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概率论与数理统计答案(东华大学出版)第二章 (1)

第二章
第二节

离散型随机变量及其分布律
一维离散型随机变量及其分布律习题

1、 一个口袋里有 6 只球,分别标有数字-3、-3、1、1、1、2,从中任取一个球,用 ? 表示 所得球上的数字,求 ? 的分布律。 解答:因为 ? 只能取-3、1、2,且分别有 2、3、1 个,所以 ? 的分布律为:

?
P{? ? xi }

-3 2/6

1 3/6

2 1/6

2、 在 200 个元件中有 30 个次品,从中任意抽取 10 个进行检查,用 ? 表示其中的次品数, 问 ? 的分布律是什么? 解答:由于 200 个元件中有 30 个次品,只任意抽取 10 个检查,因此 10 个元件中的次品数 可能为 0、1、2 到 10 个。当次品数 ? 为 k 时,即有 k 个次品时,则有 10- k 个正品。所以:

? 的分布律为: P{? ? k} ?

k 10 C30C170?k , k ? 0,1,?,10 。 10 C200

3、 一个盒子中有 m 个白球, n ? m 个黑球,不放回地连续随机地从中摸球,直到取到黑球 才停止。设此时取到的白球数为 ? ,求 ? 的分布律。 解答:因为只要取到黑球就停止,而白球数只有 m 个,因此在取到黑球之前,所取到的白 球数只可能为 0 ? m 中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数 ? 等于 k ,则第

k ? 1 次取到是黑球,以 Ai 表示第 i 次取到的是白球; Ai 表示第 i 次取到的是黑球。则 ? 的

_

分布律为:

P{? ? k} ? P( A1 A2 ? Ak Ak ?1 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ? P( Ak ?1 | A1 ? Ak ) m m ?1 m ? k ?1 n ? m ? ? ?? ? ? , k ? 0,1,? , m n n ?1 n ? k ?1 n ? k

_

_



4、 汽车沿街道行驶,要通过 3 个有红绿灯的路口,信号灯出现什么信号相互独立,且红绿 灯显示时间相等。以 ? 表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数,求 ? 的分布律。 解答:因为只有 3 个路口,因此 ? 只可能取 0、1、2、3,其中 {? ? 3} 表示没有碰到红灯。 以 Ai 表示第 i 个路口是红灯,因红绿灯显示时间相等,所以 P( Ai ) ? 1/ 2 ,又因信号灯出现 什么信号相互独立,所以 A1 , A2 , A3 相互独立。因此 ? 的分布律为:

P{? ? 0} ? P ( A1 ) ?
_

_

1 , 2
_

P{? ? 1} ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ?
_ _ _ _

1 , 4
1 , 8

P{? ? 2} ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ?
_ _ _ _ _ _

P{? ? 3} ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1/ 8 。
5、 一 实 习 生 用 同 一 台 机 器 制 造 3 个 同 种 零 件 , 第 i 个 零 件 是 不 合 格 品 的 概 率 为

pi ?

1 , (i ? 1, 2,3) 。用 ? 表示 3 个零件合格品的个数,求 ? 的分布律。 i ?1

解答: 因为利用同一台机器制造 3 个同种零件, 因此可认为这 3 个零件是否合格是相互独立 的,以 Ai 表示第 i 个零件是合格的,则 P( Ai ) ? 1/(1 ? i) 。因 ? 表示零件的合格数,因此 ? 的 分布律为:
_ _ _ _ _ _ 1 1 1 1 P{? ? 0} ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? , 2 3 4 4 _ _ _ _ _ _ 11 P{? ? 1} ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A2 A3 ) ? , 24 _ _ _ 6 P{? ? 2} ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? , 24 1 P{? ? 3} ? P( A1 A2 A3 ) ? 。 24

6、 设随机变量 ? 的分布律为 P{? ? k} ? c 确定常数 c 的值。 解答:因 P{? ? k} ? c

?k
k!

, k ? 0,1, 2,? ,式中 ? 为大于 0 的常数。试

?k
k!

, k ? 0,1, 2,? 如果是随机变量 ? 的分布律,则应该满足如下两个

条件: 对任意的 k ,P{? ? k} ? 0 , 1、 因此可得 c ? 0 ; 1 ? 2、 所以可得 c ? e
??

? P{? ? k} ? ? c
k ?0

?

?

?k
k!

? ce? ,

k ?0



7、 设在每一次试验中,事件 A 发生的概率为 0.3,当 A 发生次数不少于 3 时,指示灯发出 信号。 (1)若进行 5 次独立试验,求指示灯发出信号的概率; (2)若进行 7 次独立试验, 求指示灯发出信号的概率。 解答:因为进行的是独立试验,所以如进行 n 次试验,则事件 A 在 n 次试验中发生的次数 ? 服从参数为 n 和 p ? P( A) ? 0.3 的二项分布。因为当 A 在 n 次试验中发生次数不少于 3 时, 指示灯发出信号。因此, P{发出信号} ? P{? ? 3} ?

? P{? ? k} ? ? Cnk 0.3k 0.7n?k 。第
k ?3 k ?3

n

n

一小题中的 n 等于 5,第二小题中的 n 等于 7。计算即可。 8、 某交换台有 50 门分机,各分机是否呼叫外线相互独立,在单位时间内呼叫外线的概率 都是 10%,问在单位时间内至少有 3 门以上的分机需要外线的概率是多少? 解答:同上一题,因为各分机是否呼叫外线相互独立,因此在单位时间里呼叫外线的分机束 缚从参数为 50 和 0.1 的二项分布。 所以所求的概率等于 P{? ? 3} ? 1 ? P{? ? 0} ? P{? ? 1}

? P{? ? 2} ? 1 ? 0.950 ? 50*0.949 *0.1 ?

50* 49 48 2 0.9 0.1 。 2

9、 把一个试验独立重复地做 n 次,设在每次试验中事件 A 出现的概率为 p ,求在这 n 次试 验中 A 至少出现一次的概率是多少。 解答:同上一题, n 次试验中 A 出现的次数服从参数为 n 和 p 的二项分布。因此,所要求 的概率等于 P{? ? 1} ? 1 ? P{? ? 0} ? 1 ? (1 ? p)n 。 10、 甲乙两选手轮流射击,直到有一个命中为止,若甲命中率为 0.6,乙命中率为 0.7, 如果甲首先射击,求: (1) 两人射击总次数 ? 的分布律; (2) 甲射击次数 ?1 的分布律; (3) 乙射击次数 ?2 的分布律。 解答:因为轮流射击,直到有一个命中为止,且由甲首先射击。因此可以看到,如果由甲射 中,则总的射击次数应为奇数,乙比甲少射一次,而由乙射中的话,则甲、乙两人射击次数 相同。且可以知道,乙可能没有射击。而由题意可知,每次是否射中是相互独立的。令 Ai 表 示甲第 i 次射击时射中,则 P( Ai ) ? 0.6 ( i ? 1, 2,? ) ;令 Bi 表示乙第 i 次射击时射中,则

P( Bi ) ? 0.7(i ? 1, 2,?) 。由此可知:
(1) P{? ? 2k ? 1} ? P( A1 B1 ? Ak Bk Ak ?1 ) ? P( A1 ) P( B1 ) P( A1 ) ? 0.12 *0.6 ,
k k
k

_

_

_

_

_

_

k ? 0,1,?

P{? ? 2k} ? P( A1 B1 ? Ak Bk ) ? P( A1 )k P( B1 )k ?1 P( B1 ) ? 0.12k ?1 *0.28 ,k ? 1, 2,?
(2)

_

_

_

_

_

P{?1 ? k }? P ( 1B ? Ak Bk ? P A B ? Bk ? A1 ?)P A ( k P) B k ?11P) B A 1 ) (1 1 ( k 1
_

_

_

_

_

_

_

_

_

(1 )

+ P( A1 )
_

k ?1

P( B1 )k ?1 P( A1 ) ? 0.88*0.12k ?1 , k ? 1, 2,?
_ _ _ _ _ _

_

(3)

P{?2 ? k }? P ( 1B ? Ak Bk ? P A B ? Bk Ak ? ?)P A ( k P) B k ?11P) B A 1 ) (1 1 ( 1 1

_

(1 )

? P( A1 )k P( B1 )k P( A1 ) ? 0.352*0.12k ?1 , k ? 1, 2?

_

_

P{?2 ? 0} ? P( A1 ) ? 0.6 。
11、 一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从 ? ? 4 的泊松分布。求(1)一分钟内恰好 有 8 次呼叫的概率; (2)一分钟内呼叫数大于 9 次的概率。 解答: 因每分钟受到的呼叫数 ? ? ? (4) , 因此 P{? ? 8} ?

48 ?4 e , P{? ?} 1? { P9? ? 而 9 ? } 8!

=

4i ?4 (查表得到) ? e =0.008132。 i ?10 i !

?

12、 某路口有大量车辆通过, 设每辆车在高峰时间 点—10 点) (9 出事故的概率为 0.001, 设某天的高峰时间有 500 辆车通过,问出事故的车数不少于 2 的概率(利用泊松定理来 计算) 。 解答:可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数

? ? B( 5 0 0 , 0 . 0 0,因 n ? 500 较大,而 p ? 0.001 较小,因此可利用泊松定理近似计算, 1)
} 1 { 1 } 则令 ? ? 500*0.001 ,即近似认为 ? ? ? (0.5) 。即 P{? ? 2 ? ? P ? ?

??
i ?2

?

0.5 k ?0.5 e , k!

查表可得等于 0.090204。 13、 设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为 3 的泊松分布。 问月初要备该种零件 多少个才能以 0.999 的概率保证当月的需要量? 解答:因每月耗用零件的数量 ? ? ? (3) ,要保证当月的需要量,则要求当月的耗用量 ? 小

3i ?3 于等于月初所备的零件数 x ,也就是 P{? ? x} ? 1 ? ? e ? 0.999 ,查表可得 x ? 10 。 i ?0 i !
14、 设 ? 服从泊松分布,且 P{? ? 1} ? P{? ? 2} ,求 P{? ? 4} 。

x ?1

解答:因 ? ? ? (? ) ,即 P{? ? 1} ?

?1
1!

e? ? ? P{? ? 2} ?

?2
2!

e? ? ,由此可得 ? ? 2 ,所以

P{? ? 4} ?

24 ?4 e 。 4!
??

15、

设 ? 服 从 参 数 为 ? 的 泊 松 分 布 , 即 P{? ? k} ? e

?k
k!

, k ? 0,1, 2,? , 求 使 得

P{? ? k} 达到极大值的 k ,并证明你的结论。
解 答 : 因

? P{? ? k ? 1} ? k ?1 ?? ? k ?? , 因 此 如 果 ? ? k ?1 , 则 ? e /( e ) ? k ?1 P{? ? k} (k ? 1)! k!

P{? ? k ? 1} ? P{? ? k} ,而若 ? ? k ? 1 ,则 P{? ? k ?1 ? P{ ? ?k} 。所以,若存在正整 }
数 l 使得 l ? ? ? l ? 1 ,则 P{? ? l} 取得最大;而若存在正整数 l ? ? ,则 P{? ? l ? 1} 与

P{? ? l} 同时达到最大。
16、 设随机变量 ? ? B(2, p),? ? B(3, p) ,若 P{? ? 1} ? 5/ 9 ,求 P{? ? 1} 。

5 ? P{? ? 1} ? 1 ? P{? ? 0} ? 1 ? (1 ? p) 2 ,由此可 9 1 1 3 19 得 p ? 。所以 P{? ? 1} ? 1 ? P{? ? 0} ? 1 ? (1 ? ) ? 。 3 3 27
解答:因 ? ? B(2, p),? ? B(3, p) ,所以 17、 设有 10 个同类元件,其中有 2 只次品。装配仪器时从中任取 1 只,如果是次品则 扔掉重新任取一只。如再是次品,继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次 品数的分布? 解答:因其中只有 2 只次品,所以取到正品前已取出的次品数 ? 只可能取 0、1、2,因此 ? 的分布律为 P{? ? 0} ?

8 2 8 2 1 8 , P{? ? 1} ? ? , P{? ? 2} ? ? ? 。 10 10 9 10 9 8

第三节 二维离散型随机变量及其分布律习题 Page 62 1、 设二维随机变量 (? ,? ) 可能取的值为 (0,0),(?1,1),(?1,1/ 3),(2,0),(2,1/ 3) , 相应的概率

为 1/ 6,1/ 3,1/12,1/ 4,1/ 6 。 (1) (2) (3) (4) 列表表示其联合分布律; 分别求出 ? 和 ? 的边缘分布律; 分别求 ? 在 ? ? 0 和 ? ? 1/ 3 条件下的条件分布律; 求 P{?1 ? ? ? ? ? 1} 。

解答:由题意可得二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布律及 ? 和 ? 的边缘分布律为:

?
-1 0 1/3 1 0 1/12 1/3 5/12

?
0 1/6 0 0 1/6 2 1/4 1/6 0 5/12

P{? ? y j }
5/12 1/4 1/3 1

P{? ? xi }

0 1/ 6 2 ? 0 , P (? ? 0 | ? ? 0) ? ? , 5 /12 5 /12 5 1/ 4 3 1 1/12 1 1 P(? ? 2 | ? ? 0) ? ? ; P(? ? ?1| ? ? ) ? ? , P (? ? 0 | ? ? ) ? 0 , 5 /12 5 3 1/ 4 3 3 1 1/ 6 2 P(? ? 2 | ? ? ) ? ? 。 3 1/ 4 3 1 (4) P{?1 ? ? ? ? ? 1} ? P(? ? ?1,? ? 0) ? P{? ? ?1,? ? } ? P{? ? ?1,? ? 1} 3 1 7 ? P(? ? 0,? ? 0) ? P{? ? 0,? ? } ? P{? ? 0,? ? 1} ? 。 3 12
(3) 条件概率的定义得: P (? ? ?1| ? ? 0) ? 2、 在一个盒子中放 6 只球,上面分别标有号码 1、1、2、2、2、3,不放回地随机摸 2 只球, 用 ? 和 ? 分别表示第一个与第二个球的号码。 (1) 求 (? ,? ) 的联合分布律; (2) 求 ? 在 ? ? 2 条件下的条件分布律; (3) 问 ? 与 ? 是否独立?为什么? (4) 把摸球从不放回改成放回抽样,问此时 ? 与 ? 是否独立? 解答: (1) (? ,? ) 的联合分布律为:

?

?
1 2 3

1 2 3

2/30 6/30 2/30

6/30 6/30(注) 3/30

2/30 3/30 0

注: P{? ? 2,? ? 2} ? P{? ? 2}P{? ? 2 | ? ? 2} ?

3 2 6 ? ? 。 6 5 30 15 , 因此, 在 ? ? 2 ? 30

(2) {? ? 2} ? P{? ? 1,? ? 2} ? P{? ? 2,? ? 3} ? P{? ? 3,? ? 2} ? P 条件下的条件分布律为:

? ?i
P{? ? i | ? ? 2}
注: P{? ? 2 | ? ? 2} ?

1 2/5

2 2/5(注)

3 1/5

P{? ? 2,? ? 2} 6 / 30 2 ? ? 。 P{? ? 2} 15 / 30 5

(3)因为

2 10 10 ? P{? ? 1,? ? 1} ? P{? ? 1}P{? ? 1} ? ? ,所以 ? 与 ? 并不独立。 30 30 30

(4)当从不放回改成放回抽样时,因第二次摸到什么球与第一次毫无关系,因此由题意即 可得知这两个随机变量是相互独立的。 3、 用 ? 和 ? 分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数,设 ? 和 ? 的联合分 布律为 P{? ? n,? ? m} ?

7.14m6.86n?m ?14 e , n ? 0,1, 2,?, m ? 0,1,?, n 。 m!(n ? m)!

(1) 试求 ? 与 ? 的边缘分布律; (2) 求条件分布律 P{? ? n | ? ? m}和 P{? ? m | ? ? n} 解答:显然由题意可知,男婴数不可能大于新生婴儿数,所以: ( 1 ) P{? ? n} ?

m ?0

? P{? ? n,? ? m} ? ?

n

7.14m6.86n?m ?14 e?14 e ? n! m ?0 m !(n ? m)!
n

m?0

?C

n

m n

7.14m6.86n?m

?

e?14 14n ?14 ? (7.14 ? 6.86)n ? e , n ? 0,1, 2? , n! n!
? ?

7.14m6.86n?m ?14 7.14m ?14 n 6.86n?m P{? ? m} ? ? P{? ? n,? ? m} ? ? e ? ?e ? m! n?m n ? m m!(n ? m)! m ? 0 ( n ? m)!
7 . 1 m ?1 4 4 ? ?e ?e m!
6.86

7 .m1 4 ? ? ?e m!

. 4 ,7m1? 0 , 1 , 2 ; ?

7.14m 6.86n ? m ?14 e P{? ? n,? ? m} 6.86n ? m ?6.86 m !(n ? m)! ? ? e ,n ? m (2) P{? ? n | ? ? m} ? 7.14m ?7.14 P{? ? m} (n ? m)! ?e m! 7.14m 6.86n ? m ?14 e P{? ? n,? ? m} m !(n ? m)! m 7.14 m 6.86 n ? m P{? ? m | ? ? n} ? ? ? Cn ( ) ( ) , n 14 ?14 P{? ? n} 14 14 ?e n!
m ? 0,1,? n 。
4、 设二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布律如下表所示, 问表中 x, y 取什么值时,? 和 ? 独立。

?
1 2

?
1 1/6 1/3 2 1/9 x 3 1/18 y

解答:由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知:

1 1 1 1 1 2 ? ? ? x ? y ? 1 ? 6 ? 9 ? 18 ? 3 ? 3 ?x ? 9 ? ? ,得: ? ,验证可知正确。 ? ? 1 ? P{? ? 1,? ? 2} ? P{? ? 1}P{? ? 2} ? 1 ? ( 1 ? x) ?y ? 1 ?9 ? 3 9 9 ? ?
5、 甲、乙两人投篮,投中的概率分别为 0.6 和 0.7。今各投 3 次,求 (1) 两人投中次数相等的概率; (2) 甲比乙投中次数多的概率; (3) 写出它们的联合分布律。 解答:以 ? 表示甲投中的次数、? 表示乙投中的次数。由题意,假设每次是否投中是相互独 立的,则可得 (? ,? ) 的联合分布律为:

?
0 0 1 2 3
i

?
1 0.007776 0.054432 0.127008 0.098784
j j 3? j

2 0.011664 0.081648 0.190512 0.148176

3 0.005832 0.040824 0.095256 0.074088

0.001728 0.012096 0.028224 0.021952
i 3?i

其中: P{? ? i,? ? i} ? C3 0.6 ? 0.4 C3 0.7 ? 0.3

, i, j ? 0,1, 2,3。由此可得:

P{? ? ?} ? 0.001728 ? 0.054432 ? 0.190512 ? 0.074088 ? 0.32076

P{? ? ?} ? 0.007776 ? 0.011664 ? 0.005832 ? 0.081648 ? 0.040824 ? 0.095256
? 0.243 。

第四节 离散型随机变量函数的分布律习题 Page 66

1、 设 ? 的分布律如下表所示,试求(1) ? +2; (2) ?? 2 ; (3) (? ? 1) 2 的分布律。

? ? xi
pi
解答:

-2 1/8

-1/2 1/4

0 1/8

2 1/6

4 1/3

? ? xi
pi

-2 1/8 0 -4 9

-1/2 1/4 3/2 -1/4 9/4

0 1/8 2 0 1

2 1/6 4 -4 1

4 1/3 6 -16 9

? ?2
?? 2
(? ? 1)2

由此得到: (1) ? ? 2 的分布律为:

? ?2
pi
(2) ?? 的分布律为:
2

0 1/8

3/2 1/4

2 1/8

4 1/6

6 1/3

?? 2 pi

-4 7/24

-1/4 1/4

0 1/8

-16 1/3

(3) (? ? 1) 2 的分布律为:

(? ? 1)2

1 7/24

9/4 1/4

9 11/24

pi

2、 设 ? 与 ? 独立, ? ? B(m, p),? ? B(n, p) ,求 ? + ? 的分布律。 解答:因 ? 与 ? 独立,则 P{? ? ? ? k} ?

? P{? ? i,? ? k ? i} ? ? P{? ? i}P{? ? k ? i}
i ?0 i ?0

k

k

i k i k ? ? Cm pi (1 ? p)m?i Cn ?i p k ?i (1 ? p)n?( k ?i ) ? p k (1 ? p)( m?n )?k ? CmCn ?i i ?0 i ?0

k

k

k ? Cn?m pk (1 ? p)(m?n)?k , k ? 0,1,?,(m ? n) ,即 ? ? ? ? B(m ? n, p) 。

3、 ?1 , ?2 ,?, ?n 相互独立, 都服从 0-1 分布, 其分布律为 P{?i ? 1} ? p ,P{?i ? 0} ? 1 ? p ,

i ? 1, 2,?, n ,求证: ? ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? B(n, p) 。
解答: 因为 ?1 , ?2 ,?, ?n 相互独立, 都服从 0-1 分布, 因此 ? ?

??
i ?0

n

i

的可能取的值为 0,1,? n ,

事件 {? ? k} = {?1到?n中有k个取1,n ? k个取0} ,由此对任意 k (0 ? k ? n) , P{? ? k}
k k ? Cn P(?1 ? 1)k P(?1 ? 0)n?k ? Cn pk (1 ? p)n?k ,即? ? B(n, p) 。

4、 设 (? ,? ) 的联合分布律同第二章第三节中第 2 题, (1)? ? ? ; 求 (2)2? ; (3)?? ? 2? 的分布律。 解答:因为 (? ,? ) 的联合分布律如下表:

?
1 2 3 因此: (1) ? ? ? 的分布律为:

?
1 2/30 6/30 2/30 2 6/30 6/30 3/30 3 2/30 3/30 0

? ??
P{? ? ? ? i}

2 2/30

3 12/30 注) (

4 10/30

5 6/30

注: P{? ? ? ? 3} ? P{? ? 1,? ? 2} ? P{? ? 2,? ? 1} ? (2) 2? 的分布律为:

6 6 12 ? ? 。 30 30 30

2?
P{2? ? i}
注: P{2? ? 4} ? P{? ? 2} ?

2 10/30
3

4 15/30 注) (

6 5/30

? P{? ? 2,? ? j} ? 30 ? 30 ? 30 ? 30 。
j ?1

6

6

3

15

(3) ?? ? 2? 的分布律为:

?? ? 2?
P{?? ? 2? ? i}

-3 2/30

-2 6/30
3

-1 2/30

0 15/30 (注)

1 2/30

2 3/30

注: P{?? ? 2? ? 0} ? P{? ? 2} ?

? P{? ? 2,? ? j} ? 30 ? 30 ? 30 ? 30 。
j ?1

6

6

3

15

5、 设 (? ,? ) 的联合分布律如下表所示,

?
0 1 2 3

?
0 0.00 0.01 0.01 0.01 1 0.01 0.02 0.03 0.02 2 0.03 0.04 0.05 0.04 3 0.05 0.05 0.05 0.06 4 0.07 0.06 0.05 0.06 5 0.09 0.08 0.06 0.05

(1) 求 ? 在 ? ? 1 条件下的条件分布律; (2) 求 V ? max(? ,? ) 的分布律; (3) 求 U ? min(? ,? ) 的分布律; (4) 求 (U , V ) 的联合分布律; (5) 求 W ? ? ? ? 的分布律。 解答: (1) P{? ? 1} ?

? P{? ? 1,? ? j} ? 0.01 ? 0.02 ? 0.04 ? 0.05 ? 0.06 ? 0.08 ? 0.26 ,
j ?0

5

?
P{? ? j | ? ? 1}

0 1/26

1 2/26

2 4/26

3 5/26

4 6/26

5 8/26

注: P{? ? j | ? ? 1} ?

P{? ? 1,? ? j} , j ? 0,1,?,5 。 P{? ? 1}

(2) V ? max(? ,? ) 的分布律为:

V ? max(? ,? )
P{V ? i}

1 0.04

2 0.16

3 0.28(注)

4 0.24

5 0.28

注: P{V ? 3} ? P{max(? ,? ) ? 3} ? (3) U ? min(? ,? ) 的分布律为:

? P{? ? i,? ? 3} ? ? P{? ? 3,? ? j} ? 0.28 。
i ?0 j ?0

3

2

U ? min(? ,? )

0 0.28
5

1 0.30

2 0.25(注)

3 0.17

P{U ? i}

注: P{U ? 2} ? P{min(? ,? ) ? 2} ?

? P{? ? 2,? ? j} ? P{? ? 3,? ? 2} ? 0.25 。
i ?2

(4) (U , V ) 的联合分布律为:

U ?i
0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 0.02 0.02 0 0 2 0.04 0.07 0.05 0

V?j
3 0.06 0.07(注) 0.09 0.06 4 0.07 0.06 0.05 0.06 5 0.09 0.08 0.06 0.05

注: P{U ? 1,V ? 3} ? P{min(? ,? ) ? 1, max(? ,? ) ? 3} ? P{? ? 1,? ? 3} ? P{? ? 3,? ? 1}

? 0.05 ? 0.02 ? 0.07 。
(5) W ? ? ? ? 的分布律为:

W

1 0.02

2 0.06
3

3 0.13

4 0.19

5 0.24 (注)

6 0.19

7 0.12

8 0.05

P{W ? i}

注: P{W ? 5} ? P{? ? ? ? 5} ?

? P{? ? i,? ? 5 ? i} ? 0.09 ? 0.06 ? 0.05 ? 0.04 ? 0.24 。
i ?0

6、 设随机变量 ?1 , ? 2 独立,分别服从参数为 ?1 与 ?2 的泊松分布,试证:
k P{?1 ? k | ?1 ? ?2 ? n} ? Cn (

?1 ? ?2

?1

)k (1 ?

?1 ? ?2

?1

)n?k , k ? 0,1, 2,?, n

解答: ?1 ? ? (?1 ), ?2 ? ? (?2 ) , ?1 与 ?2 相互独立, (例 2.13) ?1 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ) 。 且 所以 : ? ( ? 2 因此: P{?1 ? k | ?1 ? ?2 ? n} ?

P{?1 ? k , ?1 ? ?2 ? n} P{?1 ? k , ?2 ? n ? k} ? P{?1 ? ?2 ? n} P{?1 ? ?2 ? n}

?1 ? P{?1 ? k}P{? 2 ? n ? k} k ! (n ? k )! k ? ? ? Cn ? ? ? n (?1 ? ?2 ) ? ( ?1 ? ?2 ) P{?1 ? ? 2 ? n} ? ?1 ? ?2 ? e n!
k ? 0,1,? n 。

?1k

e ? ?1

?2 n ? k

e ? ?2

k

? ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ?2 ?

n?k



复习题 Page68 1、 掷两粒骰子,用 ? 表示两粒骰子点数之和,? 表示第一粒与第二粒点数之差,试求 ? 和

? 的联合分布律,并讨论 ? 与 ? 是否独立。
解答:以 U 表示第一粒骰子的点数、 V 表示第二粒骰子的点数,则由题意可知随机变量 U 和 V 相互独立,且 P{U ? i} ? P{V ? j} ?

1 , i, j ? 1, 2,?, 6 。则 ? 和 ? 的联合分布律为: 6 k ?l k ?l P{? ? k , ? l } P U ? V ? k U, ? V ? l ?}P U { ? ? { ? V? , } 2 2 k ?l k ?l ? P{U ? } V? P{ } ,? 2? , l ,? ? ; ? ? , 。 , , 5 k ,3 12 5 4 2 2

它们的联合分布表如下表:

?
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

?
-5 0 0 0 0 0 1/36 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 1/36 0 1/36 0 0 0 0 -3 0 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 0 -2 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 -1 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 1 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 2 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 3 0 0 0 1/36 0 1/36 0 1/36 0 0 0 4 0 0 0 0 1/36 0 1/36 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 1/36 0 0 0 0 0

由随机变量独立性的定义可知, ? 和 ? 相互不独立。 2、 设 ? ,? 相 互 独 立 , P{? ? i }? pi ,P { ? j } q j i, j 可 取 任 意 非 负 整 数 值 , 试 求 : ? ? ,

P{? ? ?} 和 P{? ? ?} 。
解答: ? ,? 相互独立, P{? ? ?} ? 因 则
?

? P{? ? i,? ? i} ? ? P{? ? i}P{? ? i} ? ? pi ? qi 。
i ?0 i ?0 i ?0

?

?

?

P{? ? ?} ? ? P{? ? i,? ? i} ? ?? P{? ? i,? ? j} ? ?? P{? ? i}P{? ? j}
i ?0 ? i ?0 j ?0 i ?0 j ?0

?

i

?

i

? ?? pi ? q j 。
i ?0 j ?0

i

3、 在盒子中有 N 只球,分别标上号码 1, 2,?, N ,现有放回地随机摸 n 次球,设 ? 是 n 次 中得到的最大号码,试求 ? 的分布律。

解答:令 ?i (i ? 1, 2,?, n) 表示第 i 次摸到球的号码,则可得 P{?i ? k} ?

k (k ? 1,?, N ) 。 N

由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件 {? ? k} ? {?1 ? k ,?2 ? k ,??n ? k} 即 ?{?1 ? k ?1,??n ? k ?1} 。 P{? ?k} ?P{ ? 1 k , ? ?k} ? ? n
n n n n

?P{?1 ?k ?1 ??n ? 1 , k ? }

? k ? ? k ?1 ? ? ( P{?1 ? k}) ? ( P{?1 ? k ? 1}) ? ? ? ? ? ? , k ? 1, 2,?, N 。 ?N? ? N ?
4、 设在贝努里试验中(成功的概率为 p ) ,直到第 k 次成功出现就停止试验,到此时为止
k ?1 所进行的试验次数为 ? ,求证: P{? ? n} ? Cn?1 pk (1 ? p)n?k , n ? k , k ? 1, k ? 2,?。

解答:假设到第 k 次成功时已进行的试验次数为 n ,则我们可以知道,在第 n 次试验是成功 的,并且在前 n ? 1 试验中有 k ? 1 次试验是成功的、有 n ? k 次试验是不成功的,但显然的 是:这 k ? 1 次成功的试验可以发生在前 n ? 1 试验中的任意 k ? 1 次。并且由于每次试验是相
k ?1 互独立的,因此,我们可得 P{? ? n} ? Cn?1 pk (1 ? p)n?k , n ? k , k ? 1, k ? 2,?。

5、 作 5 次独立重复试验,设 P( A) ? 1/ 3 ,已知 5 次中 A 至少有一次不发生。求 A 发生次 数与 A 不发生次数之比的分布律。 解答:以 ? 表示 A 在 5 次独立重复试验中发生的次数,则 ? ? B(5, ) 。已知 A 至少有一次 不发生,令 ? 表示 A 发生次数与 A 不发生次数之比,则可知 ? 的概率分布律为:

1 3

?
P{? ? i | ? ? 4}

0 32/242

1/4 80/242

2/3 80/242(注)
2

3/2 40/242
3

4/1 30/242

2 80 2 P{? ? 2} C5 ?1 3? ? 2 3? ? ? 注: P{? ? | ? ? 4} ? P{? ? 2 | ? ? 4} ? 。 5 3 P{? ? 4} 242 1 ? ?1 3?

6、 设 ? ,? 相互独立,且服从相同分布 P{? ? n} ? P{? ? n} ? 1/ 2n , n ? 1, 2,3,? 。 (1) 求 ? 1 ? 2? 的分布律; (2) 求 ? 2 ? ? ? ? 的分布律。 解答: (1) P{? 1 ? 2k} ? P{2? ? 2k} ? P{? ? k} ? (2) P{? 2 ? k} ? P{? ? ? ? k} ?
k ?1 i ?1

1 , k ? 1, 2,? ; 2k
k ?1 i ?1

i ? j ?k

?

P{? ? i,? ? j} ? ? P{? ? i,? ? k ? i}
k ?1 i ?1

? ? P{? ? i}P{? ? k ? i} ? ?

1 1 k ?1 ? k ?i ? k , k ? 2,3,? 。 i 2 2 2

7、 设随机变量 ? ,? 相互独立,下表列出了二维随机变量 (? ,? ) 的联合分布律及关于 ? 和关 于 ? 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处。

?

?
x1 x2

y1
1/24 1/8 1/6

y2
1/8 3/8 1/2

y3
1/12 1/4 1/3

P{? ? xi }
1/4 3/4 1

P{? ? y j }

1 ? P{? ? x2 ,? ? y1} ? P{? ? x2 }P{? ? y1} 8 1 3 1 1 1 ? P{? ? x2 } ? , 即得:P{? ? x2 } ? , 继而得到 P{? ? x1} ? ,P{? ? x1 ,? ? y1} ? ? 6 4 4 4 6 1 1 ? , P{? ? x1 ,? ? y3} ? P{? ? x1} ? P{? ? x1 ,? ? y1} ? P{? ? x1 ,? ? y2 } ? , 24 12 1 1 1 由 ? P{? ? x1 ,? ? y2 } ? P{? ? x1}P{? ? y2 } ? P{? ? y2 } ,得到 P{? ? y2 } ? , 8 4 2 3 P{? ? x2 ,? ? y2 } ? P{? ? y2 } ? P{? ? x1 ,? ? y2 } ? , P{? ? y3} ? 1 ? P{? ? y1} 8 1 1 ? P{? ? y2 } ? , P{? ? x2 ,? ? y3} ? P{? ? y3} ? P{? ? x1 ,? ? y3} ? 。 3 3
解 答 : 因 随 机 变 量 ? ,? 相 互 独 立 , 因 此


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