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【名校】重庆八中2011届高三(上)学期第三次月考(数学文科)

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重庆八中高 2011 级高三(上)第三次月考
数学试题(文科) 第 I 卷(选择题 共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 选择题( 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的) 1.下列向量中不是单位向量的是( )

r A. a = (1, 0 )

r B. b = ( 0, ?1)

r C. c = (1,1)


u ? r 2 2? D. d = ? ? , ? ? 2 2 ?

2.对于任意的实数 α 、 β ,下列式子不成立的是( A. 2 sin 2 α = 1 ? cos 2α C. cos (α ? β ) = cos ( β ? α )

B. cos (α + β ) = cos α cos β + sin α sin β D. sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ) C. 1 + 3 )
2

3.函数 f ( x ) = sin x ? 3 cos x 的最大值是( A.1 B. 3

D.2

4.如果 a < 0, b > 0 ,那么下列不等式中正确的是( A. 1 < 1 B. ? a <

a

b

b

C. a < b
2

D. | a |>| b |

5. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) , 导函数 f ′( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间

y

y = f ′(x)

(a, b) 内极小值点有(
A.1 个

) C.3 个 D.4 个 )

b a O x

B.2 个

? 2 6.不等式组 ? x 2 ? 1 < 0 的解集是( ? x ? 3x < 0
A. {x | ?1 < x < 1} C. {x | 0 < x < 3}

B. {x | 0 < x < 1} D. {x | ?1 < x < 3} )

7.若 f ( x ) = log 2 ( x ? 1) ( x > 5 ) ,则其反函数为(

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A. f ?1 ( x ) = 2 x + 1( x > 1) C. f ?1 ( x ) = 2 x + 1( x > 2 )

B. f ?1 ( x ) = 2 x +1 ( x > 1) D. f ?1 ( x ) = 2 x +1 ( x > 2 )

? x + x2 ? 2 8.已知二次函数 f ( x ) = ax + bx + c ,如果 f ( x1 ) = f ( x2 ) (其中 x1 ≠ x2 ),则 f ? 1 ?= ? 2 ?
( ) A. ? b 2a 9.在 ? ABC 中,若 A. 150
o

B. ? b a

C. c

D. 4ac ? b 4a

2

( c + b + a )( c + b ? a ) = 3bc ,则 A = (
B. 120
o

) .
o

C. 60

o

D. 30

10 . 若 f ( n ) 为 n 2 + 1 ( n ∈ N *) 的 各 位 数 字 之 和 , 如 : 142 + 1 = 197 , 1 + 9 + 7 = 17 , 则

f (14 ) = 17 ;记 f1 ( n ) = f ( n ) , f 2 ( n ) = f ( f1 ( n ) ) , L , f k +1 ( n ) = f ( f k ( n ) ) , k ∈ N * ,则
f 2010 ( 8 ) = (
A. 5 ) B.8 C.11 D. 14

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题( ) 11. 4 sin15° cos15° = ;

12.若函数 y = 3 4 ? x 2 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于________; 13.函数 y = m 2 +

1 的值域为 m2 + 1



14.已知两点 M ( 3, 2 ) , N ( ?3, ?5 ) , MP = ?2 MN ,则 P 点坐标是

uuur

uuuu r



15.已知 f ( x ) 、 g ( x ) 都是奇函数, f ( x ) > 0 的解集是 ( 4,10 ) , g ( x ) > 0 的解集是 ( 2,5 ) ,则

f ( x ) ? g ( x ) > 0 的解集是



小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 16. 本题满分 13 分) ( 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 = 2 , S5 = 15
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(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn = 2an ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 T6 的值.

17. 本题满分 13 分) ( 已知函数 f ( x) = 2 cos x ? sin( x + π ) ? 3 sin 2 x + sin x ? cos x . 3 (I)求 f ( x ) 的值域;
r (II)将函数 y = f ( x) 的图像按向量 a = ( π , 0) 平移后得到函数 y = g ( x ) 的图像,求 g ( x ) 的 6

单调递增区间.

18. 本题满分 13 分) ( 在一次口试中,考生从 10 道题中随机抽题进行回答,某考生会回答 10 道题中的 6 道题. (Ⅰ)若抽出 1 道进行回答,答对就通过考核,求考生通过考核的概率;
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(Ⅱ)若抽出 3 道进行回答,答对了其中 2 道就获得及格,求考生获得及格的概率.

19. 本题满分 12 分) ( 已知关于 x 的不等式: ax ? 2 > 1 x ?1 (Ⅰ)若 a = 3 ,解该不等式; (Ⅱ)若 a > 0 ,解该不等式.

20. 本题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) = x 4 ? 3 x 2 + 6 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y = f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程.

21. 本题满分 12 分) ( 设 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , 当 x < 0 时 , f ( x ) > 1 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y , 有

f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) .
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(Ⅰ)求 f ( 0 ) ,判断并证明函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)数列 {an } 满足 a1 = f ( 0 ) ,且 f ( an +1 ) = ①求通项公式 an 的表达式; ② 令 bn = ( 1 ) an , S n = b1 + b2 + b3 + ? ? ? + bn , Tn = 1 + 1 + ? ? ? + 1 , 试 比 较 a1 a2 a2 a3 an an +1 2

1 ( n ∈ N *) f ( ?2 ? a n )

Sn与 4 Tn 的大小,并加以证明. 3

重庆八中高 2011 级高三(上)第三次月考
数学参考答案(文科)
小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 选择题( 项是符合题目要求的) 项是符合题目要求的)

r 1.C 提示:单位向量是指模为 1 的向量,而 c = 12 + 12 = 2 .
2.B 提示:由余弦和角公式知 cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β 3.D 提示:由辅助角公式得 f ( x ) = 2sin x ? π ,故最大值为 2 . 3 4.A 提示:令 a = ?2, b = 1 可以排除 B 、 C ,令 a = ?1, b = 2 可以排除 D.

(

)

5.A 提示:题目给出的是导函数的图像,先由导函数取值的正负确定函数的单调性,然后列表可 判断函数极小值点的个数.

? 2 6.B 提示: ? x 2 ? 1 < 0 ? ?1 < x < 1 ? 0 < x < 1 . 0< x<3 ? x ? 3x < 0
7.C 提示:由 y = log 2 ( x ? 1)( x > 5 ) ? y > 2, x = 2 y + 1 ,故反函数为 f ?1 ( x ) = 2 x + 1( x > 2 ) .

{

x + x2 8.D 提示: f ( x1 ) = f ( x2 ) 表明 x1 与 x2 关于对称轴 x = ? b 对称,即 1 = ? b ,所以 2a 2 2a

? x + x2 f? 1 ? 2
9 . C

? 4ac ? b 2 . ?= 4a ?
提 示 :

( b + c + a )( c + b ? a ) = 3bc ? b2 + c 2 ? a 2 = bc

, 由 余 弦 定 理 得

2 2 2 cos A = b + c ? a = 1 ,所以 A = 60° . 2bc 2

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10.B 提示:Q 82 + 1 = 65, 6 + 5 = 11 ,∴ f1 ( 8 ) = f ( 8 ) = 11 ;

Q112 + 1 = 122,1 + 2 + 2 = 5 ,∴ f 2 ( 8 ) = f ( f1 ( 8 ) ) = f (11) = 5 ;
∴ 52 + 1 = 26, 2 + 6 = 8 ,∴ f3 ( 8 ) = f ( f 2 ( 8 ) ) = f ( 5 ) = 8 ;
由此知数列 { f n ( 8 )} 以 3 为周期,所以 f 2010 ( 8 ) = f 3 ( 8 ) = 8 .

小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题( ) 11. 1 提示: 4 sin15° cos15° = 2 sin 30° = 1 . 12.6 提示: x 2 = 0 时 y 取得最大值 M = 6 , x 2 = 4 时, y 取得最小值 m = 0 . 13. [1, +∞ ) 提示: y = m 2 + 所以值域为 [1, +∞ ) .

1 = ( m 2 + 1 ) + 1 ? 1 ≥ 2 ? 1 = 1 ,当 m = 0 时等号成立, m +1 m2 + 1
2

uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur 14. (15,16 ) 提示: MP = ?2 MN ? OP = 3OM ? 2ON = (15,16 ) .

15. ( ?5, ?4 ) U ( 4,5 )

提示: Q f ( x ) , g ( x ) 均为奇函数,∴ f ( x ) < 0 的解集是 ( ?10, ?4 ) ,
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

g ( x ) < 0 的解集是 ( ?5, ?2 )

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

f ( x ) ? g ( x ) > 0 可化为: f ( x) > 0 或 f ( x) < 0 ,即 4 < x < 10 或 ?10 < x < ?4 g ( x) > 0 g ( x) < 0 2< x<5 ?5 < x < ?2

{

{

{

{

∴ x ∈ ( ?5, ?4 ) U ( 4,5 ) .

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题(

16. 本题满分 13 分) ( 【解答】 (I)设 {an } 的公差为 d ,则 ? S5 = 5a1 + 5 × 4 d = 15

?a2 = a1 + d = 2 ? ? ? 2

……3 分

解得:

{a ==11 d
1

……5 分

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∴ an = n
(II) bn = 2 ,
n

……7 分 ……9 分



bn +1 = 2 知 {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, bn
2[1 ? 26 ] = 126 1? 2
……13 分

∴T6 =

17. 本题满分 13 分) (
3 【解答】 f ( x) = 2 cos x( 1 sin x + cos x) ? 3 sin 2 x + sin x ? cos x 2 2

= 2 sin x cos x + 3(cos 2 x ? sin 2 x) = sin 2 x + 3 cos 2 x = 2 sin(2 x +

……3 分 ……5 分 ……7 分 ……9 分 ……12 分 ……13 分

π
3

)

(I) f ( x ) 的值域为 [?2, 2] (II)由题可知: g ( x) = 2 sin(2( x ? π ) + π ) = 2 sin 2 x , 6 3

∴ 2k π ? π ≤ 2 x ≤ 2k π + π ,解得, k π ? π ≤ x ≤ k π + π
2 2 4

4

所以 g ( x ) 的单调递增区间为 ? k π ? π , k π + π ? ( k ∈ Z ) ? 4 4? ? ?

18. 本题满分 13 分) ( 【解答】 (Ⅰ)事件 A = “抽 1 道回答,通过考核”即是“从 10 道题中抽出一道,恰是考生会答 的题” ,根据等可能事件概率知,该事件的概率 P ( A ) = 6 = 3 . 10 5 ……6 分

(Ⅱ)由题意知,事件 B = “抽 3 道,获得及格”即是“10 道题中随机抽出 3 道题,至少答 对 2 道” ,所求概率 P ( B ) =
2 1 3 C6 C4 + C6 3 C10

=2 3

……13 分

19. 本题满分 12 分) ( 【解答】 (Ⅰ)当 a = 3 时,原不等式即:

3x ? 2 > 1 ? 2 x ? 1 > 0 ? x < 1 或 x > 1 x ?1 x ?1 2
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……4 分

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(Ⅱ)当 a > 0 时,原不等式可化为:

( a ? 1) x ? 1
x ?1

>0
……5 分

(1)当 a = 1 时,原不等式的解集为 { x | x < 1}

x? 1 a ? 1 > 0 ,Q 1 ? 1 = 2 ? a (2)当 a > 1 时,原不等式可化为 x ?1 a ?1 a ?1
①当 1 < a < 2 时,原不等式的解集为 x | x < 1或x > 1 ; a ?1 ②当 a = 2 时,原不等式的解集为 { x | x ≠ 1} ③当 a > 2 时,原不等式的解集为 x | x < 1 或x > 1 a ?1

{

}

{

}

……10 分

x? 1 a ? 1 < 0 ,Q 1 < 1 (3)当 0 < a < 1 时,原不等式可化为 x ?1 a ?1
∴ 原不等式的解集为 x | 1 < x < 1 a ?1
20. 本题满分 12 分) (

{

}

……12 分

? 6 ?? 6? 【解答】 (Ⅰ) f ' ( x ) = 4 x 3 ? 6 x = 4 x ? x + ?? x ? 2 ? 2 ?? ? ?
当 x ∈ (?∞, ?

……2 分

6 6 ) 或 x ∈ (0, ) 时, f '( x) < 0 ; 2 2

当 x ∈ (?

6 6 , 0) 或 x ∈ ( , +∞) 时, f '( x) > 0 2 2
6 6 ) 、 (0, ) 是减函数, 2 2 2
……4 分 ……6 分

因此, f ( x ) 在区间 (?∞, ?

f ( x) 在区间 (? 6 , 0) 、 ( 6 , +∞) 是增函数.
2
(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , f ( x0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为

y = f '( x0 ) x
因此 即 整理得

f ( x0 ) = x0 f '( x0 ) ,
4 2 3 x0 ? 3 x0 + 6 ? x0 (4 x0 ? 6 x0 ) = 0 2 2 ( x0 + 1)( x0 ? 2) = 0

……8 分

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解得

x0 = ? 2



x0 = 2


……10 分

因此切线 l 的方程为

y = ?2 2 x

y = 2 2x .

……12 分

21. 本题满分 12 分) ( 【解答】 (Ⅰ)令 x = ?1 , y = 0 得 f ( ?1) = f ( ?1) f ( 0 ) , 又 f ( ?1) > 0 ,∴ f ( 0 ) = 1 ……2 分

Q x < 0 时, f ( x ) > 1 ,∴ x > 0 时, f ( ? x ) > 1 ,此时 f ( x ) = ∴对 x ∈ R , f ( x ) > 0 .
设 x1 > x2 ,

1 >0 f (?x)
……3 分

f ( x2 ) f ( x1 )

=

f ? x1 + ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? ?= = f ( x2 ? x1 ) > 1 f ( x1 ) f ( x1 )
……5 分

即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,故 f ( x ) 在 R 是减函数. (Ⅱ)由 f (an +1 ) =

1 ? f (an +1 ) f (?2 ? an ) = 1 ? f ( an +1 ? 2 ? an ) = f ( 0 ) f (?2 ? an )

而 f ( x ) 单调,∴ an +1 ? 2 ? an = 0 ,即 an +1 = an + 2 ( n ∈ N *)

∴ {an } 是以 2 为公差的等差数列,Q a1 = 1 ,∴ an = 2n ? 1 (n ∈ N *) .……8 分
故 bn = 1 2

()

an

= 21? 2 n , {bn } 是以 1 为首项, 1 为公比的等比数列. 2 4

1 ?1 ? 1 ? ? 2? ? ? 4n ? 2 ? ∴ Sn = = ?1 ? 1 ? n 3? 4 ? 1? 1 4
Q

1 = 1 1 ? 1 =1 ( n ∈ N *) an an +1 ( 2n ? 1)( 2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

(

)

1 ? 1 ? = 1 1? 1 ∴ Tn = 1 ? 1 ? 1 + 1 ? 1 + L + 2? 3 3 5 2n ? 1 2n + 1 ? 2 2n + 1 ? ?

( ) (

)

(

? ? 要比较 Sn = 2 ? 1 ? 1 ? 与 4 Tn = 2 1 ? 1 的大小,只要比较 4n 和 2n + 1 的大小. n 3? 3 3 2n + 1 4 ?
n Q 4n = (1 + 3) > 1 + 3n > 1 + 2n ,∴ S n > 4 Tn . 3

(

)

) (

)

……10 分

……12 分

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