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高中数学选修1.3.1-二项式定理人教版ppt课件


§1.3.1 二项式定理 ■请你观察 ( a+ b) 2 与 ( a+ b) 3 的展开式并思考: ①展开式中这些类型的项是如何得到的? 各项有何特征? ②展开式中各项的系数是如何确定的? 1.会用计数原理分析的展开式,并归纳、猜想出二项式定理 . (重点) 2.用计数原理分析二项式的展开过程,并归纳、猜想出二项式定理. (难点) 探究新知 (a ? b) ? a ? 2ab ? b 2 2 3 3 2 4 4 3 2 2 3 3 4 (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 2 2 (a ? b) ? a ? 4a b ? 6a b ? 4ab ? b 根据所得到的展开式,你能发现它们有何规律? 探究发现 问题:①(a+b)4的展开式中会有哪几种类型的项? ②(a+b)4的展开式中各项的系数各是多少? 4 1 2 3 清除 a? b a? b b)(a b)(a b)(a b) a? b a? b (a ? b) ? (a 4 清除 ? a ? 4a b ? 6a b ? 4ab ? b 4 3 2 2 3 4 4个 a, 0个 b, a 4 3个 a, 1个 b, a 3 b 2个 a, 2个 b, a 2 b 2 baaa abaa aaba aaab 1个a, 3个b, ab 3 0个 a, 4个 b, b 4 探究发现 问题3:你能将 1 3 2 (a+b)1 0 1 的展开式写成类似的形式吗? 1 1 (a ? b) ? C a ? C b 1 2 2 C C ab ? 2b (a ? b) ? C a ? 2 2 3 0 2 2 (a ? b) ? C a ? C a b ? C ab ? C b 0 3 3 1 3 2 2 3 2 3 3 3 (a ? b) ? C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C b 4 0 4 4 1 4 3 2 4 2 2 3 4 3 4 4 4 问题4:你能猜想(a+b)n的展开式吗? (a ? b) ? n ? 探究发现 (binomial theorem) (a ? b) ? C a ? C a n 0 n n 1 n n ?1 b?C a 2 n n? 2 b ? 2 ?C a k n n? k b? k n n ? Cn b 证明思路: ①为什么每一项都是an-kbk的形式? (a+b)n是n个(a+b)相乘, 展开式中的每一项都是从 这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的, 故每一项都是an-kbk的形式, k=0, 1, …, n; (n∈N*) ②展开式中各项的系数如何确定? an-kbk是从n个(a+b)中取k个b, n-k个a 相乘得到的, 有C ? k 种情况可以得到 an-kbk , n 因此, 该项的系数为 C k n . 概念理解 (binomial theorem) (a ? b) ? C a ? C a n 0 n n 1 n n ?1 b?C a 2 n n? 2 b ? 2 ?C a k n n? k b ? k ?C b n n n 注: (1)公式右边叫作(a+b)n的二项展开式, (n∈N*) 共n+1 项; (2)各项的次数都等于n;字母 a 的次数由n降到0,字母 b 的次数由0升到 n. (3)第r+1项二项式系数: C r n


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