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北京市石景山区2018届高三3月统一测试(一模)数学文

2018 年石景山区高三统一测试

数学(文)试卷
考 1.本试卷共 5 页,共三道大题,20 道小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 生 2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,选择题、作图题请用 2B 铅笔作答,其 须 他试题请用黑色字迹签字笔作答,在试卷上作答无效. 知

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1.设集合 A. C. ,集合 B. D. 上是单调递减的函数为( ) ,则 ( )

2.下列函数中既是奇函数,又在区间

A.

B.

C.

D.

3.执行如图所示的程序框图,输出的结果是( A. B. C. D.



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4.设 A.

满足约束条件 B. 满足 ) C.

则下列不等式恒成立的是( D. , 与 的夹角为 ,若



5.已知平面向量 实数 的值为(

,则

A. 6. “ ”是“

B.

C. ”的( )

D.

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 若某多面体的三视图(单位: 则此多面体的体积是( )

)如图所示,

A.

B.

C.

D.

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8.如图,已知线段

上有一动点



异于

),线段 )

,且

满足



是大于 且不等于 的常数),则点

的运动轨迹为(

A.圆的一部分 C.双曲线的一部分

B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.复数

=___________.

10.双曲线

的焦距是________,渐近线方程是_____________. 的半径为 ,其圆心与点 关于直线 对称,则圆 的标准方程为

11. 若 圆

________________________.

12.在

中, 中

, ,如果

, 是 与

,则

的面积等于________. _____.

13.在等差数列

的等比中项,那么

14.已知函数 ①当 时,函数

. 的零点个数为__________; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

②如果函数

恰有两个零点,那么实数

的取值范围为__________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求函数 的最小正周期; .

(Ⅱ)求函数

在区间

上的最小值和最大值.

16. (本小题共 13 分)

在等差数列

中,

,其前 项和

满足

.

(Ⅰ)求实数 的值,并求数列

的通项公式;

(Ⅱ)若数列
17. (本小题共 13 分)

是首项为 ,公比为

的等比数列,求数列

的前 项和

.

抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内 20 名同学今年春节期间抢到红包金额 (元)如下(四舍五入取整数) : 102 162 43 99 52 50 136 22 41 22 95 68 121 158 192 98 72 46 59 79

对这 20 个数据进行分组,各组的频数如下: 组别 A B C D E 红包金额分组 0≤x<40 40≤x<80 80≤x<120 120≤x<160 160≤x<200 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 频数 2 9 m 3 n

(Ⅰ)写出 m,n 的值,并回答这 20 名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别; (Ⅱ)记 C 组红包金额的平均数与方差分别为 试分别比较 与 、 与 、 , E 组红包金额的平均数与方差分别为 、 ,

的大小; (只需写出结论)

(Ⅲ)从 A,E 两组所有数据中任取 2 个,求这 2 个数据差的绝对值大于 100 的概率.

18. (本小题共 14 分) 如图,在三棱锥 的中点, 在棱 中,已知 上,且 . 是正三角形, 平面 , , 为

(Ⅰ)求三棱锥 (Ⅱ)求证: 平面 ;

的体积;

(Ⅲ)若



中点, //平面

在棱 .

上,且



求证:

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19. (本小题共 13 分)

已知椭圆 E: (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若 明:

的离心率

,焦距为



分别是椭圆 E 的左、 右顶点, 动点 为定值( 为坐标原点) .

满足

, 连接

, 交椭圆 E 于点

. 证

20. (本小题共 14 分)

设函数 (Ⅰ)当 时,求函数



. 的极小值;

(Ⅱ)讨论函数

零点的个数;

(Ⅲ)若对任意的



恒成立,求实数

的取值范围.

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2018 年石景山区高三统一测试

数学(文)试卷答案及评分参考
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 9 10 11 12 13 14

答案

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)

………………5 分

所以周期为

.

………………6 分

(Ⅱ)因为



所以

.

………………7 分

所以当

时,即



.

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时,即



.

…………13 分

16.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)设等差数列 因为 所以 所以 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

的公差为

, , ………………2 分 ………………4 分 . . ………………6 分

,所以 ,所以

.



所以

.

所以

.

………………9 分

所以

………………13 分
(本小题 13 分) 解: (Ⅰ)m=4,n=2,B; (Ⅱ) < , < ;

………………3 分 ………………6 分

(Ⅲ)A 组两个数据为 22,22,E 组两个数据为 162,192 任取两个数据,可能的组合为 (22,22),(22,162),(22,192),(22,162),(22,192),(162,192), 共 6 种结果 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

记数据差的绝对值大于 100 为事件 A,事件 A 包括 4 种结果

所以 18.(本小题 14 分) 解: (Ⅰ)因为

.

……………… 13 分

是正三角形,且



所以 又 ⊥平面

. ,

………………2 分 ………………3 分



S△BCD

. ………………4 分

(Ⅱ)在底面 因 因 又 故 因 故平面 为 ,故 ,故 为 . 的中点. ∥ ,

中,取

的中点

,连接



的中点,故 .……5 分 平面 , 平面 是正三角形,

平面 . 为



的中点,



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平面 平面

. ,故 ,故 平面 . .

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分



(Ⅲ)当 因 为

时,连 的中点,

,设 为 中点,

,连





为△

的重心,



………………10 分

因 所以 又 ∥ 平面

, . ,

,故



………………12 分
平面 ,所以 ∥平面 . ……14 分

19.(本小题 13 分) (Ⅰ)解:因为 , 所以 .

………………1 分

因为 因为

,所以 , 所以 .



………………3 分 ………………4 分

所以椭圆方程为 (Ⅱ)方法一: 证明:C(-2,0),D(2,0), 设 则 = , , =



………………5 分



………………7 分

直线 CM:

,即



………………8 分

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代入椭圆方程







所以



………………10 分

所以



所以





………………12 分

所以 即 方法二:设

· ·

= 为定值. ,



………………13 分



可得

,即

.

∵点 ∴

在 .



∴ ∴ 方法三:因为直线 为定值 . 不在 轴上,故可设 .

.







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,即



在直线

中令

,则

,即



∴ ∴ 20.(本小题 14 分) 为定值 .

.

解: (Ⅰ)因为 所以当 当 时, 时,

, , , 在 在 上单调递减; 上单调递增;

所以当

时,

取得极小值



………………3 分

(Ⅱ)





,得



设 所以当 当 时, 时,

,则 , , 在 在 上单调递增;



上单调递减;

所以

的最大值为

,又

,可知:

①当

时,函数

没有零点;

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②当



时,函数

有且仅有 1 个零点;

③当 (Ⅲ)原命题等价于

时,函数

有 2 个零. 恒成立. .

……………9 分

设 则 等价于 在

, 上单调递减.





上恒成立,

所以

恒成立,

所以





的取值范围是



………………14 分

【注:若有其它解法,请酌情给分】

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