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四川省眉山市2016_2017高二数学下学期期末考试试题理(扫描版)_图文

1

2

3

4

一、选择题 题号 1
答案 D

眉山市高中 2018 届第四学期期末教学质量检测

数学(理科)参考答案

2017.07

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCACCADBDAB

二、填空题 13.4n-1

14. 0.8

15. 120

16. 1

三、解答题
17. 解:(Ⅰ)由频率分布表得: 5 ? a ? 35 ,解得 a=20,b=0.35,……………2 分 0.05 0.20 b
由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为:P=0.25+0.15=0.4.………4 分

(Ⅱ)按成绩分层抽样抽取 20 人时,优秀生应抽取 20×0.4=8 人.………………6 分

(Ⅲ)8 人中,成绩在[80,90)的有:20×0.25=5 人,成绩在[90,100]的有:20×0.15=3

人,从

8

个人中选

2

个人,结果共有

n=

C

2 8

=28

种选法,……………………………8



其中至少有一人成绩在[90,100]的情况有两种:

可能有 1 人成绩在[90,100],也可能有 2 人成绩在[90,100],所以共有 5×3+3=18 种,
∴至少一人的成绩在[90,100]的概率 P ? 18 ? 9 .………………………………10 分 28 14

18. 解:(Ⅰ) Tr?1 ? C5r (2x)5?r (?

1 x

)r

?

(?1)r 25? C5r x5 ?

3 2

r





5

?

3 2

r

?

0

,则

r=4,∴展开式中含

1 x

的项为:

T4?1 (?1) 4

?

2

?

C54

?

x ?1

?

10 x



展开式中含 1 的项的系数为 10.…………………………………………………………6 分 x

(Ⅱ)由题意可知: M ? C50 ? C15 ? C52 ? 16 , N ? (1 ? a)6

因为 4M=N,即 (1 ? a)6 ? 64 ,∴a=1 或 a ? ?3 .(少一个答案扣 2 分)……………12 分

19. 解:(Ⅰ)由数据可得: x ? 1 (1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4 , ……………………2 分 7
y ? 1 (28 ? 30 ? 35 ? 41? 49 ? 56 ? 62) ? 43,………………………………………4 分 7

7

7

? ? xi yi ? 1372 , xi2 ? 140 , ……………………………………………………6 分

i?1

i?1

5

n

?? b? ?

i?1 n

xi yi ? n x y xi2 ? n x 2

? 1372 ?1204 140 -112

? 6 ,所以 a? ?

y ? b?x ? 43 ? 4 ? 6 ? 19

i?1

故 y 关于 x 的线性回归方程为 y? ? 6x ?19 .……………………………………………8 分

(Ⅱ)(ⅰ)当车流量为 8 万辆时,即 x=8 时, y? ? 6?8 ?19 ? 67 ..

故车流量为 8 万辆时,PM2.5 的浓度为 67 微克/立方米.……………………………10 分

(ⅱ)根据题意信息得:6x+19≤100,即 x≤13.5,

故要使该市某日空气质量为优或为良,则应控制当天车流量在 13 万辆以内.……12 分

20. 解:(I)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,如下;

年龄不低于 45 岁的人

年龄低于 45 岁的人

合计

赞成

10

27

37

不赞成

10

3

13

合计

20

30

50

根据公式计算K 2 ?

n(ad ? bc)2

? 50?(10?3?10? 27)2 ? 9.98 ? 6.635 ,

(a ? b)(a ? d)(a ? c)(b ? d) 37?13? 20?30

所以有 99%的把握认为年龄 45 岁为分界点对使用微信交流的态度有差异;………3 分 (Ⅱ)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,…………………………………4 分

则 P(X ?

0)

?

C32 C52

?

C24 C52

? 3?6 10 10

?

9, 50

P(X ? 1) ?

C13 ? C12 C52

?

C24 C52

?

C32 C52

?

C11 ? C14 C52

? 6?6?3?4 10 10 10 10

? 12 , 25

P(X ?

2)

?

C22 ? C30 C52

?

C24 C52

?

C12 ? C13 C52

?

C14 ? C11 C52

? 1?6 10 10

?6?4 10 10

?

3 10



P(X ? 3)

?

C22 ? C30 C52

?

C14 ? C11 C52

? 1?4 10 10

?

1 ;………………………………………8 25



随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P

9

12

3

1

50

25

10

25

6

……………………………………………………………………………………………10 分
所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 9 ?1? 12 ? 2 ? 3 ? 3? 1 ? 30 ? 6 ……………12 分 50 25 10 25 25 5
21. 解:(Ⅰ) f (x) ? ex ? ax2 , g(x) ? f '(x) ? ex ? 2ax , g '(x) ? ex ? 2a ,……1 分 当 a ? 0 时, g '(x) ? 0 恒成立, g(x) 无极值; ……………………………………2 分 当 a ? 0 时, g '(x) ? 0 ,即 x ? ln(2a) , 由 g '(x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) ;由 g '(x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) , 所以当 x ? ln(2a) 时,有极小值 2a ? 2a ln(2a) .……………………………………4 分 (Ⅱ)因为 f '(x) ? ex ? 2ax ,所以,要证 f '(x) ≥x ? 2ax ?1,只需证 ex≥x ?1. 令 k(x) ? ex ?1? x ,则 k '(x) ? ex ?1,且 k '(x) ? 0 ,得 x ? 0 ; k '(x) ? 0 ,得 x ? 0 , ∴ k(x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, ∴ k(x) ? k(0) ? 0 ,即 ex ? 1? x 恒成立, ∴对任意实数 x ? R ,都有 f '(x) ≥x ? 2ax ?1恒成立. ……………………………7 分 (Ⅲ)令 h(x) ? ex ? ax2 ? x ?1,则 h '(x) ? ex ?1? 2ax ,注意到 h(0) ? h '(0) ? 0 , 由(Ⅱ)知 ex ? 1? x 恒成立,故 h '(x) ? x ? 2ax ? (1? 2a)x ,……………………8 分 ①当 a ? 1 时,1? 2a ? 0 , h '(x) ? 0 , 2 于是当 x ? 0 时, h(x) ? h(0) ? 0 ,即 f (x) ? x ?1成立. …………………………9 分 ②当 a ? 1 时,由 ex ? 1? x ( x ? 0 )可得 e?x ? 1? x ( x ? 0 ). 2 h '(x) ? ex ?1? 2a(e?x ?1) ? e?x (ex ?1)(ex ? 2a) , 故当 x ?(0, ln(2a)) 时, h '(x) ? 0 , 于是当 x ?(0, ln(2a)) 时, h(x) ? h(0) ? 0 , f (x) ? x ?1不成立. ………………11 分 综上, a 的取值范围为 (??, 1] .………………………………………………………12 分 2
22.(Ⅰ)解:当 b ?1时, f / ? x? ? 2x ? 1 ,切线斜率k ? f / ?0? ? 1,
x ?1
7

所以,曲线 y ? f ? x? 在点 ?0, 0? 处的切线方程为 x ? y ? 0 .…………………………2 分

(Ⅱ)解:函数 f ? x? ? x2 ? bln ? x ?1?的定义域为(-1,+?).

f / (x) ? 2 x?

b

2(x? 1)2 ? b ? 1

?

2

2 ,……………………………………………3 分

x ?1

x ?1

分以下几种情形讨论:

(1)当 b≥ 1 时, f / (x)≥0 ,函数 f ? x?在(-1,+?)上单调递增;…………4 分
2

(2)当 b ?

1 时, 2

f / (x)=0有两个不同的解x1 ?

?1 ?

1? 2b

2

, x2

?

?1 ?

1? 2b 2



①当 b ? 0 时, x1 ? ?1, x2 ? ?1,

由f / (x)>0解得x>x2;由f / (x) ? 0解得-1<x<x2 ,

所以,函数 f ? x?在(-1,x2)上单调递减,在(x2,+?)上单调递增………5 分

②当

0<b

?

1 2

时,

x1,

x2

?

(?1,

?? )

由f / (x)>0解得-1<x<x1或x>x2;由f / (x)<0解得x1<x<x2 ,

所以, f ?x?在(x1 ,x2 )上单调递减,在(-1,x1 ),(x2 ,+?)上单调递增.…7 分

(Ⅲ)证明:当 b= -1 时, f ? x? ? x2 ? ln? x ?1? ,

令 h(x) ? x3 ? f ? x? ? x3 ? x2 ? ln ? x ?1? ,则 h'(x) ? 3x3 ? (x ?1)2 在[0, ??) 上恒正,
x ?1 所以, h(x) 在[0, ??) 上单调递增,当[0, ??) 时,恒有 h(x)>h(0) ? 0 ,
即当[0, ??) 时, x3 ? x2 ? ln ? x ?1?>0,即ln ? x ?1? ? x3>x2 ,……………………9 分

对任意正整数 n

,取

x

?

1 n



ln

? ??

1 n

? 1???

?

1 n3



1 n2

,…………………………………10



所以,

ln

?? ????

1 2

?1???

? ??

1 3

?1???

??

?

? ??

1 n

?1??????

?

1 23

?

1 33

?????

1 n3

=

ln( 1 2

?1)

?

ln(1 3

?1)

?????

ln( 1 n

?1)

?

1 23

?

1 33

?

????

1 n3

= ln(1 ?1) ? 1 ? ln(1 ?1) ? 1 ? ??? ? ln(1 ?1) ? 1

2

23

3

33

n

n3

>1 22

?

1 32

?????

1 n2

>1 2?3

?

1 3? 4

?????

1 n ? (n

? 1)

= 1 -1 + 1-1 + ??? ? 1 - 1 = 1 - 1 ……………………………………12 分

2 33 4

n n ?1 2 n ?1

8

9


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