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2018年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研核心题库_图文

专注考研专业课 13 年,提供海量考研优质文档! 目录 2018 年曲阜师范大学数学科学学院 875 线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研核心题 库(一) ............................................................................................................................. 2 2018 年曲阜师范大学数学科学学院 875 线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研核心题 库(二) ........................................................................................................................... 11 2018 年曲阜师范大学数学科学学院 875 线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研核心题 库(三) ........................................................................................................................... 23 2018 年曲阜师范大学数学科学学院 875 线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研核心题 库(四) ........................................................................................................................... 31 2018 年曲阜师范大学数学科学学院 875 线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研核心题 库(五) ........................................................................................................................... 41 第 1 页,共 53 页 专注考研专业课 13 年,提供海量考研优质文档! 2018 年曲阜师范大学数学科学学院 875 线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考 研核心题库(一) 说明:本套核心题库按照考试大纲、历年真题、指定参考书等结合考试侧重点和难度,精心整理 编写。核心题库更突出针对性和实战性,考研冲刺必备资料。 —————————————————————————————————————————— 一、分析计算题 1. 设 f(X,Y)为定义在数域 P 上的 n 维线性空间 V 上的一个双线性函数,证明: 可以表示成两个线性函数 积的充分必要条件是 f (X,Y)的度量矩阵 A 的: 【答案】设 在基 下的度量矩阵为 . 则 A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积,设 则 故线性函数 为所求. 若 则 则 X, Y 的任意性,知 第 2 页,共 53 页 专注考研专业课 13 年,提供海量考研优质文档! 是 f 的度量矩阵,故 2. 在 n 维线性空间中,设有线性变换 的矩阵是 与向量 使得 ,但 .求证 在某组基下 【答案】 线性无关,因而是 V 的一组基. 在这组基下的矩阵就是 3. 由 证明:奇偶排列各半. 【答案】 由于 则上述行列式 4. 为奇排列时 为 而偶排列时为 1.设有 个奇排列和 1 个偶排列, 故 即奇偶排列各占一半. 设 是三维欧几里得空间,已知 R 上的三阶矩阵 A 与 的三 线性无关且 记 求3阶 维向量 x 使得 矩阵 B,使得 【答案】设 使得 于是 由 第 3 页,共 53 页 专注考研专业课 13 年,提供海量考研优质文档! 于是 由 故 线性无关知 5. 求三阶矩阵 的谱分解. 【答案】A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 故 A 相似于对角阵,且 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量分别为 从而有非奇异矩阵 进而有 故 A 的谱分解为 第 4 页,共 53 页 专注考研专业课 13 年,提供海量考研优质文档! 6. 设 B 为一 证明: 如果 如果 【答案】 是 秩为 由 7. 矩阵,C 为一 那么 那么 就有 矩阵,且秩 故 即 由 知 的每个列向量都是齐次方程组 秩 即有 于是 的解. 的基础解系的 阵,这方程组中有 r 个未知数.又秩 它只有零解.故 故 设 A、B、C 分别为 则 和 矩阵,且 证明:如 的解,由 果 可得 又 证法 2:因为 所以 又 所以 故有 8. 【答案】证法 1:注意到矩阵 BC 的每一个列向量均为齐次线性方程组 只有零解.由题设知 故有 而 而 即 所以 B’的每一列均为 0,故 用 表示将行列式 D 的第 i 行 换成 (其 余行不变)后所得的行列式,其中 证明: 【答案】用 故 将 D 的第 列 且按此列展开知: 元素都换成 1 后(从而第 j,n 列相同) 又显然 故 表示 在 D 中的代数余子式 ,则 第 5 页,共 53 页 专注考研专业课 13 年,提供海量考研优质文档! 9. 求 除 的商 与余式 【答案】设 并设 被 除所得的商式为 并记余数为 n 则 证明:由假设 因此得 由此即得所证. 上面的公式把, 式可以把 除 用 及 c 来表示这就是综合除法的原理.应用上述等 所得的商及余数用较少的步骤及空间计算出来, 并且把除法中的减法变成了 加法.综合除法可用下面算式来实现: 因为 c 是 的根. 的根的充要条件是 因此应用综合除法还可以很快地判断 c 是否是 10.已知下列非齐次线性方程组 (1)求解方程组(1),

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