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上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


上海市宝山区顾村中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、填空题(每题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)2 和 6 的等差中项是.

2. (3 分)计算:

=.

3. (3 分)2

+3

=.
2

4. (3 分)已知数列{an}前 n 项和 Sn=2n +n,则数列{an} 通项公式为. 5. (3 分)已知 a1=2,an+1=2an+3,则 a3=. 6. (3 分)不等式 >0 的解集为.

7. (3 分)已知 =(2,0) ,| |=3, , 的夹角为 60°,则|2 ﹣ |=.

8. (3 分)已知向量 =(x,2) , =(﹣3,﹣5) , 与 的夹角为钝角,则 x 的取值范围为.
n

9. (3 分)已知数列{an}为等比数列,且前 n 项和 Sn=5 +t(t 为实数) ,则 t=. 10. (3 分)观察如图数表,根据数表中的变化规律,2013 位于数表中的第行,第

列.

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)数列 3,7,13,21,31,…的一个通项公式是() 2 2 A.an=4n﹣1 B.an=n +n+1 C.an=2+2n﹣n

D.an=n(n ﹣1)

2

12. (4 分)向量 =(﹣3,4) , =(﹣8,﹣6) ,则 , 关系为()

A.垂直

B.同向平行

C.反向平行

D.共线

13. (4 分)已知数列{an}满足 an=1+ + +…+ A.1 B. k

,则 ak+1﹣ak 共有()项. C.2k D.2k+1 Sn= ,那么 a1 的取值范围

14. (4 分)在等比数列{an}中,a1>1,且前 n 项和 Sn 满足 是() A.(1,+∞)

B.(1,4)

C.(1,2)

D.(1,



三、解答题(满分 54 分) 15. (8 分)解关于 x、y 的二元一次方程组 ,并对解的情况进行讨论.

16. (8 分)已知数列{an}为等差数列,满足:a3a7=﹣16,a4+a6=0,求数列{an}的通项公式. 17. (8 分)已知 =(m﹣2) +2 , = +(m+1) (其中 、 分别为 x、y 轴正方向的单 位向量) (1)若 m=2,求 、 的夹角; (2)若( + )⊥( ﹣ ) ,求实数 m 的值. 18. (10 分)已知数列{an}中,an>0(n∈N ) ,它的前 n 项和 Sn.如果{an}是一个首项为 a, 公比为 q(q>0)的等比数列,且 Gn=a1 +a2 +a3 +…+an (n∈N ) ,求
2 2 2 2 * *



19. (10 分)已知| =m +n

|=|

|=1,



的夹角为 120°,



的夹角为 30°,|

|=5 且

,求实数 m、n 的值.

20. (10 分)已知数列{

}的前 n 项和 Sn.

(1)计算 S1、S2、S3、S4; (2)猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法证明;

(3)对于任意的正整数 n 都有 Sn<m,求实数 m 的取值范围.

上海市宝山区顾村中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)2 和 6 的等差中项是 4. 考点: 等差数列. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等差中项公式求解即可. 解答: 解:依据等差中项定义,易知 ,即 2 和 6 的等差中项是 4.

故答案为:4. 点评: 本题考查等差数列的应用,等差中项的求法,基础题.

2. (3 分)计算:

=2.

考点: 数列的极限. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 直接利用分式的法则与分母同除 n ,然后利用数列极限的运算法则求解即可.
2

解答: 解:

=

=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查数列的极限的求法,基本知识的考查.

3. (3 分)2

+3

=



考点: 专题: 分析: 解答: 2

矩阵变换的性质. 矩阵和变换. 直接利用矩阵的运算法则求解即可. 解:依据矩阵的线性运算法则,可得 +3 = + = .

故答案为:



点评: 本题考查矩阵的运算法则的应用,基本知识的考查. 4. (3 分)已知数列{an}前 n 项和 Sn=2n +n,则数列{an} 通项公式为 an=4n﹣1. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 根据数列{an}的前 n 项和 Sn,表示出数列{an}的前 n﹣1 项和 Sn﹣1,两式相减即可求 出此数列的通项公式,然后把 n=1 代入也满足,故此数列为等差数列,求出的 an 即为通项公 式. 解答: 解:当 n≥2 时,有 an=Sn﹣Sn﹣1=2n +n﹣2(n﹣1) ﹣(n﹣1)=4n﹣1; , 而 a1=S1=3 适合上式, 所以:an=4n﹣1. 故答案为:an=4n﹣1. 点评: 本题考查数列通项公式的求法,解题时要注意递推公式 的灵活运用. 5. (3 分)已知 a1=2,an+1=2an+3,则 a3=17. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接代入递推关系式求出结果. 解答: 解:已知 a1=2,an+1=2an+3 则:a2=2a1+3=7, a3=2a2+3=17 故答案为:17 点评: 本题考查的知识要点:利用递推关系式求数列的各项的值.
2 2 2

6. (3 分)不等式

>0 的解集为(﹣∞,﹣3)∪( ,+∞) .

考点: 二阶行列式的定义;其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 利用行列式的性质与一元二次不等式的解法即可得出. 解答: 解: =(2x﹣3) (x+1)﹣3×6=2x ﹣x﹣21>0,解之得 . .
2

或 x<﹣3.

∴不等式的解集为(﹣∞,﹣3)∪ 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪

点评: 本题考查了行列式的性质与一元二次不等式的解法,属于基础题.

7. (3 分)已知 =(2,0) ,| |=3, , 的夹角为 60°,则|2 ﹣ |= 考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积运算和性质即可得出. 解答: 解:∵ =(2,0) , ∴ .



又∵| |=3, , 的夹角为 60°, ∴ = = = =3. = .

∴|2 ﹣ |=

故答案为: . 点评: 本题考查了向量的数量积运算和性质,属于基础题.

8. (3 分)已知向量 =(x,2) , =(﹣3,﹣5) , 与 的夹角为钝角,则 x 的取值范围为(﹣ ,﹣ )∪( ,+∞) .

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 <0,且 与 不共线,可得 ,由此求得 x 的范围.

解答: 解:∵向量 =(x,2) , =(﹣3,﹣5) , 与 的夹角为钝角,∴ 不共线, 所以有 ,解之 x∈(﹣ ,﹣ )∪( ,+∞) ,

<0,且



故答案为: (﹣

,﹣ )∪( ,+∞) .

点评: 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角,两个向量共线的性质,两 个向量坐标形式的运算,属于基础题. 9. (3 分)已知数列{an}为等比数列,且前 n 项和 Sn=5 +t(t 为实数) ,则 t=﹣1.
n

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 当 n≥2 时,易得 an=4×5 ,当 n=1 时,a1=5+t,由题意当 n=1 时,an=4×5 立,代入可得 t 的方程,解方程可得. 解答: 解:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 n n﹣1 n﹣1 =(5 +t)﹣(5 +t)=4×5 , 当 n=1 时,a1=S1=5+t, ∵数列{an}为等比数列, n﹣1 ∴当 n=1 时,an=4×5 也应成立, 1﹣1 ∴4×5 =5+t,解得 t=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和公式,涉及分类讨论的思想,属基础题. 10. (3 分)观察如图数表,根据数表中的变化规律,2013 位于数表中的第 45 行,第 77
n﹣1 n﹣1

也应成

列. 考点: 等差数列的通项公式;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由数表中的变化规律, 知第 n 行有 2n﹣1 个连续自然数, 1+3+5+…+ (2×45﹣1) =2025, 1+3+5+…+(2×44﹣1)=1936,由此能求出结果. 解答: 解:由数表中的变化规律,知第 n 行有 2n﹣1 个连续自然数, ∵1+3+5+…+(2×45﹣1)= 1+3+5+…+(2×44﹣1)= =2025, =1936,

2013﹣1936=77, ∴2013 位于数表中的第 45 行,第 77 列. 故答案为:45,77. 点评: 本题考查数列的应用,解题时要认真审题,是基础题. 二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)数列 3,7,13,21,31,…的一个通项公式是() 2 2 A.an=4n﹣1 B.an=n +n+1 C.an=2+2n﹣n

D.an=n(n ﹣1)

2

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于 a2﹣a1=7﹣3=4,a3﹣a2=13﹣7=6,a4﹣a3=8,a5﹣a4=10,…,利用 an=a1+(a2 ﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)即可得出. 解答: 解:∵a2﹣a1=7﹣3=4,a3﹣a2=13﹣7=6,a4﹣a3=8,a5﹣a4=10,…,

∴an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1) =3+4+6+…+2n =1+ =n +n+1,n=1 时也成立. 故选:B. 点评: 本题考查了“累加求和”与等差数列的前 n 项和公式,属于基础题.
2

12. (4 分)向量 =(﹣3,4) , =(﹣8,﹣6) ,则 , 关系为() A.垂直 B.同向平行 C.反向平行 D.共线

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积求解即可,也可以直接判断选项推出结果. 解答: 解:因为向量 =(﹣3,4) , =(﹣8,﹣6) ,则 ? =24﹣24=0,所以 A 正确. 快速排除 B,C,D,语义重复,选择 A. 故选:A. 点评: 本题考查斜率的数量积的应用,向量平行条件的应用,基本知识的考查. 13. (4 分)已知数列{an}满足 an=1+ + +…+ A.1 B. k ,则 ak+1﹣ak 共有()项. C.2k D.2k+1

考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 写出 ak+1 与 ak 即可推出结果. 解答: 解:由于 ak=1+ + +…+ 从而可得 ak+1﹣ak= + ,ak+1=1+ + +…+ , + + +…+ ,

+ …+

所以 ak+1﹣ak 共有 2k+1 项. 故选:D. 点评: 本题是数学归纳法证明的一部分,基本知识的考查. 14. (4 分)在等比数列{an}中,a1>1,且前 n 项和 Sn 满足 是() A.(1,+∞) Sn= ,那么 a1 的取值范围

B.(1,4)

C.(1,2)

D.(1,



考点: 极限及其运算. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 在等比数列{an}中, 能够推导出 a1 的取值范围. 解答: 解:由题意知
2

Sn=

,由题意可知



=

,再由 a1>1,|q|<1

Sn=

=



∴a1 =1﹣q, 2 ∵a1>1,|q|<1,∴1<a1 <2, ∴ .

故选 D. 点评: 本题考查数列的极限及其应用,解题时要注意掌握极限的逆运算. 三、解答题(满分 54 分) 15. (8 分)解关于 x、y 的二元一次方程组 ,并对解的情况进行讨论.

考点: 线性方程组解的存在性,唯一性. 专题: 计算题. 分析: 先根据方程组中 x,y 的系数及常数项计算计算出 D,Dx,Dy,下面对 m 的值进行分 类讨论: (1)当 m≠﹣1,m≠1 时, (2)当 m=﹣1 时, (3)当 m=1 时,分别求解方程组的解即 可. 解答: 解: , ,…(各(1 分)共 3 分) ,

(1)当 m≠﹣1,m≠1 时,D≠0,方程组有唯一解,解为

…( (2 分) ,其中解 1 分)

(2)当 m=﹣1 时,D=0,Dx≠0,方程组无解;…(2 分) (3)当 m=1 时,D=Dx=Dy=0,方程组有无穷多组解,此时方程组化为 令 x=t(t∈R) ,原方程组的解为 ,

(t∈R) .…( (2 分) ,没写出解扣 1 分)

点评: 本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性,唯一性、二 元方程的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题. 16. (8 分)已知数列{an}为等差数列,满足:a3a7=﹣16,a4+a6=0,求数列{an}的通项公式. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 利用等差数列的性质结合已知求解 a3 和 a7 的值,进一步求得公差,代入等差数列的 通项公式得答案. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列,且满足 a4+a6=0, 根据等差数列的性质,得 a3+a7=0,又 a3a7=﹣16, ∴ 或 ,



时,

=

,此时数列的通项公式为 an=﹣2n+10;



时,

=

,此时数列的通项公式为 an=2n﹣10.

点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础的计算题.

17. (8 分)已知 =(m﹣2) +2 , = +(m+1) (其中 、 分别为 x、y 轴正方向的单 位向量) (1)若 m=2,求 、 的夹角; (2)若( + )⊥( ﹣ ) ,求实数 m 的值.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)当 m=2 时可得 =(0,2) , =(1,3) ,由夹角公式和反三角函数可得; (2)由题意易得 + =(m﹣1,m+3) , ﹣ =(m﹣3,1﹣m) ,由垂直可得( + )?( ﹣ )=0,解 m 的方程可得. 解答: 解: (1)当 m=2 时, =(0,2) , =(1,3) , 设 、 的夹角为 θ, ∴cosθ= = = ,

∴θ=arccos



(2)∵ =(m﹣2,2) , =(1,m+1) , ∴ + =(m﹣1,m+3) , ﹣ =(m﹣3,1﹣m) ,

由( + )⊥( ﹣ )可得( + )?( ﹣ )=0, 代入数据可得(m﹣1) (m﹣3)+(m+3) (1﹣m)=0, 解得 m=1 点评: 本题考查平面向量的数量积和垂直关系,涉及向量的夹角和反三角函数,属基础题. 18. (10 分)已知数列{an}中,an>0(n∈N ) ,它的前 n 项和 Sn.如果{an}是一个首项为 a, 公比为 q(q>0)的等比数列,且 Gn=a1 +a2 +a3 +…+an (n∈N ) ,求
2 2 2 2 * *



考点: 数列的极限;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 数列{ }亦为等比数列,且首项为 ,公比为 q ,分类讨论,根据等比数列的求
2

和公式求得

的值,再利用数列极限的运算法则求得

的值.
2

解答: 解:易知数列{

}亦为等比数列,且首项为
2 2 2 2 2

,公比为 q .

(1)当 q=1 时,Sn =na1=na,Gn=a1 +a2 +a3 +…+an =na ,∴

=

= .

(2)当 q≠1 时,

=

=



①当 0<q<1 时,

=

=



②当 q>1 时,

=

=0.

综上可得,当 q=1 时,

= ;当 0<q<1 时,

=

;当 q>1 时,

=0.

点评: 本题主要考查等比数列的求和公式的应用,数列极限的运算法则的应用,体现了分 类讨论的数学思想,属于基础题.

19. (10 分)已知| =m +n

|=|

|=1,



的夹角为 120°,



的夹角为 30°,|

|=5 且

,求实数 m、n 的值.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 O 为原点建立直角坐标系,求出 组,即可求出 m,n 的值. 解答: 解:如图所示建立直角坐标系,则 = 由于 =m +n , , =(1,0) , = , 、 、 向量,利用 =m +n 列出方程

所以有:

,解之



故答案为:m=5,n﹣5.

点评: 本题考查向量在几何中的应用,正确建立坐标系能够使解答运算简便. 20. (10 分)已知数列{ }的前 n 项和 Sn.

(1)计算 S1、S2、S3、S4; (2)猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法证明; (3)对于任意的正整数 n 都有 Sn<m,求实数 m 的取值范围. 考点: 数学归纳法;数列的求和. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)利用条件,代入计算,可得 S1、S2、S3、S4; (2)猜想 Sn 的表达式,运用数学归纳法证明步骤进行证明; (3)Sn= = (1﹣ ) ,随着 n 增大,Sn 增加,但 Sn< ,即可求实数 m 的取值范围. ,S4= ;

解答: 解: (1)S1= ,S2= ,S3=

(2)由(1)可以猜想 Sn= ①当 n=1 时,显然成立; ②假设 n=k,Sk= , + = = ,

当 n=k+1 时,Sk+1=Sk+ak+1= 说明 n=k+1 时,猜想也成立; 综合①②,猜想 Sn= (3)Sn= 数 n 成立, 所以 m≥ 即可. = (1﹣

成立. ) ,随着 n 增大,Sn 增加,但 Sn< ,由于 Sn<m 对任意的正整

点评: 本题考查数列的通项与求和,考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.



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