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3.1.1空间向量及其加减运算(第一课时)课件(共55张PPT)_图文

人教课标A版选修2-1
空间向量 及其加减运算

复习

⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量.

几何表示法:用有向线段表示;

字母表示法:用字母a、b 等或者用有向线段

的起点与终点字母 AB表示.

相等的向量:长度相等且方向相同的向量.

B

D

A

C

复习
2.平面向量的加减法与数乘运算
(1)向量的加法:

a?b
b
a
平行四边形法则

a?b
a
三角形法则

复习

(2)向量的减法

a?b

三角形法则

b a

3. 平面向量的加法运算律

加法交换律: a ? b ? b ? a 加法结合律:(a ? b)? c ? a ? (b ? c)

空间向量的加法、减法运算

平面向量

概念 定义 表示法 相等向量

加法 减法

加法:三角形法则或 平行四边形法则

运算 减法:三角形法则

空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则

运 算

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法交换律 a ? b ? b ? a

加法结合律

成立吗?

b a

C

a+b

B

O

A

OB ? OA ? AB

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

B

b

b

Oa A

a

结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它 们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向 量中有关结论仍适用于它们.

空间向量的加法、减法运算

平面向量

概念 定义 表示法 相等向量

加法 减法

加法:三角形法则或 平行四边形法则

运算 减法:三角形法则

空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则

运 算

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加法交换律 a ? b ? b ? a

加法结合律

成立吗?

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

O

O

a

a

A b

B

c

C

b +c A
b Bc

C

空间向量的加法、减法运算
(1)加法交换律: a ? b ? b ? a (2)加法结合律: (a ? b)? c ? a ? (b ? c)

a

b

c

a

b

c

说明 对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广. ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间
仍然成立. ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个
向量相加.

推广

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? A1 An

A1

An ?1

A2

An

A3

A4

推广

(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ?? An?1 An ? An A1 ? 0

A1

An ?1

A2

An

A3

A4

平行六面体

平行四边形ABCD平移向量 a 到 A?B?C?D? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记

作ABCD— A?B?C?D? .
D’
平行六面体
A’
的六个面都是平

C’ B’

行四边形,每个 面的边叫做平行 六面体的棱.

a
D
A

C B

例题

例 已知平行六面体ABCD ? A' B'C' D',化简下
列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA';

D’ A’

C’ B’

D A

C B

例题

例 已知平行六面体ABCD ? A' B'C' D',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC;

D’

⑵AB ? AD ? AA';

A’

解:⑴AB ? BC ? AC

⑵AB ? AD ? AA'

? AC ? AA'  ? AC ? CC'
? AC'

D A

C’ B’
C B

练习

空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD 边的中点,化简:
A
(1) AB ? 1 (BC ? BD) 2

(2) AG ? 1 ( AB ? AC )

D

2

G

B

M

C

练习参考答案

A

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG

(2)原式

D

=AB ? BM

?

MG

? 1 ( AB ? 2

AC )

=BM ? MG ? 1 ( AB ? AC )

G

2

? BM ? MG ? MB

B

M

C ? MG

———共线向量与共面向量

a

?

b

回顾
B
b
O
a
结论:空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内,成为同一平面内的向量.

一、空间向量数乘运算

1.实数

?与空间向量

? a

的乘积

?a? 仍然

是一个向量.

(1)方向: 当 ??0
当? ?0
当? ? 0

时时时,, ,???aaa???与与是向向零量量向量aa?? .方方向向相相同同;;

(2)大小:?a?的长度是

? a

的长度的

|?

| 倍.

二、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.

? 问题:平面向量中,a

//

?? b (b

?

? 0)的充要条件是:存在唯一

的实数 ? ,使 a ? ?b.

能否推广到空间向量中呢?

共线向量定理:

对空间任意两个向量

a?, b?(b?

?

? 0)



a?

//

?? b (b

?

? 0)

存在实数λ,使 a ? ?b(b ? 0).

? a

//

?? b (b

?

? 0)

? a

?

??
?b (b

?

? 0)

? a

?

??
?b (b

?

? 0)

? ?? ?

a // b (b ? 0)

作用:由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

如图,l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a

的直线, 若点P是直线l上任意一点,则



l

//

? a

知存在唯一的t,

满足

AP ? ta

A

对空间任意一点O,

l

AP ? OP ? OA,

所以

OP

?

OA

?

? ta



? OP ? OA ? ta



aP
B
O

若在l上取 AB ? a 则有

OP ? OA ? t AB



①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.

OP ? OA ? t AB
进一步,OP还可表示为: OP ? _1_-_t _OA? __t__OB
因为 AB ? OB?OA,
所以 OP ? OA ? t(OB ?OA)

aP
B A
O

? (1? t)OA ? tOB

1
特别的,当t =

时,则有

2

OP ? 1 (OA ? OB) P点为A,B 的中点

2

A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB(x ? y ?1)

练习1.对于空间任意一点O,下列命题正

确的是: A

A.若 OP ? OA ? t AB ,则P、A、B共线

B

P

B.若 3OP ? OA ? AB ,则P是AB的中点 O

A

C.若 OP ? OA ? t AB ,则P、A、B不共线

D.若 OP ? ?OA ? AB ,则P、A、B共线

三、共面向量:

1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b

d

c

a

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? e

? a

2?

e1

??
a ? ?1e1 ? ?2e2

如果空间向量

p与两不共线向量

? a

,b



面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则

有 p ? x? ? yb

反果过p来? ,x?对?空y间b,任那意么两向个量不p共与线向的量向a量? ,

? a
b

,b ,如
有什么位

置关系?

C

p

P

b

A aB

?xa, yb分别与a,b共线,

?xa, yb都在a,b确定的平面内

并且此平行四边形在 a,b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a,b确定的平面内,即p与a,b共面

? ? a 2.共面向量定理:如果两个向量 ,b 不共线, a 则向量 p 与向量 ,b 共面的充要条件是
存在实数对x,y使 p ? xa ? yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x, y,使 AP ? xAB? y AC

C

p

P

b

A aB

对空间任一点O,有OP ? OA? xAB? y AC ③

C

p

P

b

A aB

O 填空:OP ? (1_-__x_-_y)OA? (_x___)OB ? (__y__)OC
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意平面 由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
作用:由此可判断空间任意四点共面

P与A,B,C共面

AP ? xAB? yAC

OP ? OA ?xAB ? yAC
? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0
(x ? y ? z ? 1)

例1. 已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外 的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、 B、C一定共面?
(1)OB ? OC ? 3OP ?OA (2)OP ? 4OA?OB ?OC
AP ? xAB? yAC
? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0
(x ? y ? z ? 1)
(1)共面,因为OB ? OC ? 2OA ? 3OP ? 3OA
即(OB ? OA) ? (OC ? OA) ? 3AP
所以AB ? AC ? 3AP,所以AP ? 1 AB ? 1 AC 33

例2. 如图,已知平行四边形ABCD,过平

面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD,

在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使

OE ? OF ? OG ? OH ? k, OA OB OC OD
求证:

O DC

⑴四点E、F、G、H共面;A

B

H

G

⑵平面EG//平面AC.

E

F

小结

共线向量

共面向量

定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,叫

行或重合

做共面向量.

定理 ? ? ? ? a // b(a ? 0)

? a

?

?
?b

a?,b?,p
共面

p ? xa ? yb

推论 AP ? t AB

AP ? xAB? yAC

OP ? OA ? t AB

OP ? OA ?xAB ? yAC

运用 判断三点共线,或两 判断四点共线,或直线平

直线平行

行于平面

1.回 顾
1.回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?
怎样判定向量b与非零向量a是否共线?
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于 任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上, 所以平行向量也叫做共线向量.
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一 个实数λ,使b=λa ,称平面向量共线定理.

1.回 顾
2. 必修④《平面向量》,平面向量的一个重要定理 ——平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内两 个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向 量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底.

1.回 顾

a

?

b

结论:1)空间任意两个向量都是共面向量。
2)涉及空间任意两个向量问题,平 面向量中有关结论仍适用它们。

2.空间向量的数乘运算

例如:

3a
a ?3a

2. 空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即:?(a ? b) ? ?a ? ?b
(? ??)a ? ?a ? ?a
A
?(?)a ? (??)a

P96 练习 1(1)、(2)、(3)

B

E

D F C

3.向量的平行与重合

如图:L为经过已知点且平行非零向量a的

直线,对空间任意一点O,
点P在直线L上? ?t ? R, OP ? OA ? ta (1) 非零向量a叫做直线L的方向向量。
点P在直线L上? ?t ? R, OP ? OA ? t AB(2) O ? (1)、(2)都称为空间直线的向量表示式。

即:空间直线由空间一点及直线的L 方向向

量唯一确定

?

A

?

P

?

B
a

4.例题1
问题;如图;已 知空间四边形 A B C D中,

向量AB = a,AC = b,AD = c,若M为BC的中点,

G为ΔBCD的重心,试用a、b、c表示下列向

量:(1)DM
1(a ? b) - c 2

(2) AG
A

B

G

M

C

1(a ? b ? c) 3
D

4.例题1

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值.

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? xAC1

解(3) AC ? AB1 ? AD1

D1

? (AD ? AB) ? (AA1 ? AB) ? (AA1 ? AD)A1

? 2(AD ? AB ? AA1)

C1 B1

? 2AC1
?x ? 2.

D A

C B

4.例题2

在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心, 若 AE ? AA ' ? xAB ? yAD ,求实数x,y.

A B

D E
C

A B

D C

5.共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共
面向量.

a

O

A

a
?

共面向量定理:如果两个向量a, b
不共线,则向量P与向量a, b 共面的充要条
件是存在实数对x, y 使P ? xa ? yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
OP=xAB+yAC 或对空间任一点O,有
OP=OA+xAB+yAC

6.例题4

已 知 平 行 四 边 形 ABCD , 从 平 面 AC 外 一

点O引向量OG ? kOC O,E ? kOA O,H ? kOD

OF ? kOB ,求证:

(1) 四点E、F、G、H共面;

(2)平面EG∥平面AC .

O

DC

A

B

H

G

E

F

7.练习1

空间四边形ABCD中,M、G分别是 BC、CD边的中点,化简:

A

(1) AB ? 1 (BC ? BD)

2

(2) AG ? 1 ( AB ? AC)

D

2

B

M

G C

7.练习1 空间四边形ABCD中,M、G分

别是BC、CD边的中点,化简:

(1)

AB ? 1 (BC ? BD) A2

(2) AG ? 1 (AB ? AC) 2

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG

(2)原式

=AB ? BM ? MG ? 1 ( AB ? AC)

D

2
=BM ? MG ? 1 ( AB ? AC)

2

G ? BM ? MG ? MB

B

M

? MG
C

7.练习2

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.

A
(1)AC ' ? x(AB ? BC ? CC ' )
B
(2)AE ? AA ' ? xAB ? yAD

E

D

C

A

D

B

C

7.练习2

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.

A
(1)AC ' ? x(AB ? BC ? CC ' )
B

E

D

C

A B

D C

7.练习2

在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.

(2)AE ? AA ' ? xAB ? yAD

A

B

E

D

C

A B

D C

8.小结 类比思想 数形结合思想

平面向量

空间向量

概念 定义 表示法 相等向量

加法 减法

加法:三角形法则或 平行四边形法则

数乘 减法:三角形法则

运算 数乘:ka,k为正数,负数,零

具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零

运 加法交换律 a ? b ? b ? a 算 加法结合律 律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律
k(a ? b) ? ka+kb

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k(a ? b) ? ka+kb


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