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高中数学(北师大版)必修1 名师课件:第四章 §1 1.1 利用函数性质判断方程解的存在 (共25张PPT)_图文

§ 1 1.1 函数与方程 利用函数性质判断方程解的存在 预习课本 P115~116,思考并完成以下问题 1.函数的零点的定义是什么? 2.判断函数 f(x)在区间(a,b)内有零点的方法是什么? [新知初探] 1.函数的零点 (1)函数的零点:函数 y=f(x)的 图像 与 横轴的交点的横坐标 称为这个函数的零点. (2)函数 y=f(x)的零点,就是方程 f(x)=0 的解. 2.零点存在性定理 若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线 ,并且在区 f(b)<0 ,则在(a,b)内,函数 y 间端点的函数值 符号相反 ,即 f(a)· =f(x) 至少有一个 零点,即相应的方程 f(x)=0 在(a,b)内至少有 一个实数解. [点睛] (1)方程 f(x)=0 有实数解?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点 ?函数 y=f(x)有零点. (2)f(a)· f(b)<0 只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点 的个数,如下图中的图(1)和图(2). 分别有 4 个零点和 1 个零点. [小试身手] 1.判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)函数 y=f(x)的零点是一个点. (2)函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的解. (× ) (√ ) (3)若函数 y=f(x)的图像是连续不断的,且 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点. (× ) (4)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则 f(a)· f(b)<0.( × ) 2.函数 y=4x-2 的零点是 A.2 ?1 ? C.?2,0? ? ? ( B.(-2,0) 1 D. 2 ) 答案:D 3.下列函数没有零点的是 A.f(x)=0 C.f(x)=x -1 2 ( B.f(x)=2 1 D.f(x)=x-x ) 答案:B 1 4.函数 f(x)=log2x-x的零点所在的区间为 ? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ? ( ) C.(1,2) D.(2,3) ?1? 1 ? ? ∵f 2 =log2 -2=-3<0, 2 ? ? 解析:选 C 1 1 f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22- = >0, 2 2 ∴函数零点所在区间为(1,2). 求函数的零点 [典例] 求下列函数的零点. (2)f(x)=x4-1. (1)y=-x2-x+20; [解] (1)y=-x2-x+20=-(x2+x-20) =-(x+5)(x-4), 方程-x2-x+20=0 的两根为-5,4.故函数的零点是-5,4. (2)由于 f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1), ∴方程 x4-1=0 的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1. 函数零点的求法 求函数 f(x)的零点时,通常转化为解方程 f(x)=0,若方 程 f(x)=0 有实数根,则函数 f(x)存在零点,该方程的根就是 函数 f(x)的零点;否则,函数 f(x)不存在零点. [活学活用] 求下列函数的零点. (1)f(x)=2x-1;(2)f(x)=lg(x2-1)+8; (3)f(x)=ex 1-4. - 解:(1)由 2x-1=0,得 x=0,故函数的零点为 0. (2)由 lg(x2- 1)+8=0,得 x= ± 10-8+1. (3)由 ex 1-4=0,得 x=1+ln 4,故函数的零点为 1+ln 4. - 10-8+1,故函数的零点为± 判断函数零点所在的区间 [典例] 函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点所在的一个区间是( B.(2,3) D.(4,5) ) A.(1,2) C.(3,4) [解析] 因为 f(1)=ln 1+2×1-6=-4<0,f(2)=ln 2+ 2×2-6<ln e2-2=0, f(3)=ln 3+2×3-6=ln 3>0, f(4)=ln 4 +2×4-6=2ln 2+2>0,f(5)=ln 5+2×5-6=ln 5+4>0,所 以 f(2)· f(3)<0,又函数 f(x)的图像是连续不断的一条曲线,故函 数 f(x)的零点所在的一个区间是(2,3).[答案] B 解决零点所在区间的判断问题,只需计算选项中所 有的区间端点对应的函数值并判断正负即可. [活学活用] 2 函数 f(x)=ln x-x的零点所在的大致区间是 A.(1,2) ?1 ? C.?e,1?和(3,4) ? ? ( ) B.(2,3) D.(e,+∞) 解析:选 B ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0, 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,∴在(1,2)内 f(x)无零点. 2 又∵f(3)=ln 3- >0,∴f(2)· f(3)<0. 3 ∴f(x)在(2,3)内有一个零点.故选 B. 判断函数零点的个数 [典例] A.0 C.2 [解析] 函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数为( B. 1 D.3 ) 法一:(判定定理法)∵f(0)=1+0-2=-1<0, f(1)=2+lg 2-2=lg 2>0, ∴f(x)在(0,1)上必定存在零点. 又显然 f(x)=2x+lg(x+1)-2 在(-1,+∞)上为增函数, 故 f(x)有且只有一个零点. 法二:(图像法)如图,在同一坐标系中作出 h(x)=2-2x 和 g(x) =lg(x+1)的图像. 由图知, g(x)=lg(x+1)和 h(x)=2-2x 的图像有且只有一个交点, 即 f(x)=2x+lg(x+1)-2 有且只有一个零点. [答案] B 判断函数零点的个数的主要方法 (1)利用判定定理法判断:对于一般函数的零点个数的判 断问题,可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性,然

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