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平面几何知识点总结


平面几何知识点总结
1.梅涅劳斯定理:若直线不经过?ABC的顶点, l 并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延 BP CQ AR 长线分别交于 、Q、R,则 P ? ? ?1 PC QA RB
2.梅涅劳斯逆定理:设 、Q、R分别是?ABC的 P 三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的 三点, 并且P、Q、R三点中,位于 ABC边上的点的个 ? 数为0或2,这时若 三点共线;
A

BP CQ AR ? ? ? 1,则P、Q、R P C QA RB

3.塞瓦定理:设 、Q、R分别是?ABC的BC、CA、 P AB边上的点,则 、BQ、CR三线共点的充要 AP BP CQ AR 条件是 : ? ? ?1 PC QA RB
B

R M

Q

P

C

4.托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和). 即: 设四边形ABCD内接于圆,则有: AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD;

定理:在四边形 ABCD中,有:AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 并且当且仅当四边形 ABCD内接于圆时,等式成立 ;

5.西姆松定理:若从 ABC外接圆上一点 作BC、 ? P AB、AC的垂线,垂足分别为 、E、F, D、 D 则 E、F三点共线; 6.西姆松的逆定理:从一 P向?ABC的三边(或它们 点 的延长线)作垂线, 若其垂足L、M、N在同一直线上, 则P在?ABC的外接圆上;
1

7.蝴蝶定理:一个圆的弦 的中点P任意引 AB 弦CD和EF,连接DE和CF分别交AB于M、 N,则MP ? NP;

8.欧拉定理:设 ABC的外心、重心、垂心 分别为O、G、H,则O、G、H三点共线, ? GH 且OG ? ; 2

9.费马点:在每个内角都 小于120?的?ABC的 外面,做三个正三角形 BCA'、CAB '、ABC', 则AA'、BB'、CC ' 三线共点。

10.拿破仑三角形:在任意 三角形的外面,各以三 边为边作三个正三角形 ,则此三角形的 中心组成一个正三角形 ,此三角形称为拿破仑 三角形。

11.莫莱恩线:过 ABC三个顶点A、B、C作其外接圆的切线,分 ? 别和BC、CA、AB的延 长线交于D、E、F,则D、E、F三点共线。这条直线称 ?ABC的莫莱恩线。 为

12.牛顿定理:设四边形 ABCD的一组对边BA、 CD的延长线交于E,另一组对边AD、BC的 延长线交于F,对角线AC、BD以及线段EF 的中点分别是X、Y、Z,则X、Y、Z三点共线。

2

13.巴斯卡定理:圆内接六 边形ABCDEF(不要 求是凸的)三边对边AB和DE、CD和FA、 EF和BC的交点L、M、N共线。
14. 卜利安香定理:圆外切 六边形ABCDEF 的三条对角线 、BE、CF共点。 AD

15.到三角形三顶点距离之和最小的点――费马点 到三角形顶点距离的平方和最小的点――重心 三角形内到三边距离之和最大的点――重心 16.等周问题: 在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大; 在周长一定的简单闭合曲线的集合中,圆的面积最大; 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小; 在面积一定的简单闭合曲线的集合中,圆的周长最小;

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