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10、高一数学必修4第三章《三角恒等变换》检测题

第三章《三角恒等变换》综合检测题
一、选择题 π π 1.sin212-cos212的值为( 1 A.-2 1 B.2 ) 3 D. 2 )

3 C.- 2

2.函数 f(x)=sin2x-cos2x 的最小正周期是( π A.2 B.π C.2π D.4π

1 3π 3.已知 cosθ=3,θ∈(0,π),则 cos( 2 +2θ)=( 4 2 A.- 9 7 B.-9 4 2 C. 9 7 D.9 )

)

4 4.若 tanα=3,tanβ=3,则 tan(α-β)等于( A.-3 1 B.-3 C.3 1 D.3

5.cos275° +cos215° +cos75°cos15° · 的值是( 5 A.4 6 B. 2 3 C.2

)

2 D.1+ 3 )

6.y=cos2x-sin2x+2sinxcosx 的最小值是( A. 2 B.- 2 C.2 D.-2

7.若 tanα=2,tan(β-α)=3,则 tan(β-2α)=( A.-1 1 B.-5 5 C.7 1 D.7

)

→ 8.已知点 P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则|PQ|的最大值是( A. 2 B.2 C.4 2 D. 2 ) π D.4 )

)

9.函数 y= A.2π

cos2x+sin2x 的最小正周期为( cos2x-sin2x B.π π C.2

1 10.若函数 f(x)=sin2x-2(x∈R),则 f(x)是( π A.最小正周期为2的奇函数 B.最小正周期为 π 的奇函数

C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 π 11.y=sin(2x-3)-sin2x 的一个单调递增区间是( π π A.[-6,3] 5 13 C.[12π,12π] π 7 B.[12,12π] π 5π D.[3, 6 ]
5(

)

1 1 12.已知 sin(α+β)=2,sin(α-β)=3,则 log A.2 B.3 C.4 D.5

tanα 2 tanβ) 等于(

)

二、填空题 13.(1+tan17° )(1+tan28° )=________. π? 4 π? ? ? 14.(2012· 全国高考江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为______. ? ? ? ? 1 15.已知 cos2α=3,则 sin4α+cos4α=________. 3 1 π 16.设向量 a=(2,sinθ),b=(cosθ,3),其中 θ∈(0,2),若 a∥b,则 θ=________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) sin2α+2sin2α 3 3 17.(本题满分 10 分)已知 cosα-sinα=5 2,且 π<α<2π,求 的值. 1-tanα

π π π 18.(本题满分 12 分)设 x∈[0,3],求函数 y=cos(2x-3)+2sin(x-6)的最值.

19.(本题满分 12 分)已知 tan2θ=2tan2α+1,求证:cos2θ+sin2α=0.

3x 3x x x 20.(本题满分 12 分)已知向量 a=(cos 2 ,sin 2 ),b=(cos2,-sin2),c=( 3-1),其中 x ∈R. (1)当 a⊥b 时,求 x 值的集合; (2)求|a-c|的最大值.

2 π 21.设函数 f(x)= 2 cos(2x+4)+sin2x (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; π? π 1 ? (Ⅱ)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g(x+2)=g(x),且当 x∈?0,2?时,g(x)=2-f(x);求函数 ? ? g(x)在[-π,0]上的解析式。

π 22.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=(1-tanx)· [1+ 2sin(2x+4)],求: (1)函数 f(x)的定义域和值域; (2)写出函数 f(x)的单调递增区间.

第三章《三角恒等变换》综合检测题 答案
一、选择题 1、[答案] 2、[答案] C B [解析] [解析] 原式=-(cos2 π π π 3 -sin2 )=-cos =- . 12 12 6 2 π 4 2π =π . 2

f(x)=sin2x-cos2x= 2sin(2x- ),故 T=

3、[答案] C

3π 2 2 1 4 2 [解析] cos( +2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2× × = 2 3 3 9

4、[答案]

D

[解析]

tan(α -β )=

tanα -tanβ = 1+tanα tanβ

3-

4 3

4 1+3× 3

1 = . 3

5、[答案] 6、[答案] 7、[答案] [解析]

A B D

[解析] [解析]

1 5 原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+ sin30°= . 2 4

y=cos2x+sin2x= 2sin(2x+ ),∴ymax=- 2.

π 4

tan(β -2α )=tan[(β -α )-α ]= B →

tan? β -α ? -tanα 3-2 1 = = . 1+tan? β -α ? tanα 1+6 7

8、[答案] [ 解 析 ] ?

→ - cosα
2

PQ = (cosβ
2

, sinβ

- sinα ) , 则 | PQ | = → ,故|PQ|的最大值为 2.

cosβ -cosα ? 9、[答案] [解析] C

+?

sinβ -sinα ?

= 2-2cos?

α -β ?

y=

1+tan2x π π =tan(2x+ ),∴T= . 1-tan2x 4 2 D 1 2 1 2 1 2

10、[答案] [解析]

f(x)=sin2x- =- (1-2sin2x)=- cos2x,∴f(x)的周期为 π 的偶函数.
B π 3 π π π -cos2xsin -sin2x =-(sin2xcos + 3 3 3

11、[答案] [解析]

y=sin(2x- )-sin2x=sin2xcos

π π π π cos2xsin )=-sin(2x+ ),其增区间是函数 y=sin(2x+ )的减区间,即 2kπ + ≤2x 3 3 3 2 + π 3π π 7π π 7π ≤2kπ + ,∴kπ + ≤x≤kπ + ,当 k=0 时,x∈[ , ]. 3 2 12 12 12 12 12、[答案] C

[解析]

?sinα cosβ +cosα sinβ =1 2 1 1 ? 由 sin(α +β )= ,sin(α -β )= 得? 2 3 1 ?sinα cosβ -cosα sinβ =3 ?

,∴

5 ?sinα cosβ =12 ? ? 1 ?cosα sinβ =12 ? 二、填空题 13、[答案] [解析]



tanα =5 tanβ

∴log

5

(

tanα 2 ) =log tanβ

5

52=4.

2

原 式 = 1 + tan17° + tan28° + tan17°·tan28° , 又 tan(17° + 28°) =

tan17°+tan28° =tan45°=1,∴tan17°+tan28°=1-tan17°·tan28°,代入原式 1-tan17°·tan28° 可得结果为 2. 14、[答案] [解析] 17 2 50 π? 4 π? 3 π π 2π ? ? <α + < ,∵cos?α + ?= ,∴sin?α + ?= ; 6? 5 6? 5 6 6 3 ? ?

∵α 为锐角,∴

π? π? π ? 24 ? ? ? ∴sin?2α + ?=2sin?α + ?cos?α + ?= , 3? 6? 6 ? 25 ? ? ? cos(2α + π π π 7 )=cos(α + )2-sin2(α + )= 3 6 6 25

π? π π? π? π? π π 17 2 ? ? ? ? ∴sin?2α + ?=sin?2α + - ?=sin?2α - ?cos -cos?2α + ?sin = . 12? 3 4? 3? 3? 4 4 50 ? ? ? ? 15、[答案] [解析] 5 9

1 2 1 1 cos2α =2cos2α -1= 得 cos2α = ,由 cos2α =1-2sin2α = 得 sin2α = (或 3 3 3 3

1 据 sin2α +cos2α =1 得 sin2α = ),代入计算可得. 3 16、[答案] [解析] ∴θ = π . 4 3 2 18 7 , 所以 1-2sinα cosα = , 所以 2sinα cosα = . 5 25 25 π 4

1 π 若 a∥b,则 sinθ cosθ = ,即 2sinθ cosθ =1,∴sin2θ =1,又 θ ∈(0, ), 2 2

三、解答题 17、 [解析] 因为 cosα -sinα =

又 α ∈(π ,

3π 4 2 ),故 sinα +cosα =- 1+2sinα cosα =- , 2 5

所以 7 ×? 25

sin2α +2sin2α ? = 1-tanα

2sinα cosα +2sin2α ? cosα -sinα

cosα



2sinα cosα ? cosα +sinα ? cosα -sinα



4 2 - ? 5 3 2 5

=-

28 . 75

18、[解析] =cos2(x-

y=cos(2x- )+2sin(x- )
π π )+2sin(x- ) 6 6 π π π 1 3 )+2sin(x- )=-2[sin(x- )- ]2+ . 6 6 6 2 2

π 3

π 6

=1-2sin2(x- ∵x∈[0, ∴sin(x-

π π π π ],∴x- ∈[- , ]. 3 6 6 6 π 1 1 )∈[- , ], 6 2 2

3 1 ∴ymax= ,ymin=- . 2 2 19 、 [ 证 明 ]
2

cos2θ + sin2α =
2

cos2θ -sin2θ 1-tan2θ + sin2α = + sin2α = cos2θ +sin2θ 1+tan2θ
2

-2tan α -tan α -sin α +sin2α = +sin2α = +sin2α =-sin2α +sin2α =0. 2 2 1+2tan α +1 1+tan α cos2α +sin2α 20、[解析] = 3x x 3x x (1)由 a⊥b 得 a·b=0,即 cos cos -sin sin =0,则 cos2x=0,得 x 2 2 2 2



π kπ π + (k∈Z),∴x 值的集合是{x|x= + ,k∈Z}. 2 4 2 4 3x 3x (2)|a-c|2=(cos - 3)2+(sin +1)2 2 2 =cos2 3x 3x 3x 3x -2 3cos +3+sin2 +2sin +1 2 2 2 2 3x 3x 3x π -2 3cos =5+4sin( - ),则|a-c|2 的最大值为 9.∴|a-c|的最大值 2 2 2 3

=5+2sin 为 3.

21、[解析]

f(x)=

2 π 1 1 1 1 1 cos(2x+ )+sin2x= cos2x- sin2x+ (1-cos2x)= - sin2x 2 4 2 2 2 2 2 2π =π 2

(Ⅰ)函数 f(x)的最小正周期 T=

π? 1 1 ? (Ⅱ)当 x∈?0, ?时,g(x)= -f(x)= sin2x 2? 2 2 ? π? π π 1 π 1 ? π ? ? 当 x∈?- ,0?,(x+ )∈?0, ?g(x)=g(x+ )= sin2(x+ )=- sin2x 2? 2 2 2 2 2 ? 2 ? ? π? ? 当 x∈?-π ,- ?时, 2? ? π? ? (x+π )∈?0, ? 2? ?

g(x)=g(x+π )= sin2(x+π )= sin2x

1 2

1 2

?-1sin2x? -π ≤x≤0? ? 2 2 得:函数 g(x)在[-π ,0]上的解析式为 g(x)=? 1 π ?2sin2x? -π ≤x< 2 ? ?
22 、 [ 解 析 ]

f(x) = (1 -

sinx )(1 + cosx

2 sin2xcos

π + 4

2 cos2xsin

π ) = (1 - 4

sinx )(2sinxcosx+2cos2x)=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)=2(cos2x-sin2x)=2cos2x. cosx (1)函数 f(x)的定义域{x|x≠kπ + π ,k∈Z}. 2

∵2x≠2kπ +π ,k∈Z,∴2cos2x≠-2. ∴函数的值域为(-2,2] π (2)令 2kπ -π <2x≤2kπ (k∈Z)得 kπ - <x≤kπ (k∈Z). 2 ∴函数 f(x)的单调递增区间是(kπ - π ,kπ ](k∈Z). 2


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