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四川省乐山市高中2013届高三下学期(4月)第三次调研考试数学(理)试卷


乐山市高中 2013 届高三下学期(4 月)第三次调研考试 数学(理)试卷
一、选择题:每题 5 分,共 50 分 1.复数 2i 的虚部为(
3

1? i



A.;

B. ?i ;

C.; D. ?1 ; )

2. 2.如下图,几何体的主视图和左视图都正确的是(
A B

C

D

主视

3.函数 f(x) ? 2 ? 2 ? a 的一个零点在区间 ?1, 2 ? 内,则实数 a 的取值范围是(
x

x



A. ?1,3? ;

B.

? 0, 2 ? ;

C. ? 0,3? ;

D. ?1, 2 ? ;

4.已知等差数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn , M、 P 三点共线, 为坐标原点, 2ON ? a4OM ? a17OP 若 N、 O 且 (直线 MP 不过点 O) ,则 S20 等于( ) A.10; B.15; C.20; D.40;

????

???? ?

??? ?

5.已知:命题 P : “ a ? 1 是 x ? 0, x ? a ? 2 的充分必要条件” ;命题: q : “ ?x ? R, x2 ? x ? 2 ? 0 ”

x

则下列命题正确的是( ) A.命题“ p ? q ”是假命题; C.命题“ p ? ? ?q ? ”是真命题;

B.命题“ ? p ? q ”是真命题; D.命题“ ?p ? ? ?q ? ”是真命题;

6.从 1,2,3,4,5,6 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为奇数” ,事件 B 为“取 到的 2 个数均为奇数” ,则 P(B A) ? ( ) A. 1 ;

5

B. 1 ;

4

C. 2 ;

3

D. 1 ;

3

7. 如图,为了测量河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点

A A 的仰角为 60 ,再由点 C 沿北偏东 15 方向走 10 米到位置 D,测得 ?BDC ? 45 ,则塔 AB 的高
?

?

?

是(

)A. 10 6 ;
2 2

B. 5 6 ;

C. 10 3 ; D. 10 2 ;

D

y 8.过双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 的直线与双曲线 C 的右支 B a b
交于点 P,与圆 x ? y ? a 恰好切于线段 FP 的中点 M,
2 2 2

C

则直线的斜率为( )A. 1 ; B. 1 ;

2

5

C. 2 ; D. 5 ;

·1·

9. 9.直线 y ? 5 与 y ? ?1 在区间 ?0, 4? ? 上截曲线 f(x) ? m sin ? x ? n(m, n ? 0) 所得的弦长相等且

?

??


2

不为零,则下列结论正确的是( A. m ? 3 , n ? 5 ;

2

2

B. m ? 3, n ? 2 ;

C. m ? 3 , n ? 5 ;

2

2

D. m ? 3, n ? 2 ;

10 我们常用以下方法求形如 y ? f ( x) g ( x ) 的函数的导数: 先两边同取自然对数:ln y ? g ( x) ln f ( x)

1 1 再两边同时求导得到: y y? ? g? (x) ln f(x) ? g(x) f(x) f ? (x) ,于是得到: y? ? f(x) g(x) [g? (x)ln f(x) ?g(x) 1 f ? (x)] ,运用此方法求得函数 y ? x 1 (x ? 0)的单调递增区间是( ) x f(x)
A. ? e, 4 ? ; B. ? 3, 6 ? ; C. ? 0,1? ; D. ? 2,3? ;

二、填空题:每题 5 分,共 25 分。

x ? 2 的展开式中的第 5 项为常数项,则 n ? x 12. 阅读下面程序框图,为使输出的数据为 31,则 ? 处应填的数字为
11.若 13.高三某学生计划报名参加某 7 所高校中的 4 所学校的自主招生考试,其中 仅甲乙两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校, 那么该生不同的报考方法有 种。 14. 设向量 OA ? ? 0,1? , OB ? ?1,1? ,O 为坐标原点,动点 P ? x, y ? 满足

?

?

n

开始
s ? 1, i ? 1
i??


输出s

??? ?

??? ?



s ? s ? 2i
i ? i ?1

??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OA ? 1 ??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2 ,则点 ? x ? y, y ? 构成的图形的面积为 ?

结束

15.函数 f(x) 的定义域为 D,若对任意的 x1, x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f(x1) ? f(x2) ,则称函数 f(x) 在 D 上为“非减函数” ,设函数 f(x) 在 ?0,1? 上为非减函数,且满足以下三个条件:① f(0) ? 0 ;②

f( x) ? 1 f(x) ;③ f(1 ? x) ? 1 ? f(x) ,则 f( 5 ) ? f(1) ? 3 2 12 8
三、解答题:共 5 个大题,共 75 分 16(本题满分 12 分)如图,已知点 A(3, 4), C(2,0) ,点 B 在第二象限,且 OB=3,O 为坐标原点, 记 ?AOC ? ? 。 (1)求 sin 2? 的值; (2)若 AB=7,求 △ABC 的面积。
B
A

?
O

C

·2·

17(本题满分 12 分) “五一”期间,某商场决定从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商 品进行活动 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; (2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元, 规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若中一次,则获得数额为 m 元的奖金;若中两次奖, 则共获得数额为 3m 元的奖金;若中奖三次,则共获得数额为 6m 元的奖金。假设顾客每次抽奖 中获奖的概率都是 1 , 请问: 商场将奖金数额 m 最高定为多少元, 才能使促销方案对商场有利?

3

18(本题满分 12 分)如图,在三棱锥 S—ABC 中,是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC, (1)证明:AC⊥SB; SA ? SC ? 2 3 ,M,N分别是AB,CD的中点。 S (2)求二面角N-CM-B的正切值。

N C
A M B

·3·

19(本题满分 12 分)已知数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn, a1 ? t,2an?1 ? ?3Sn ? 4 ? n ? N *? (1) 当为何值时, 数列 ?an? 是等比数列; (2) 在满足 (1) 的前提下, bn ? ? an ? n2 , 设 若数列 ?bn? 中,有 b1 ? b2, b3 ? b4, ?b2n?1 ? b2n, ? 成立,求实数 ? 的取值范围。

20(本题满分 13 分)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短
·4·

轴的两个端点恰好为一个正方形的顶点,过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线交椭圆于 P,Q 两点。 (1)求椭圆的方程; (2)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0) ,使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边 形是菱形?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

P F

O M

Q

21(本题满分 14 分)已知函数 f(x) ? ln ax ? x ? a (a ? 0)

x

(1) 求此函数的单调区间和最值; (2) 求证: 对于任意正整数 n, 均有 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln e ( e

n

2 3

n

n!

为自然对数的底数)(3)当 a ? 1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y ? f(x) 的图象相切? ; 若存在,有多少条,若不存在,说明现由。

·5·

·6·

·7·

·8·

·9·



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