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江苏省淮安市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文


淮安市2014-2015学年度第二学期期末高二调研测试
数 学 试 卷(文) 本试卷满分共160分;考试时间120分钟。 一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.只要求写出结果,不必写 出计算和推理过程.请把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A ? {0,1, 2}, B ? {x | y ? 1 ? x } ,则 A ? B ? 2.已知命题 p : ?x ? R,sin x ≤ 1 ,则 ?p 为 3.已知 . . .

2 ? 3i 为实数,其中 i 是虚数单位,则实数 m 的值为 m ? 3i

4.已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 .若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值 是 .
?
1 3

5.已知 cos(? ? ) ? ? ,则 sin(? ? ) 的值为_____.
3 6
?sin ? x, x ≤ 1 ?4? ,则 f ? ? 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 1 ?3?

?

6.已知函数 f ( x) ? ?



7.已知函数 f ( x) ? a ?

1 的图象关于原点对称,则实数 a 的值是 4 ?1
x



8. 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 按照上面的规律,第○



1

9.已知抛物线 y 2 ? 4 x 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 M , F 为抛物线的 a2

焦点,若 MF ? 3 ,则该双曲线的离心率为



10.已知过点 P ??2 3, ?2 ?的直线 l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 有公共点,则直线 l 斜率 的取值范围是 .

11.将函数 f ( x) ? 2 sin(?x ?

?
3

)(? ? 0) 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 3?
. 

y ? g ( x) 的图象,若 y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,则 ? 的最大值为 4
12.已知 f ?x ? ? ?
? x 2 ? 4 x ? 3, x ≤ 0 ? ,若关于 x 的不等式 f ?x ? a ?≥ f ?2a ? x ? 在 2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

?

?a,

a ? 1?上恒成立,则实数 a 的最大值是



13.对于数列{ a n },定义数列{ a n ?1 ? a n }为数列{ a n }的“差数列”,若 a1 ? 2 ,{ a n }的“差数列”的通项为 2 n ,则数列{ a n }的前 n 项和 S n = 14.已知函数 f ?x ? ? a log 2 x ? 1 ( a ? 0 ),定义函数 F ?x ? ? ? .

? ? f ?x ?, x ? 0 ,给出 ? ? f ?? x ?, x ? 0

下列命题:① F ?x ? ? f ?x ? ;②函数 F ?x ? 是偶函数;③当 a ? 0 时,若
0 ? m ? n ? 1 ,则有 F ?m ? ? F ?n ? ? 0 成立;④当 a ? 0 时,函数 y ? F ?x ? ? 2 有 4 个零

点.其中正确命题的个数为



二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作角 ? 和 ? , y A , B 位圆于 两 点. ? ?? ?? ? B ? ? ? 0, ? , ? ? ? , ? ? ,其终边分别交单 A ? 2? ?2 ? 2 x O 第15题

2 3 若 A,B 两点的横坐标分别是 , ? . 试求 10 5

(1) tan ? , tan ? 的值; (2) ?AOB 的值.

16.如图,已知多面体 ABCDFEF 中,平面 ADEF ⊥平面 ABCD ,若四边形
1 ADEF 为矩形, AB ∥ CD , AB ? CD , BC ⊥ 2

M

BD , M 为 EC 中点.

(1)求证: BC ⊥平面 BDE ; (2)求证: BM //平面 ADEF . 第16题图

3

17.某校为调研学生的身高与运动量之间的关系,从高二男生中随机抽取100 名学生的身高数据,得到如下频率分布表: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) 合计 频数 10 ① 30 25 20 100 频率 0.100 0.150 ② 0.250 0.200 1.00

(1)求频率分布表中①、②位置相应的数据; (2)为了对比研究学生运动量与身高的关系,学校计划采用分层抽样的方 法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研,求第2、5组每组抽取 的学生数? (3)在(2)的前提下,学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研 访谈,求至少有1名学生来自第5组的概率?

18.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x), a ? 0 ,且 a ? 1 . (1)求 f ( x) 的定义域; 4

(2)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明; (3)若 a ? 1 时,求使 f ( x) > 0 的 x 的集合.

x2 y 2 19.已知椭圆 M: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ),点 F1 (?1, 0) 、 C (?2, 0) 分别是椭圆 a b
M 的左焦点、左顶点,过点 F1 的直线 l (不与 x 轴重合)交 M 于 A, B 两点.

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)若 A(0, 3) ,求△ AOB 的面积; (3)是否存在直线 l ,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

20.已知函数 f ?x ? ?

ln x ? k (其中 k ? R, e ? 2.71828? 是自然对数的底数), ex

f ? ?x ? 为 f ?x ? 导函数.

(1)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 x ? ?0,1? 时,方程 f ? ?x ? ? 0 有解,求实数 k 的取值范围; (3)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0, f ? ?x ? ?
e ?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

5

2014-2015学年度高二调查测试 数学试卷参考答案与评分标准(文) 本试卷满分共160分;考试时间120分钟。 一.填空题: 1. {0,1}
1 2

2. ?x ? R, sin x ? 1

3. ?2

4.0或-3

5.

1 3

6.

3 2

7.

8. 6n ? 2 14. 3

9.

13 2

? 10. ? ?0, 3 ?

11.2 

12. ?2

13. 2n ?1 ? 2

二、解答题: 15.(1)因为 A, B 两点分别是角 ? , ? 的终边与单位圆的交点, 所以 A, B 两点的坐标为 A ?cos ? ,sin ? ?, B ?cos ? ,sin ? ? ,…………………………… ……4分
2 3 ?? ?? ? 又因为 A,B 两点的横坐标分别是 , ? ,且 ? ? ? ? 0, ? , ? ? ? , ? ? , 10 5 ? 2? ?2 ?

所以, cos ? ? , cos ? ? ? …6分 所以 tan ? ? ……8分

3 5

2 4 7 2 ,解得 sin ? ? ,sin ? ? ,………………………… 10 5 10

4 , tan ? ? ?7 ;……………………………………………………… 3

6

(2)因为 tan ?AOB ? tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

?7?

4 1 ? (?7) ? 3

4 3

? 1 ,…………1

2分 又因为 0 ? ? ?

?
2



?
2

? ? ? ? ,所以 0 ? ? ? ? ? ? ,

所以 ? ? ? ?

?
4

.………14分

16.(1)因为四边形 ADEF 为矩形,所以 DE ? AD , …………………………………1分 又因为平面 ADEF ⊥平面 ABCD , 平面 ADEF ∩平面 ABCD ? AD ,
N

M

所以 DE ⊥平面 ABCD ,…………………3分 又因为 BC ? 平面 ABCD , 所以 DE ⊥ BC ,……………………………5分 又因为 BC ⊥ BD , DE ? BD ? D ,所以 BC ⊥平面 BDE ; …………………………7分 (2)取 DE 中点 N ,连接 AN , MN ,因为 M , N 分别为 EC , DE 中点, 所以 MN ? CD , MN ? CD ,……………………………………………………… ……9分
1 2

7

又因为 AB ? CD , AB ? CD ,所以 MN ? AB, MN ? AB , 所以四边形 ABMN 为平行四边形, …………………………………………………11分 所以 BM ? AN ,又 AN ? 平面 ADEF , BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ? 平面 ADEF .…………………………………………………………… ………14分 17.(1)由频率分布表可知, 第2组的频数为 100 ? 0.15 ? 15 (人),………………………………………… ……2分 第3组的频率为
30 ? 0.3 ; 100

1 2

…………………………………………………………4分 (2)因为第2、5组共有35名学生,所以利用分层抽样在35名学生中抽取7名学 生,每组分别为:第3组:
15 ? 7 ? 3 (人), 35

………………………………………………………6分 第5组:
20 ? 7 ? 4 (人),………………………………………………………8分 35

所以第2、5组分别抽取3人、4人. (3)设第2组的3位同学为 A1 , A2 , A3 ,第5组的4位同学为 B1 , B2 , B3 , B4 , 则从7位同学中抽2位同学有21种可能情况:
( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , B4 ),

8

( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , B4 ) ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , B3 ), ( A3 , B4 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B3 , B4 ),

……………………………………………………………………………12分 其中第5组的4位同学 B1 , B2 , B3 , B4 中至少有一位同学入选的有18种, 故至少有1名学生来自第5组的概率为 .…………………………………… …14分 18.(1)因为 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x), a ? 0 ,
6 7

?x ? 1 ? 0 所以 ? ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ;……………… ?1 ? x ? 0
…4分 (2) f ( x) ? log a
1? x , x ? (?1,1) 1? x 1? x 1 ? x ?1 1? x ? log a ( ) ? ? log a ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x

因为 f (? x) ? log a

所以 f ( x) 为奇函数.……………………………………………………………… ………8分 (3)因为 f ( x) ? log a 增, 因为 a ? 1 ,所以 f ( x) 在 (?1,1) 上为递增函数, 9
1? x 1? x 2 ,所以 f ?0 ? ? 0 ,又 y ? 在 (?1,1) 上递 ? ?1 ? 1? x 1? x 1? x

……………………………………12分 由 f ( x) > f (0) 得, x ? 0 ,又因为 x ? (?1,1) , 所以使 f ( x) > f (0) 的x的集合为 (0,1) .…………………………………………… …16分 19.(1)由 F1 (?1, 0) 、 C (?2, 0) 得:
a ? 2, b ? 3 .…………………………………2分

所以椭圆 M 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1; 4 3

……………………………………………4分 (2)因为 A(0, 3) , F1 (?1,0) ,所以过 A, F1 的直线 l 的方程为: 即 3x ? y ? 3 ? 0 , ………………………………………………………………6分
? 3x ? y ? 3 ? 0 3 3 ? 解方程组 ? x 2 y 2 ,得 y1 ? 3, y2 ? ? ,……………………………… 5 ?1 ? ? 3 ?4
x y ? ?1, ?1 3

…8分
S?ABC ? 1 4 3 ;………………………………………………………… ? 1? | y1 ? y2 |? 2 5

…10分
2 2 x0 y0 ? 1 .因为 C (?2, 0), F1 (?1, 0) , (2)设 B( x0 , y0 )(?2 ? x0 ? 2) ,则 ? 4 3 ???? ??? ? 2 2 所以 BF1 ? BC ? (?1 ? x0 , ? y0 ) ? (?2 ? x0 , ? y0 ) ? 2 ? 3 x0 ? x0 ? y0

10

?

1 2 x0 ? 3x0 ? 5 ? 0 ,………………………………………………………12分 4

解得: x0 ? ?2 或 ?6 ,……………………………………………………………… ………14分 又因为 ?2 ? x0 ? ?6 ,所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上, 即不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. …………………………………16分 20.(1)由 f ( x) ?
ln x ? 2 1 ? 2 x ? x ln x 得 f ' ( x) ? , x ? (0, ??) , ex xe x

………………………1分 所以曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线斜率为 f ? (1) ? ? , …………………………2分 因为 f (1) ? ,所以曲线 y ? f ( x) 切线方程为 y ? ? ? ( x ? 1) ,
2 e

1 e

2 e

1 e

即 y ? ? x ? ;……………………………………………………………………… ……4分 (2)由 f ?( x) ? 0 得 k ?
1 ? x ln x , x

1 e

3 e

………………………………………………………5分 令 F ( x) ? 1 ? x ln x ,
x

11

1 因为 0 ? x ≤ 1 ,所以 F ?( x) ? ? x ? ? 0 ,………………………………6分 2 x

所以 F ( x) 在(0,1]上单调递减,又当x趋向于0时, F ( x) 趋向于正无穷大,故
F ( x) ≥ 1 ,

即 k ≥1 ; ……………………………………………………………………………8分 (3)由 f '(1) ? 0 ,得 k ? 1 , ………………………………………………………………9分 令 g ( x) ? ( x 2 ? x) f ' ( x) , 所以 g ( x) ?
x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) , ex

因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e?2 ? 1 等价于 1 ? x ? x ln x ?

ex (e ?2 ? 1) , x ?1

由 h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .得 h?( x) ? ? ln x ? 2 , x ? (0, ??) , 因此,当 x ? (0, e?2 ) 时,因为 h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 单调递增; 当 x ? (e?2 , ??) 时,因为 h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 单调递减, 所以 h( x) 的最大值为 h(e?2 ) ? e?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ≤ e?2 ? 1 , …………………………12分 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,因为 ? ?( x) ? e x ? 1 ,所以 x ? (0, ??) 时, ? ?( x) ? 0 , 所以 ? ( x) 在 ?0, ?? ? 上单调递增,所以 ? ( x) ? ? (0) ? 0 , 故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ? 0 ,即 …14分 所以 1 ? x ? x ln x ≤ e?2 ? 1 ?
ex e ?2 ? 1 (e ?2 ? 1) .即对任意 x ? 0 , f ?( x) ? 2 恒成立.…… x ?1 x ?x ex ? 1 ,………………………………… x ?1

12

16分

13


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