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常外九年级数学自主学习材料三


常外九年级数学自主学习材料三
——图形变换

学法指导:图形变换主要有“平移” 、 “翻折” 、 “旋转” ,在解决与图形变换相关问题时,关键是抓住图形变化的特征: 从点、线、角等几个角度考虑

一、典例解析
例 1、如图,在△ ABO 中,已知点 A( 3,3) 、B(﹣1,﹣1) 、O(0,0) ,正比例函数 y=﹣x 图象是直线 l,直线 AC∥x 轴交直线 l 与点 C. (1)C 点的坐标为 ; (2)以点 O 为旋转中心,将△ ABO 顺时针旋转角 α(0° <α<180° ) ,使得点 B 落在直线 l 上的对应点为 B′,点 A 的对应点为 A′,得到△ A′OB′. ①∠α= ;②画出△ A′OB′. (3)写出所有满足△ DOC∽△AOB 的点 D 的坐标.

考点:作图-旋转变换;一次函数的性质;相似三角形的判定与性质。 分析: (1)直线 AC∥x 轴交直线 l 于点 C,可知 A、C 两点纵坐标相等,直线 l 解析式为 y=﹣x,可知 C 点横、纵坐 标互为相反数,可求 C 点坐标; (2)已知 B(﹣1,﹣1)可知 OB 为第三象限角平分线,又直线 l 为二、四象限角平分线,故旋转角为 90° ,依题意 画出△ A′OB′即可; (3)根据 A 点坐标可知 OA 与 x 轴正半轴夹角为 60° ,可知∠AOB=165° ,根据对应关系,则∠DOC=165° ,故 OD 在第四象限,与 x 轴正半轴夹角为 30° 或与 y 轴负半轴夹角为 30° ,根据 A、B、C 三点坐标求 OA、OB、OC,利用 = 求 OD,再确定 D 点坐标.

解答:解: (1)∵直线 AC∥x 轴交直线 l 于点 C, ∴C 两点纵坐标为 3,代入直线 y=﹣x 中,得 C 点横坐标为﹣3,∴C(﹣3,3) ; (2)由 B(﹣1,﹣1)可知,OB 为第三象限角平分线, 又直线 l 为二、四象限角平分线,∴旋转角为∠α=∠BOB′=90°,△ A′OB′如图所示; (3)∵A 点坐标可知 OA 与 x 轴正半轴夹角为 60° ,可知∠AOB=165° , 根据对应关系,则∠DOC=165° ,故 OD 在第四象限,与 x 轴正半轴夹角为 30° 或与 y 轴负半轴夹角为 30° ,根据 A、 B、C 三点坐标, ∴OA= 2 3 、OB= 2 、OC= 3 2 3,



OD OC CO ? AO 2 3 ? 3 2 ? ?6 3, ,∴ DO ? = OA OB BO 2

∴D 点的横坐标为: 3 3 ,或纵坐标为: ? 3 3 , D 点坐标为(9, ? 3 3 ) , ( 3 3 ,﹣9) .

例 2、如图(1) ,矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x 轴上,折叠边 AD,使点 D 落在 x 轴上点 F 处,折痕为 AE,已知 AB=8,AD=10,并设点 B 坐标为(m,0) ,其中 m>0. (1)求点 E、F 的坐标(用含 m 的式子表示) ; (2)连接 OA,若△OAF 是等腰三角形,求 m 的值; (3)如图(2) ,设抛物线 y=a(x-m-6)2+h 经过 A、E 两点,其顶点为 M,连接 AM,若∠OAM=90° ,求 a、h、m 的值.

考点:矩形的性质、等腰三角形的判定,二次函数. 分析: (1)抓住折叠前后图形全等,得到对应边相等、对应角相等. (2)由△OAF 是等腰三角形,分三种情形讨论. (3)由待定系数法确定二次函数关系式,再由∠OAM=90° 得到三角形相似. 解: (1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD=BC=10,AB=DC=8,∠D=∠DCB=∠ABC=90° 由折叠对称性:AF=AD=10,FE=DE, 在 Rt△ABF 中,BF= AF2-AB2= 102-82=6 ∴FC=4 设 EF=x,则 EC=8-x
m]

在 Rt△ECF 中,42+(8-x)2=x2 ∵B (m,0)

解得 x=5,∴CE=8-x=5

∴E (m+10,3),F (m+6,0)

(2)分三种情形讨论: 若 AO=AF,∵AB⊥OF ∴OB=BF=6,∴m=6 若 OF=AF,则 m+6=10 解得 m=4, 若 AO=OF,在 Rt△AOB 中,AO2=OB2+AB2=m2+64 ∴(m+6) 2=m2+64 7 解得 m= , 3 ,

7 综合得 m=6 或 4 或 . 3 (3)由(1)知 A (m,8), E (m+10,3),
?a(m―m―6)2+h=8 依题意? 2 ?a(m+10―m―6) +h=3

? ?a=1 得? 4 , ?h=-1 ?

∴M (m+6,-1),设对称轴交 AD 于 G, ∴G (m+6,8) ∴AG=6,GM=8―(―1)=9 ∵∠OAB+∠BAM=90° ,∠BAM+∠MAG=90° , ∴∠OAB=∠MAG,又∠ABO=∠MGA=90° , ∴△AOB∽△AMG,∴ OB AB m 8 = ,即 = ,∴m=12. MG AG 9 6

二、试一试
1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2),直线 OP 位于一、三象限,∠AOP=45° (如图 1),设点 A 关于 直线 OP 的对称点为 B. (1)写出点 B 的坐标; (2)过原点 O 的直线 l 从 OP 的位置开始,绕原点 O 顺时针旋转. ①如图 1, 当直线 l 顺时针旋转 10° 到 l1 的位置时, 点 A 关于直线 l1 的对称点为 C, 则∠BOC 的度数是 , 线段 OC 的长为 ; ②如图 2,当直线 l 顺时针旋转 55° 到 l2 的位置时,点 A 关于直线 l2 的对称点为 D,则∠BOD 的度数 是 ; ③直线 l 顺时针旋转 n° (0<n≤90),在这个运动过程中,点 A 关于直线 l 的对称点所经过的路径长为(用含 n 的代 数式表示).

2.平面直角坐标系中,平行四边形 ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别为(0,3)、( ?1 ,0),将此平行四边形绕 点 0 顺时针旋转 90° ,得到平行四边形 A ' B ' OC ' . (1)若抛物线过点 C,A, A' ,求此抛物线的解析式; (2)求平行四边形 ABOC 和平行四边形 A ' B ' OC ' 重叠部分△ OC ' D 的周长; (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点,间:点 M 在何处时△ AMA' 的面积最大?最大面积是多少?并求出此 时点 M 的坐标.

附答案
1.(1)解:如图 A 关于直线 OP 的对称点正好落在 x 轴上, ∵根据轴对称性质∴得出 OA=OB=2, ∴B 点的坐标是(2,0); (2)解:

①如 图 1,过 A 作 AZ⊥直线 l1 于 Z,延长 AZ 到 C,使 AZ=ZC,则 C 为 A 关于直线 l1 的对称点, ∵根据轴对称性质得出 OA=OC=2,∴∠AOZ=∠COZ=45° +10° =55° , ∴∠BOC=55° +55° -90° =20° ,故答案为:20° ,2; ②解:如图 2,过 A 作 AM⊥直线 l2 于 M,延长 AM 到 D,使 AM=MD,则 D 为 A 关于直线 l2 的对称点,∵根据轴 对称性质得出 OA=OD,∴∠AOM=∠DOM=180° -(45° +55° )=80° , 80° +80° -90° =70° ,∴∠BOD=180° -70° =110° ,故答案为:110° ; (3)解:直线 l 顺时针旋转 n° (0<n≤90),在这个运动过程中,点 A 关于直线 l 的对称点所经过的路径为以 O 为 圆心,以 2 为半径的弧 BQ(Q 为 A 关于旋转 n° 后直线 l1 的对称点), 圆心角∠BOQ=2(45° +n° )-90° =2n° ,

2 n? ? 2 n ? n? ? ,故答案为: . 180 45 45 2.解:(1)∵平行四边形 A' B ' OC ' 由平行四边形 ABOC 旋转得到, 且点 A 的坐标为(0,3),点 A ' 的坐标为(3,0) .
由弧长公式得: 所以抛物线过点 C(-1,0),A(0,3), A ' (3,0)设抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,可得

?a ? b ? c ? 0 ? a ? ?1 ? ? 解得 ?b ? 2 ?c ? 3 ?c ? 3 ?9a ? 3b ? c ? 0 ? ?
∴过点 C,A, A ' 的抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 . (2)因为 AB∥CO,所以∠OAB=∠AOC=90°。 ∴ OB ? OA2 ? AB2 ? 10 ,又 ?OC ' D ? ?OCA ? ?B .

?C ' OD ? ?BOA ,∴ ?C ' OD ? ?BOA 又 OC ' ? OC ? 1 ,


?C ' OD的周长 OC ' 1 ,又△ABO 的周长为 4 ? 10 . = ? ?BOA的周长 OB 10

∴ ?C ' OD 的周长为

4 ? 10 2 10 . =1 ? 5 10

(3)连接 OM,设 M 点的坐标为 (m,n) , ∵点 M 在抛物线上,∴ n ? ?m ? 2m ? 3 .
2

∴ S?AMA' ? S?AMO ? S?OMA' ? S?AOA'

1 1 1 3 9 3 OA ? m ? OA '? n ? OA ? OA ' ? (m ? n) ? ? (m ? n ? 3) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 27 = ? ? (m ? 3m) ? ? (m ? ) ? , 2 2 2 8 3 15 因为 0 ? m ? 3 ,所以当 m ? 时, n ? ,△AMA’的面积有最大值. 4 2 3 15 27 所以当点 M 的坐标为( , )时,△AMA’的面积有最大值,且最大值为 . 2 4 8
=


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