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江苏省盐城市学富镇时杨中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版).doc

2016-2017 学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高二(上)期 中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (2016 秋?盐都区校级期中)命题“存在实数 x”,使 2x2﹣x+3=0 的否定是: 任意实数 x, 使 2x2﹣x+3≠0 . 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“存在实数 x”,使 2x2﹣x+3=0 的否定是:任意实数 x,使 2x2﹣x+3≠0. 故答案为:任意实数 x,使 2x2﹣x+3≠0. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.

2. (2016 秋?盐都区校级期中)已知椭圆 【考点】椭圆的标准方程.

+

,那它的焦距为 8 .

【专题】计算题;方程思想;演绎法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆的标准方程及其 c= 即可得出.

【解答】解:由椭圆 故答案为:8.

+

可得焦距 2c=2

=8.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题.

3 3. (2016 秋?盐都区校级期中)已知 f(x)=x ﹣2,则曲线 y=f(x)在 x= 处的切线斜率为

. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】函数思想;分析法;导数的概念及应用. 【分析】求得 f(x)的导数,运用导数的几何意义可得所求切线的斜率. 【解答】解:f(x)=x3﹣2 的导数为 f′(x)=3x2, 由导数的几何意义可得, 曲线 y=f(x)在 x= 处的切线斜率为 k=3× = 故答案为: . 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义,以及运算能力,属于 基础题. .

4. (2016 秋?盐都区校级期中)若点(1,1)在直线 x+y=a 右上方,则 a 的取值范围是 (﹣ ∞,2) . 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】转化思想;转化法;不等式的解法及应用. 【分析】利用点(1,1)在直线 x+y=a 右上方(不包括边界) ,建立条件关系,进行求解即 可. 【解答】解:若点(1,1)在直线 x+y=a 右上方, 则 1+1>a,解得:a<2, 故答案为: (﹣∞,2) . 【点评】 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域, 以及点与平面区域的关系, 比较基础.

5. (2011?秦州区校级模拟)若抛物线的焦点坐标为(﹣2,0) ,则抛物线的标准方程是 ﹣8x . 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】计算题.
2 【分析】由焦点(﹣2,0) ,可设抛物线的方程为 y =﹣2px,由

y2=

可求 p.

【解答】解:由焦点(﹣2,0)可设抛物线的方程为 y2=﹣2px ∵ ∴p=4

∴y2=﹣8x 故答案为:y2=﹣8x. 【点评】 本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程, 解题的关键是由抛物线的焦点 确定抛物线的开口方向,属于基础试题.

6. (2016 秋?盐都区校级期中)若实数 x,y 满足

,则目标函数 z=2x+y 的取值范

围是 [0,4] . 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;数形结合;定义法;不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数即可 求得 k 值. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图: O(0,0) ,A(2,0) , 由 z=2x+y 得:y=﹣2x+z, 显然直线过 O(0,0)时,z 最小,z 的最小值是 0, 直线过 A(2,0)时,z 最大,z 的最大值是 4, 故答案为:[0,4].

【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

7. (2014?汕尾二模)不等式 【考点】其他不等式的解法.

的解集为 [﹣2,1) .

【专题】计算题;不等式的解法及应用. 【分析】原不等式等价于 ,解不等式组可得.

【解答】解:原不等式等价于



解得

,即﹣2≤x<1

故原不等式的解集为:[﹣2,1) 故答案为:[﹣2,1) 【点评】本题考查分式不等式的解集,把分式不等式化为不等式组是解决问题的关键,属基 础题.

8. (2016 秋?盐都区校级期中)已知函数 f(x)=x2lnx(x>0) ,则 f'(1)= 1 . 【考点】导数的运算. 【专题】定义法;导数的概念及应用. 【分析】根据导数的公式即可得到结论. 【解答】解:函数 f(x)=x2lnx(x>0) , 则 f′(x)=(x2)′?lnx+(lnx)′?x2 =2x?lnx+ ?x2 =2x?lnx+x. ∴f'(1)=2?ln1+1=1, 故答案为:1. 【点评】本题主要考查导数的基本运算,比较基础.

9. (2016 秋?盐都区校级期中)“ 件.

”是“对任意的正数 x,

”的 充分非必要 条

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题. 【分析】根据基本不等式,我们可以判断出“a= ”? “对任意的正数 x,2x+ 意的正数 x,2x+ ”与“对任

”? “a= ”真假,进而根据充要条件的定义,即可得到结论

【解答】解:当“a= ”时,由基本不等式可得: “对任意的正数 x, 即“a= ”? “对任意的正数 x,2x+ 而“对任意的正数 x,2x+ 即“对任意的正数 x,2x+ 一定成立, ”为真命题;

的”时,可得“a≥ ” ”? “a= ”为假命题; 的”充分不必要条件

故“a= ”是“对任意的正数 x,2x+ 故答案为充分非必要.

【点评】 本题考查的知识点是必要条件、 充分条件与充要条件的判断, 其中根据基本不等式, 判断“a= ”? “对任意的正数 x,2x+ 是解答本题的关键. ”与“对任意的正数 x,2x+ ”? “a= ”真假,

10. (2016 秋?盐都区校级期中)已知椭圆 点到右准线的距离 16 . 【考点】椭圆的简单性质.

+

上一点 P 到左焦点的距离为 4,求 P

【专题】计算题;方程思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆方程求出 a,c,得到 e,再由已知结合定义可得|PF2|,由由圆锥曲线统一定 义得答案. 【解答】解:由椭圆 +
2 2 ,得 a =64,b =28,



又|PF1|=4,由椭圆定义可得|PF2|=2a﹣4=12, 设 P 点到右准线的距离为 d,

则由圆锥曲线统一定义可得:



∴d= 故答案为:16.



【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆定义的应用,是中档题.

11. (2016 秋?盐都区校级期中)给出下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③“若 b≤﹣1,则 x2﹣2bx+b2+b=0 有实数根”的逆否命题; ④若 p:x>1,q:x≥4,则 p 是 q 的充分条件; 其中真命题的序号是 ①③ . (请把所有真命题的序号都填上) .

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】探究型;定义法;简易逻辑. 【分析】写出原命题的逆命题,可判断①;写出原命题的否命题,可判断②;根据互为逆否 的两个命题,真假性相同,可判断③;根据充要条件的定义,可判断④. 【解答】解:①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题为“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”,为 真命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题为“不相似三角形的周长不相等”,为假命题; ③“若 b≤﹣1,则 4b2﹣4(b2+b)=﹣4b>0,则 x2﹣2bx+b2+b=0 有实数根”为真命题,故其 逆否命题为真命题; ④若 p:x>1,q:x≥4,则 p 是 q 的必要不充分条件,为假命题; 故答案为:①③ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了四种命题,充要条件知识点,难度中 档.

12. (2016 秋?盐都区校级期中)已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长,该椭圆椭 圆的离心率 .

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】计算题;转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知可得 ,转化为关于 e 的一元二次方程求解.

【解答】解:由题意, 即 a2﹣c2﹣ac=0,
2 ∴e +e﹣1=0,解得:



(舍) ,或 .



∴椭圆椭圆的离心率为 故答案为: .

【点评】本题考查椭圆的简单性质,是基础的计算题.

x 2 13. (2010?番禺区校级模拟)曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的

面积为



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;指数函数的图象与性质. 【专题】计算题. 【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积,只须求出切线在坐标轴上的截距即可,故 先利用导数求出在 x=2 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后 求出切线的方程,从而问题解决. 【解答】解析:依题意得 y′=ex, 因此曲线 y=ex 在点 A(2,e2)处的切线的斜率等于 e2, 相应的切线方程是 y﹣e2=e2(x﹣2) , 当 x=0 时,y=﹣e2 即 y=0 时,x=1, ∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为: S= ×e2×1= .

故答案为:



【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线 上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

14. (2016 秋?盐都区校级期中)已知 x、y 为正实数,则 【考点】基本不等式. 【专题】转化思想;转化法;不等式. x、 y 为正实数, 【分析】 则 + = +

+ 的最小值为



, 令 =t>0, 可得

+ =

+t=

+



,利用基本不等式的性质即可得出.

【解答】解:∵x、y 为正实数,则

+ =

+ ,

令 =t>0,∴

+

=

+t=

+







= ,

当且仅当 t= 时取等号. ∴ + 的最小值为 .

故答案为: . 【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (12 分) (2016 秋?盐都区校级期中)解不等式: (1)﹣x2+2x+3>0 (2) ≤0.

【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想;定义法;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)利用因式分解法即可求出不等式的解集, (2) ≤0 等价于 或 ,解得即可.

【解答】解: (1)﹣x2+2x+3>0,等价于 x2﹣2x﹣3<0,即(x﹣3) (x+2)<0,解得﹣2 <x<3,故不等式的解集为(﹣2,3) , (2) ≤0.等价于 或 ,

解得 x<﹣4 或 2≤x<3, 故不等式的解集为(﹣∞,﹣4)∪[2,3) 【点评】本题考查了不等式的解法,属于基础题.

16. (12 分) (2016 秋?盐都区校级期中)已知命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对? x ∈R 恒成立;命题 q:不等式 x2﹣(a+1)x+1≤0 的解集是空集.若“p∨q”为真命题,“p∧q” 为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用;函数恒成立问题. 【专题】转化思想;转化法;简易逻辑. 【分析】若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则命题 p,q 一真一假,进而可得实数 a 的 取值范围. 【解答】解:若不等式 x2+2ax+4>0 对? x∈R 恒成立, 则△=4a2﹣16<0, ∴命题 p:﹣2<a<2; 若等式 x2﹣(a+1)x+1≤0 的解集是空集. 则△=(a+1)2﹣4<0, ∴命题 q:﹣3<a<1, ∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题, ∴命题 p,q 一真一假, ∴ ,或 ,

综上可得:a∈(﹣3,﹣2]∪[1,2) . 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合但,函数恒成立等知识点,难度 中档.

2 17. (14 分) (2016 秋?盐都区校级期中)若不等式 ax +(a﹣5)x﹣2>0 的解集为{x|﹣2<x

<﹣ } (1)解不等式 2x2+(2﹣a)x﹣a>0 (2)求 b 为的范围,使﹣ax2+bx+3≥0 的解集为 R. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;方程思想;定义法;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)根据一元二次不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系求出 a 的值,再 解不等式即可, (2)不等式的解集为 R,则△=b2﹣4×4×3≤0,解得即可.
2 【解答】解: (1)ax +(a﹣5)x﹣2>0 的解集为{x|﹣2<x<﹣ }

∴a<0, 解得 a=﹣4,

=﹣2×(﹣ )

∴2x2+(2﹣a)x﹣a>0,即为 2x2+6x+4>0,即为 x2+3x+2>0,解得 x<﹣2 或 x>﹣1, 故不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) (2)∵4x2+bx+3≥0 的解集为 R, ∴△=b2﹣4×4×3≤0, 解得﹣4 ≤b≤4 ,4 ]

故 b 的范围[﹣4

【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与所对应一元二次方程根的关系,是基础题.

18. (14 分) (2016 秋?盐都区校级期中)已知 F1、F2 是椭圆 C: 的左、右焦点,点 Q(﹣ 点 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆 C 上一点,且∠F1PF2= 【考点】椭圆的简单性质. ,求△F1PF2 的面积.

+

=1(a>b>0) :

,1)在椭圆上,线段 QF2 与 y 轴的交点 M,且点 M 为 QF2 中

【专题】综合题;方程思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)设 MM(0,y) ,结合 M 是线段 QF2 的中点及 Q 的坐标求得 F2 的坐标,得到 c,再由 Q 在椭圆上列式可得 a,b 的值,则椭圆方程可求; (2)由∠F1PF2= ,可知△PF1F2 为直角三角形,在焦点三角形中由椭圆定义及余弦定理

联立求得 PF1、PF2 的值,则△F1PF2 的面积可求. 【解答】解: (1)设 M(0,y) ,∵M 是线段 QF2 的中点, ∴F2( ) ,



2 2 ,解得 a =4,b =2.

∴椭圆的标准方程为:



(2)由∠F1PF2=

,可知





,解得 PF1=PF2=2.





【点评】本题考查椭圆的简单性质,涉及椭圆焦点三角形问题,常利用椭圆定义及余弦定理 求解,是中档题.

19. (14 分) (2016 秋?盐都区校级期中)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为 200 元 的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 40 元,储存购入的书 桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则 该月需用去运费和保管费共 520 元,现在全月只有 480 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 题意 f(x)= 批,每批价值 20x.由

?4+k?20x,由 x=4 时,y=52,代入可得 k.即可得出.

(2)利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解 (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 由题意 f(x)= ?4+k?20x, = . 批,每批价值 20x.

由 x=4 时,y=52,得 k= ∴f(x)=

+4x (0<x≤36,x∈N*) . +4x (0<x≤36,x∈N*) . =48(元) .当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立.

(2)由(1)知 f(x)= ∴f(x)≥

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. 【点评】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题.

20. (14 分) (2016 秋?盐都区校级期中)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 P(1, (1)求椭圆 C 的方程;

) ,离心率为 .

(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点,记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t, 求 t 的最大值; ②若直线 l 的斜率为 定值,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由椭圆过点 P(1, ) ,离心率为 ,列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭 圆 C 的方程. (2)①设直线 l 的方程为 x=my+1,代入椭圆,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,由此利用根的 判别式、韦达定理,结合已知条件能求出 t 的最大值.
2 2 ,试探究 OA +OB 是否为定值,若是定值,则求出此定值;若不是

②设直线 l 的方程为 y=

,代入椭圆,得

,由此利用根的

2 2 判别式、韦达定理,结合已知条件能求出 OA +OB 为定值.

【解答】解: (1)∵椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点 P(1, ) ,离心率为 ,





解得 a=2,b=

, =1.

∴椭圆 C 的方程为

(2)①设直线 l 的方程为 x=my+1,直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



2 2 ,得(3m +4)y +6my﹣9=0,

△=36m2+36(3m2+4)>0, , ,

∴kAP?kBP=

=

=

=﹣


2 )+

∴t=kAB?kAP?kBP=﹣

=﹣(



∴当 m=﹣ 时,t 有最大值 ②设直线 l 的方程为 y=

. ,直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



,得













= = = =



+n)2+(

+n)2

(x1+x2)+2n

2

= ∴OA2+OB2 为定值 7.

=7.

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查实数的最大值的求法,考查代数式的值是否为定值 的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合 理运用.


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