? 16?

) (D) 8 ? 16? )

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 (12)已知函数 f ( x ) ? ? ,若 | f ( x) |? ax, 则 a 的取值范围是( ? ln( x ? 1), x ? 0
(A) ( ??,0] (B) ( ??,1] (C)

[? 2 , 1 ]

(D) [?2,0]

二.填空题:本大题共 4 小题同,每小题 5 分 (13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c = 0 则 t ? ______
0

(14)设 x, y 满足约束条件 ?

?

1? x ? 3

??1 ? x ? y ? 0

,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______

(15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足,? 截球 O 所得截 面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为______ (16)设当 x ? ? 时,函数 f ( x ) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则 cos ? ? ______ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0, S5 ? ?5 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项分式;

(Ⅱ)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和。 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

(18) (本小题满分 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患 者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h) ,试验的观测 结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? A药 0. 1. 2. 3. B药

(19) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB, AB ? AA , ?BAA ? 600 。 1 1 (Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2, AC ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积。 1

C

C1

B

B1

A

A1

(20) (本小题满分 12 分)
x 2 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x, 曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 4 。

(Ⅰ)求 a , b 的值;

(Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性,并求 f ( x ) 的极大值。 (21) (本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1, 圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9, 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 圆心 P 的轨迹 为曲线 C 。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P , M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 圆 当圆 P 的半径最长时, | AB | 。 求 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 、 、 的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上,?ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , DB 垂直 BE 交圆于点 D 。 (Ⅰ)证明: DB=DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1 , BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 ?BCF 外接圆的半径。

D

B

F E

C

A

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 (t为参数) ? y ? 5 ? 5sin t

标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

( 0 (Ⅱ)求 C1与C2 交点的极坐标 ? ? 0,? ? ? 2?) 。
(22) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a |, g ( x) ? x ? 3 。 (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x ) ? g ( x ) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1, 且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x ) ? g ( x ) ,求 a 的取值范围。 2 2


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