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从一个三角形不等式谈起


中学数 学研 究 

2 0 0 9年第 6期 

从 一个 三角 形不 等 式谈 起 
咸 阳师范学院基础教育课程研究 中心  ( 陕西, 7 1 2 0 0 0 )   安振 平 
在 △A BC 中 , 有 常 见 的不 等 式 s i n A- I -s i n B+  

1 , 便得 (   +Y ) ( Y+  ) (  +  )≥ 8   / 3 , ( 4 ) .  

s i n c≤  

, ( 1 ) .  

由 于 不 等 式 £ ÷  ≥ (   )   , 得  +  ≥  
(   +y )  , 同理 ) ,  +   ≥   ( y十  )  ,   4 "  ̄ f n ≥ 

约定 : AA B C的三边 长为 0 , b , c , 半周 长为 s , 面  积 为 △, 外 接 圆和 内接 圆的半 径分别 为 R和 r .   对不 等式 ( 1 ) , 利用 正弦定 理 , 得 a+b+C≤  
3   , ( 2 ) .   注 意到三 角形 面积公式 △ =   a b c 即  =‘ a   b c 代 


( z +  )   . 将这 三个不等 式 , 叠乘, 得(   + Y   ) ( y n  

+z “ ) (   +   )≥   j[ (  +Y ) ( Y+  ) (  +  ) ]   , 注 
意到不 等式 ( 4 ) , 就有 (   +Y   ) ( Y   +  ) ( z   +  ) ≥  



c 人不等 式 ( 2 ) , 得 。+6+c≤ 3  ̄ab 4 △


即 。 6 c≥ 

( 。+b+  ) △, 应 用三 元不等式 , 得。 6 。≥ — 4 . = = .   3 , / 3   3 √ 3 l  
3   . △, 4 0 ( 。 b 。 ) 丁 2≥  


8 (  “ ' ( 5 ) .  
这样 , 我们 就编 拟 出 了《 数学 通报 ) > 2 0 0 8年 9月  
刊问题 1 7 5 3 题: 若 , y , z∈R, 且x y z ( x+Y+z )=1 .   ( 1 )求 (   +Y ) ( Y+z ) (  +  )的最 小值 ;   ( 2 ) 求(   + Y   ) ( Y “ +  ) (  +  “ ) 的最小 值 ( n  
∈ N  ) .  

( 3 ) .  

4 3 "  

再 用三角形 的面 积公 式 , 得( 口 b c ) 丁 2≥  

4 S 


由此 可知 , 一 些 新 的代 数 不 等 式 问题 , 其 生 成  的根源可 能是某 些常见 的三 角形不 等式.  

c:   +y , 贝 0   s=   +Y+  ,  一a =  , s—b=Y ,  

s —c=z   于是 , 不 等式 ( 3 ) 等价 于 [ (  + Y ) ( Y+ z ) (  

] 手 ≥ 寺  

可' △  (   + , ,  =  
“— -   *— ‘ 卜 一— ? 卜 “—卜 ”— - 卜 一— — 卜 *— ? 卜 “— - 卜 -+ ”+ “+ -+ -- +-”+ 一+ ” + 一+ -+ 一+ …-  ̄ - + ? ? + - ? + 一+ ? ? + -- 4-一十  

{ b   } 的? 实际上, 由n  : ÷n   + n - 4 , ①. 可设n  

小结  迭代法 、 累加 法 、 待 定系数法 、 数学 归纳  法是 求  =P  一 。 + . 厂 ( n ) ( n≥ 2 ) ( P为非 0 且非 1 常 
数 )型递推 数列 通项 公 式 的常 用方 法. 方 法选 择 不  可厚此 薄彼 , 要视. 厂 ( n )的具 体情 况而 定. 因为迭 代 

+   ( n + 1 ) + Y= ÷( 0   + x n + y ) , 整 理得。  =  
n  一

累 加法都 涉及 到无 法 回避 的求 和 问题 , 若求 和易  } 凡 一 (   +  ) , ② . 将 ① ② 比 较 系 数 , 得   法、

晦 
1 ) + 2 1 ] , 则 ③ 式可以化为 
研 究数 列 { b   } 特征.  

…-   n +  


于解决 , 则可 以选择 此法 , 否则可 尝试待 定系数 法或  数学归 纳法解 决 , 从 而规 避求和. 建议 老师给学 生讲  生展示 思维过 程 , 并 帮助 学生 能够 根 据不 同 的. 厂 ( n )   选择最 优方法 . 若教 师隐 匿思维 过程 , 直 接抛 给学生  正确答案 , 则学生的感受就是 : 教师一讲就明 白, 自   己一做 就糊涂. 教师要 使学 生达 到两个不 同层 面 : 第 


解时 , 四种方法 都要 给 出 , 使 学生 耳 熟 能详 , 要 给 学 

1 ) + 2 1=÷( n   一 3 n + 2 1 ) , ③ . 若令b  =( 一  
1 )  ( a  一3 n+2 1 ) , 贝 0   b   + l: ( 一1 )   [ a   +  一3 ( n+  

=   ?  

,  

知识 层 面 : 使 学生 知 道有 四种 常 用 方法求  :   1 常数 ) 型递 推 

pT n 一 。+ , ( n ) ( n≥ 2 ) ( P为非 0且非

即 数 列{ b   } 有着 递推 关系: 6 川= 一 ÷6   , 进 而可以  

数 列通项 公式 ; 第二 , 能力层 面 : 使 学生有 迅速 、 果 断  选 择一 种恰 当方法求 数列通 项公 式的能 力.  



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