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从三角函数看数学的和谐美

从三角函数看数学的和谐美
杨亢尔
(浙江奉化中学 315500)

和谐美,或称统一美,是指部分与部分、整体与部分之间的和谐一致。和谐性在数 学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调,是指在不同的数学对象或 同一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律。和谐性是数学结构美的重 要标志,是数学家不懈追求的永恒目标,也是数学发现与创造的美学方法之一。作为研 究客观世界数量关系和空间形式的数学科学,反映了客观世界的统一性,正如希尔伯特 所说: “数学的有机统一,是这门学科固有的特点,因为这是一切自然科学知识的基础。 ” 在积极落实数学“双基”的教学实践中,我们要充分挖掘数学的和谐美,提高学生 的美学修养,加深学生的美学感悟,领略数学的美学价值。本文以普通高中课程标准实 验教科书数学必修 4(人教社 A 版 2004 年 5 月第 1 版)第一章“三角函数” 、第三章“三 角恒等变换”为例,阐述自己的一些观点,与大家探讨。

1. 数学概念的和谐美
我们来看这样一个几何问题:如图,旗杆位于操场一边某点 O,同学小 A 位于操场某 点,如何确定小 A 相对于点 O 的位置? 这个问题有强烈的实际背景:在现实生活中,方向 y 和距离比较便于测量,而坐标不便于直接测量,但用坐 . ( x, y ) A 标来进行计算比较方便,而用角度和距离就没有这么方 便,这就引出了由 r , α 计算 x, y 的需要,而三角函数 r

sin α =

x y y , cos α = , tan α = r r x

α
O

就能解决这个问题。 再如,解三角形离不开三角函数,也是由一些便于直接测量的量去计算不便于直接测 量的量。这既说明了三角函数来源于现实世界,展示了它的自然美,也说明了三角函数作 为一个代数工具与几何对象之间的密切联系,展示了数学的内在统一与和谐美。

x

2. 数学表示的和谐美
傅 里 叶 定 理 告 诉 我 们 : 任 何 一 个 周 期 函 数 f (t ) 都 可 以 表 示 为 形 如

x(t ) = A sin(ωt + ) 的正弦函数之和, 而且正弦函数各项的圆频率 ω 是其中圆频率最低一
项的圆频率的倍数, 写成数学公式就是傅里叶级数 f (t ) =

a ∞ + ∑ An sin( nωt + n ) ,其中 2 n =1

每一项都代表有适当频率和振幅的简单声音,如由小提琴奏出的乐声是

f (t ) ≈ 0.06 sin 1000πt + 0.02 sin 2000πt + 0.01sin 3000πt ,
1

所有具有周期性振动的声音称为乐音,音叉的振动就是最简单的周期振动,与它同样 简单的周期振动还有单摆的振动、弹簧的振动,这类振动称之为简谐振动,对简谐振动的 研究为乐声的描述提供了工具,任何乐音都可以表示为简单的正弦函数之和。自从有了傅 里叶定理,世界上的声音一下子变得简单了,都可以归结为简单声音的组合,这些简单声 音用数学表示就是正弦函数。世界上的声音如此丰富多彩,却又如此简单! 不仅声音可以用正弦函数来描述,电流也可以用正弦函数来描述。事实上,电流与时 间的关系是 I = A sin ωt ,这与音叉的振动具有相同的形式,正是这种统一性使声音可以 转变为电流。 这样, 你可以坐在电视机前欣赏音乐, 可以使用手机和你的朋友通话..., ... 通过简单的数学表示,让我们充分领略到大自然充满了神奇的和谐与统一!

3.数学联系的和谐美
数学课程标准指出,学生对基础知识和基本技能的理解和掌握,是数学教学的基本要 求,也是评价学生学习的基本内容。正确评价学生的数学“双基”,应充分关注学生能否 建立数学知识之间的联系,把握数学知识的结构、体系。 三角恒等变换中需要记忆的公式很多,如果只是将这些公式变来变去得出新的三角恒 等式,那将是十分枯燥乏味的。我们可以从这些公式的内在联系入手,首先推导公式

C (α β ) ,然后从 C (α β ) C (α + β ) S (α + β ) S (α β ) T(α + β ) T(α β ) ,得到两角和与
差的三角函数公式,令 β = α ,又可得到两倍角公式 S 2α 、 C 2α 、T2α ,作角与式的变换, 又可得到降幂公式、半角公式、万能公式、三倍角公式以及积化和差、和差化积公式。 另外,我们可以从三角函数的定义,引出三角函数的定义域、三角函数在各个象限的 符号、同角三角函数的基本关系式、诱导公式等。也可以从单位圆中的三角函数线,引出 三角函数的图象、值域、单调性、奇偶性、对称性、有界性、周期性。还可以运用从特殊 到一般的思想,去体会三种图象变换之间的联系...,所有这一切,无不显示数学知识 ... 之间相互联系、配合的和谐。 又如,由正弦两角和公式 sin( x + α ) = sin x cos α + cos x sin α ,把 α 看作常数,对 等式两边关于 x 求导,得余弦两角和公式 cos( x + α ) = cos x cos α sin x sin α 。由正弦 两角差公式 sin( x α ) = sin x cos α cos x sin α ,把 α 看作常数,对等式两边关于 x 求 导,得余弦两角和公式 cos( x α ) = cos x cos α + sin x sin α 。 由正弦二倍角公式 sin 2 x = 2 sin x cos x ,两边对 x 求导,则

2 cos 2 x = 2[(sin x)′ cos x + sin x(cos x)′] = 2(cos 2 x sin 2 x) ,化简得余弦二倍角
公式 cos 2 x = cos x sin x 。反之,对余弦二倍角公式 cos 2 x = cos x sin x 两边关
2 2 2 2

2

于 x 求导,可得正弦二倍角公式。 三倍角公式 sin 3 x = 3 sin x 4 sin x ,cos 3 x = 4 cos x 3 cos x ,也可由任一式出
3 3

发,通过两边求导而得到另一式。 以上公式“你中有我,我中有你”的现象,很好地说明了数学联系的和谐统一。 如果将三角公式与几何图形、向量联系起来,三角公式又摇身一变为婀娜多姿的几何 图形,如由单位向量 OA = (cos α , sin α ) 与 OB = (cos β , sin β ) 的数量积立即得出余弦的 差角公式 OA OB = cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β , 而在三角函数中有着重要地 位的 sin x + cos x = 1 ,简直就是勾股定理的华丽外衣,彼此协调,互相联系,浑然统
2 2

一,如此貌不惊人的公式居然有如此不寻常的几何意义,代数与几何的联系如此神奇,这 难道不是数学的内在统一美的又一次光彩夺目的表演吗?

4.数学变化的和谐美
解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归,而变换化归的依据在于各种形式间在 其本质上的和谐与统一。因此,利用和谐性,就是设法将问题转化,通过变形、分解、转 化等手段,使问题的条件和结论在新的协调的形式下相互沟通,达到问题的解决。 例 求 cos

2π 4π 6π 20π + cos + cos + + cos 的值。 11 11 11 11

本题所给的三角式具有角的大小均匀递增、函数名称整齐划一的和谐形式,可利用 因式 sin

π
11

/ sin

π
11

通过积化和差来解,但若将其变化为另外两种和谐的形式,则又可得到

如下两种解法: 解 1 利用等比数列求和与复数相等的性质 设复数 z = cos
2

2π 2π + i sin ,则 z 11 = 1 , 11 11
3 10

所以

z + z + z ++ z

z (1 z 10 ) z z 11 = = = 1 , 1 z 1 z

另一方面, z + z 2 + z 3 + + z 10 = (cos

于是

2π 4π 6π 20π + cos + cos + + cos ) 11 11 11 11 2π 4π 6π 20π + i (sin + sin + sin + + sin ), 11 11 11 11 2π 4π 6π 20π cos + cos + cos + + cos = 1 , 11 11 11 11

并且我们还顺便得到与此对偶的另一结论
3

sin

2π 4π 6π 20π + sin + sin + + sin = 0。 11 11 11 11

另外,力学知识告诉我们,如果一个质点受到 n 个外力 F1 , F2 , , Fn 的作用,当这 n 个力大小相等,且相邻两个力之间夹角也相等时,质点所受合外力 正交分解,那么它在 x 轴和 y 轴两个方向上所受的合外力

∑ F = 0 。若把力进行
y

∑ F ,∑ F
x

也为零。应用力的

平衡条件解决这一类三角求和问题十分巧妙、便捷,于是我们又有如下的 解 2 如图,将圆心在原点的单位圆 11 等分,记 F0 (1,0) , 则 Fk (cos

2kπ 2kπ ) , (k = 1,2, ,10) , sin 11 11

由力的平衡条件可知作用于点 O 的十一个力

OF0 , OF1 , OF2 , , OF10 在 x 轴方向的合外力为零, ∴ ∑ Fx = cos 0 + cos
即 cos

2π 4π 20π + cos + + cos = 0, 11 11 11

2π 4π 6π 20π + cos + cos + + cos = 1 。 11 11 11 11 2π 4π 6π 20π 利用 ∑ Fy = 0 ,类似可得 sin + sin + sin + + sin = 0。 11 11 11 11 5.数学引伸的和谐美 数学引伸的和谐美
数学教学中最常用的一项建构活动就是和谐扩展,以已有的较简单的有联系的同型知 识和经验为基础,和谐地提出问题,把它扩展到更广泛的同一类的新领域中,然后,经过 等价变形,把它化归为能解的情形,以求得解决。这样一种建构方式,可名之为“和谐提 问——化归解决” ,从一个方向看是和谐发展,换一个方向看便是理解、同化的过程,把 新内容和谐地纳入到学习者已有的相似的认知框架之中。 如三角函数概念的建立,先是在直角三角形中,学习锐角三角函数定义,以后再扩充 到任意角的三角函数, 对于两角和的三角函数公式如 C (α + β ) , 我们也可先研究特殊情形(如 三角形中),在特殊情形下得出一般结论,然后再用严密的数学方法给予证明。 如图,使角 α 与 β 的顶点重合,一条边作为公共边, 然后作这条公共边的垂线,由余弦定理得 A

α β

cos(α + β ) =

AB 2 + AC 2 BC 2 2 AB AC

B

D

C

4

( AD 2 + BD 2 ) + ( AD 2 + DC 2 ) ( BD + DC ) 2 = 2 AB AC = AD 2 BD DC AD AD BD DC = AB AC AB AC AB AC

= cos α cos β sin α sin β 。
所以 cos(α + β ) = cos α cos β sin α sin β 对于 α , β 为锐角时成立。 要使上述公式对任意的 α , β 均成立,由余弦函数的周期性,只须验证 α , β ∈ [0,2π ] 时, C (α + β ) 公式成立即可。 当 α ∈ (0,

π

), β ∈ ( , π ) 时,令 β = π β ′ ,其中 β ′ ∈ (0, ) ,则 2 2 2

π

π

cos(α + β ) = cos(π + α β ′) = cos(α β ′) = (cos α cos β ′ + sin α sin β ′) = cos α cos β sin α sin β 。
对于 α , β 取值的其他情况,仿照以上方法验证,均有 C (α + β ) 公式成立。这样,我 们就将锐角范围内的 C (α + β ) 公式,和谐地扩展到了任意角范围。

6.数学推理的和谐美 .
数学推理的严谨性和无矛盾性也是和谐美的一种体现。和谐性在数学中还表现为一定 意义上的不变性,即在不同对象或同一对象的不同组成部分之间总有共同的规律存在。 如右图,已知函数 y = A sin(ωx + )( A > 0, ω > 0, < π ) 的一段图象,求这个函数 的解析式。

y
3

T π π π = = , 4 2 6 3 4π 2π 3 ∴T = ,ω = = , 3 T 2 3 ∴ y = 3 sin( x + ) , 2
解:易知 A = 3 , 将最高点 (

O

π
6

π
2

x

π

6

,3) 代入得 sin(

π

4

+ ) = 1 ,

-3

5



π
4

+ = 2kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ,又 < π ,∴ = 3 2

π
4



所以函数的解析式为 y = 3 sin( x + 在上述求 的过程中,若将零点 ( 可得 sin(

π
4

)。

π

3π 3π π 3π + ) = 0 ,∴ + = kπ (k ∈ Z ) ,又 < π ,∴ = 或 , 4 4 4 4 3π π 3 3π 但当 = 时,点 ( ,3) 不在函数 y = sin( x ) 的图象上! 4 6 2 4
难道以上推理错了?奥秘何在? 事实上, 只要考虑正弦曲线 y = sin x 与 x 轴的交点 P ( x0 ,0) 情况不难发现, P ( x0 ,0) 若

3 ,0) 代入 y = 3 sin( x + ) , 2 2

是位于递增段上的零点,则 x0 = 2kπ (k ∈ Z ) ;若 P ( x0 ,0) 是位于递减段上的零点,则

x0 = (2k + 1)π (k ∈ Z ) , 按此奇、 偶分布规律, 由于上述零点 ( ,0) 位于曲线的递减段上, 2 3 π π 所以有 + = ( 2k + 1)π ( k ∈ Z ) , < π , = , 又 ∴ 与最高点代入法得到的 完 2 2 4
全一致,这正是数学推理和谐美的一种体现。 我们认为,在数学的基本知识、基本技能之间,存在着本质上的和谐与统一,和谐性 是数学结构美的重要标志,也是数学发现与创造的美学方法之一。数学美的简单性、对称 性、相似性等都是和谐性的特殊表现,和谐与统一寓于数学“双基”的各个方面之中,数 学就是和谐与奇异的统一体,是客观世界的统一性与多样性的真实、概括和抽象的反映。 我们在“双基”教学中要善于发现,根据数学内部固有的和谐美,去思考问题,寻找解决 问题的途径,帮助学生提高数学能力。

π

参考文献 1 李尚志.从数学中享受快乐.数学通报,2004,12 2 张顺燕.数学教育与数学文化.数学通报,2005,2

6


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