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1.2.1三角函数线(第二课时)


1.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y y tan ? ? 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0) (3) 叫做
x
x
y

﹒ ? P ? x, y
?
O
A?1,0 ? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? r y y ③ x 叫做? 的正切,即 tan ? ? ? x ? 0 ? x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos ? tan ?

sin ?

R
? ? ? ? ? ? ? k ? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?

R

2.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( + ) o x ( - )( + ) cos ?

y ( -) (+ ) o x ( +) ( - ) tan ?

你记住了吗?

弧 度
sin ?

0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

? ? 2? 3? 5? ? ? 0
6
1 2
3 2 3 3

4 3
1 2
3 2

2

3 4 6
3 2

?

3? 2

2?

cos ?
tan ?

0 1 0

2 2 2 2

1 0

1 ? 2

1

3

? 3

?1

1 2 2 2 2 3 ? ? 2 2 3 ? 3

0 ?1 0 ?1 0 1 0 0

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到 2?

?或 0?到360? ? 角的三角函数值 .

前面我们学习了三角函数的坐标法定义,
三角函数在各象限内的符号,学习了任意角 的三角函数。 由三角函数的定义我们知道,对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的, 或者说是用数来表示的,今天我们再来学习

正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法—
—几何表示法

(二)单位圆、有向线段的概念
1.单位圆的概念
一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆, 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). 而与y轴的交点分别为

B(0,1),B’(0,-1).

2. 有向线段的概念:
带有方向的线段叫有向线段 ; 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上,|OA|=3,|OB|=3
OA =3

OB =-3
x O A

B

问题2:若将线段加上方向,会怎样? 什么是有向线段? * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相 同.即同向时,数量为正;反向时,数量为 负.

请你用几何中的方法表示三角函数. y y P(x,y) P(x,y) o

?
M

?
x

M

o

x

sin ? ? MP cos? ? OM
MP 叫做正弦线,OM 叫做余弦线。

怎样表示正切函数?

y

y
T

P(x,y)

?
o

P(x,y)

?

?

o
A x

?A
T

x

tan ? ? AT

AT叫做正切线。

y

三角函数线
α

α的终边 P
T

x O
M A(1,0)

有向线段MP称为角?的正弦线, 即: sin ? ? MP 有向线段AT 称为角?的正切线, 即: tan ? ? AT

有向线段MP称为角?的余弦线, 即: cos? ? OM

终边落在第二象限
α的终边 P y

sin ? ? MP
α
M

x
A(1,0)

cos ? ? OM tan ? ? AT

O

T

终边落在第三象限
y
T

sin ? ? MP
x
A(1,0)

M

α O

cos ? ? OM tan ? ? AT

P

α的终边

终边落在第四象限
y

α

sin ? ? MP
M A(1,0)

O
P
T

x

cos ? ? OM tan ? ? AT

α的终边

α的终边 P
M

y

三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α

α

O y

O

M A(1,0)

x

sin ? ? MP cos ? ? OM tan ? ? AT

y
T

M

α
O

x
A(1,0)

α O

M

A(1,0)

P
α的终边

x P
T

α的终边

(四)练习
例1.分别作出

2? 3

3? 、 ? 4

2? ? 、 3

的正弦线、

余弦线、正切线。

例2 利用单位圆中的三角函数线, 求满足下列条件的角x的集合:
在0~2π之间满足条件的角x的终边 必须在图中阴影部分内(包括边界), 即Π/3≤x≤2Π/3,故满足条件的角 x的集合为﹛x▏2k k∈z﹜ 在0~2π之间满足条件的角x的终边 应在图中阴影部 分(不包括边界), 即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故满 足条件的角x的集合为 ﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6, k∈z﹜

例3.比较大小:

(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解:由三角函数线得 sin1<sin1.5

cos1>cos1.5

tan2<tan3

(五)小结
1. 给定任意一个角α,都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 : 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段; 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段; 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上,为有向线段 AT



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