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高三数学一轮复习 4.2 同角三角函数的基本关系式课件 文 大纲人教版_图文

第2 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 【考纲下载】 1. 掌握同角三角函数的基本关系式. 2.掌握正弦、余弦的诱导公式. 3.能正确运用同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行简单三角函 数式的化简、求值和恒等式证明. 1.同角三角函数 基本关系式 提示:正确理解“同角”的含义:只要是“同一个角”,那么基本关系式就成 立,不拘泥于“角的形式”,例如:sin2 +cos2β=1就不一定成立. +cos2 =1等都是成立的,但sin2α 2.诱导公式 函 α α+2kπ,k∈Z -α π+α π-α . sin α . . -sinα sin α . cos α . . cosα . cosα . tanα 数 tan α . . . . -tanα -sinα -cosα tanα sinα -cosα -tanα 2π-α -sinα . cosα . -tanα . -α cosα . sinα . cotα . +α cosα . -sinα . -cotα . -α -cosα . -sinα . cotα . +α -cosα . sinα . -cotα . 【思考】 请你叙述一下如何把任意角的三角函数化为锐角三角函数? 答案: 1.(2009· 全国Ⅰ)sin 585°的值为 ( ) 解析:sin 585°=sin(360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°=- 答案:A 2.α是第四象限角,cos α= ,则sin α=( ) 解析:∵α是第四象限角,∴sin α<0, ∴sin α=- 答案:B 3. sin2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为( A.1 B.2sin2α C.0 ) D.2 解析:原式=(-sin α)2-(-cos α)cos α+1 =sin2α+cos2α+1=1+1=2. 答案:D 4.(2009· 北京卷)若sin θ=- 解析:∵sin θ=- ∴cos θ=- ,tan θ>0,则cosθ=________. <0,tan θ>0,∴θ在第三象限, (1) . 三角函数式化简的一般要求是:三角函数名尽量少,项数尽量少,尽量使分 母不含三角函数式,能求出具体值的必须求出值.三角函数式的化简过程通常遵 循一定的原则,如切割化弦、化异为同、化高为低、化大为小、从繁到简等. (2) .求三角函数式的值. ①已知一个角的某个三角函数值,求出这个角的其他5种三角函数值.要注意公式 的合理选择,利用平方关系时,要特别注意符号的选取.这也是分类讨论的标准. ②关于sin α,cos α的同次式可化为正切处理. 【例1】若sin αcos α<0,sin αtan α<0,化简 思维点拨:由已知条件确定 的范围,再把被开方式化成完全平方式, 脱掉根号,去掉绝对值号. 解:原式= ∵sin αcos α<0,sin αtan α<0,∴α是第二象限的角, ∴ 当 当 是第一或第三象限的角, 是第一象限角时,cos 是第三象限角时,cos >0,∴原式= <0,∴原式=- ; . 陕西卷)若tan α=2,则 变式1:(1)(2009· 的值为( ) 解析:原式= 答案:B (2)(2009· 辽宁卷)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θ· cos θ-2cos2θ=( ) 解析:原式= 答案:D 利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三 角函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 【例2】化简 思维点拨:对k分奇数和偶数两类后,正确使用诱导公式求解. 解:当k为偶数2n(n∈Z)时, 当k为奇数2n+1(n∈Z)时, ∴当k ∈Z时,原式=-1 变式2:已知f(α)= (1)化简f(α); (2)若α是第三象限角,且cos 解:(1)f(α)= 求f(α)的值. 对于sin xcos x,sin x+cos x,sin x-cos x借助平方关系可知一求二,如 (sin x±cos x)2=1±2sin xcos x;若令sin x+cos x=t,则sin xcos x= (sin x-cos x)2=2-t2等. 【例3】已知- <x<0,sin x+cos x= 的值. (1)求sin x-cos x的值;(2)求 解:(1)由sin x+cos x= ∴2sin xcos x=- 又∵- 平方得,1+2sin xcos x= (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= <x<0,∴sin x-cos x<0,即sin x-cos x=- (2)由(1)得 ∴sin x=- ,cos x= 变式3:已知sin θ+cos θ= ,且 则cos 2θ的值是________. 解析:由已知sin θ+cos θ= 得2sin θcos θ= ∴cos θ<0,sin θ>0. (cos θ-sin θ)2= 则sin θ-cos θ= , ① 由①②知cos 2θ=cos2θ-sin2θ=- 【方法规律】 1.进行三角函数式的恒等变形,要善于观察题目特征,灵活选择公式,通过三角 变换达到化异为同的目的. 2.掌握三角变换的常见技巧:(1)1的代换;(2)sin α+cos α、sin α-cos α、 sinαcos α三个式子中,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.若已知 sinα+cos α=p,sin αcos α=q,则可消去α,求出关系式1+2q=p2; (3)关于sinα,cos α的齐次式可化为关于tan α的式子. 3.诱导公式的记忆方法是:函数名不变、符号看象限(或奇变偶不变、符号看象 限). (12分)若sin θ= 的值. 【阅卷实

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