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辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期初考试数学(理)试题


辽宁省实验中学分校 2015 届高三上学期期初考试数学(理)试题
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的。 ) 1.已知复数 z ? A. 2 ? i C. ?2 ? i

1 ? 2i ,则它的共轭复数 z 等于( i5

)

B. 2 ? i 2+i D. ?2 ? i )

2.若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ ? a ? 1?? a ? 2 ? ? 0 ”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同 的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 4,函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? A. ? 0,1? 5.

2 ? x ? 0 ? 的零点所在的大致区间是( x
C. ? 2, e ? D. ? 3, 4 ?

)

B. ?1, 2 ?

?

3

y ? x 展开式的第三项为 10,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状为(

?

5

)

6.若函数 f ? x ? ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ? k ? 1, k ? 1? 内不是 单调函数,则实数 k 的取值范 ..
2

围是(

) B. ?1, ?

A. ?1, ?? ?

? 3? ? 2?

C. ?1, 2 ?

D. ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

7.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3 : 2 ,比赛时均能正常发挥技术水平,则在 5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( )

2 2 3 2 2 3 3 3 2 3 2 3 1 B. C3 C. C 4 D. C 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 5 5 3 3 8.将正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各面涂色,任何相邻两个面不同色,现在有 5 种不同的颜色,并且涂好
2 A. C3 ( )3 ?

3 5

了过顶点 A 的 3 个面的颜色,那么其余的 3 个面的涂色方案共有( A.13 B.14 C.15 D.36
5

)种. )

9.若 ? 2 x ? 3? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 等于( A.-10 B.-5 C.5 D.10

3 2 ? ?2 x ? 3x ? 1, x ? 0 10. 若函数 f ? x ? ? ? a x 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 2,则实数 a 的取值范围是( ? ?e , x ? 0





1第

?1 ? A. ? ln 2, ? ?? 2 ? ?

? 1 ? B. ?0, ln 2 ? 2 ? ?

C.

? ??,0?

1 ? ? D. ? -?, ln 2 ? 2 ? ?

11.定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意 x1 , x2 ? R , ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 0 ,若函数 f ? x ? 1? 为奇函 数,则不等式 f ?1 ? x ? ? 0 的解集为( A.(1,+∞) C.(-∞,0) ) B.(0,+∞) D.(-∞,1)

12.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 4 ? ? 1 , f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,已知函数 y ? f ' ? x ? 的图象如图 所示.若两正数 a, b 满足 f ? 2a ? b ? ? 1 ,则

b?2 的取值范围是( a?2

)

?1 1? A.? , ? ?3 2? ?1 ? C.? ,3? ?2 ?

1? ? B.?-∞, ?∪(3,+∞) 2? ? D.(-∞,-3) 第Ⅰ卷 (选择题,共 80 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.满足条件 z ? 1 及 z ? 14. ?1 0

1 3 ? z ? 的复数 z 是__________________ 2 2

4 ? x 2 dx ? ________.

15.为落实素质教育,某市一所高中拟从 4 个重点研究性课题和 6 个一般研究性课题中各选 2 个课题作为 本年度该校启动的课题项目,若重点课题 A 和一般课题 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 k k,那么 二项式 1 ? kx

?

2 6

? 的展开式中 x

4

系数为__________.

16.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

3 a ,类比上述结论,在棱长为 2

a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分。应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本题满 分 12 分)设 命题 p : 函数 f ? x ? ? lg ? ax 2 ? x ?

? ?

1 ? a ? 的 定义域为 R ; 命题 q : 不等式 16 ?

2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立。如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取
值范围。



2第

18. (本题满分 12 分)已知二次函数 f ? x ? ? x ? 2bx ? c ? b, c ? R ? ,满足 f ?1? ? 0 ,且关于 x 的方程
2

f ? x ? ? x ? b ? 0 的两个实根分别在 ? ?3, ?2 ? , ? 0,1? 内。
(1)求实数 b 的取值范围; (2)若 F ? x ? ? log b f ? x ? 在区间 ? ?1 ? c,1 ? c ? 上具有单调性,求实数 c 的取值范围。 19. (本题满分 12 分)在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进 一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投三次。某同学 在 A 处 的 命 中 率 q1 为 0.25 , 在 B 处 的 命 中 率 为 q2 . 该 同 学 选

? ? ? 求 q2 的值;
? ?? ? 求随机变量 ? 的数学期量 E ?? ? ;w.w.w.k.s.5.
u.c.o.m

? ??? ? 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? mx ? sin x , g ( x) ? ax cos x ? 2sin x ? a ? 0 ? (1)若过曲线 y ? f ( x) 上任意相异两点的斜率都大于 0,求实数 m 的最小值; (2)若 m ? 1 ,且对任意 x ? ? 0,

? ?? ,都有不等式 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 a 的取值范围。 ? 2? ?

1 ax ? b . 2 (Ⅰ)若 f ( x) 与 g ( x) 在 x ? 1 处相切,试求 g ( x) 的表达式;

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

(Ⅱ)若 ? ( x) ?

m( x ? 1) ? f ( x) 在 [1,??) 上是减函数,求实数 m 的取值范围; x ?1
1 1 1 1 2n n 1 1 1 ? ? ??? ? ? ?1? ? ??? . ln(n ? 1) 2 n ? 1 ln 2 ln 3 ln 4 2 3 n

(Ⅲ)证明不等式:

(请考生在第 、 23 、 24 三题中任选一题做答, 如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 铅笔在 .....22 . . . . . . . . .......... ....................2B . . ... 答题卡上把所选题目对应题号 下方的方框涂黑。 ) ............. ....... .



3第

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 正方形 ABCD 边长为 2, 以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F , 连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (1)求证: AE ? EB ; (2)求 EF ? FC 的值.
E F A D

B

O

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? 8 ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 点. (p∈R) (Ⅰ)求 A 、 B 两点的极坐标;
? 3 x ?1? t ? ? 2 (Ⅱ)曲线 C1 与直线 ? ( t 为参数)分别相交于 M , N 两点,求线段 MN 的长度. ?y ? 1 t ? 2 ?
? ,曲线 C1 、 C 2 相交于 A 、 B 两 6

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? a , g ? x ? ? x ? 3 。 (1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集; (2)设 a ? ?1 ,且当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围。 ? 2 2?



4第

数学理科答案



a?0 ? ? ?a?2 ? a2 ?? ? 1 ? ? 0 ? 4
所以命题 p 为真等价于 a ? 2 命题 q 为真等价于 a ?

2x ?1 ?1 2 对一切正实数 x 均成立。 ? x 2x ?1 ?1

由于 x ? 0 ,所以 2 x ? 1 ? 1 ,所以 2 x ? 1 ? 1 ? 2 ,所以

2 ?1 2x ?1 ?1

所以命题 q 为真等价于 a ? 1 。 因为命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,所以 p 、 q 一真一假。 若 p 为真命题, q 为假命题,无解; 若 p 为假命题, q 为真命题,则 1 ? a ? 2 。 所以 a 的取值范围是 ?1, 2? 18.解: (1)由题知, f ?1? ? 1 ? 2b ? c ? 0 ,所以 c ? ?1 ? 2b 记 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? b ? x 2 ? ? 2b ? 1? x ? b ? c ? x 2 ? ? 2b ? 1? x ? b ? 1

? g ? ?3? ? 5 ? 7b ? 0 ? ? g ? ?2 ? ? 1 ? 5b ? 0 根据题意,得 ? ? g ? 0 ? ? ?1 ? b ? 0 ? g ?1? ? b ? 1 ? 0 ?
(2)令 u ? f ? x ? ,因为 0 ?

解得

1 5 ?b? 5 7

1 5 ? b ? ? 1 ,所以 log b u 在 ? 0, ?? ? 上是减函数。 5 7

因为 ?1 ? c ? 2b ? ?b ,函数 f ? x ? ? x 2 ? 2bx ? c 的对称轴是直线 x ? ?b 所以 f ? x ? 在 ? ?1 ? c,1 ? c ? 上单调递增,从而函数 F ? x ? ? log b f ? x ? 在 ? ?1 ? c,1 ? c ? 上为减函 数 , 且 f ? x? 在


? ?1 ? c,1 ? c ?

上 恒 有 f ? x ? ? 0 , 只 需 要 f ? ?1 ? c ? ? 0 , 所 以
5第

? 5? ?1 17 ?c ? ?2b ? 1? ? b ? ? 7 ? ,解得 ? ? c ? ?2 。 ?5 ? 7 ? f ? ?1 ? c ? ? 0 ?

(2) 当 ? =2 时, P1= P( AB B ? A BB) ? P( AB B) ? P( A BB) w.w.w..c.o.m

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P ( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.25(1 ? q2 ) 2 =0.01, 当 ? =4 时, P3= P ( ABB) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.75q2 2 =0.48, 当 ? =5 时, P4= P ( ABB ? AB ) ? P ( ABB ) ? P ( AB )

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ? 的分布列为

?
p

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P ( BBB ? BBB ? BB )

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q2 2 ? q2 2 ? 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 20.解: ( 1 )因为过曲线 y ? f ( x) 上任意相异两点的斜率都大于 0 ,所以任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ? R , 由

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , x1 ? x2
所以函数 f ( x) ? mx ? sin x 在 R 上单调递增。 所以 f '( x) ? m ? cos x ? 0 恒成立,即 m ? cos x ,所以 mmin ? 1 。
页 6第

(2)因为 m ? 1 ,所以函数 f ( x) ? x ? sin x 因为 f ? x ? ? g ? x ? ,所以 x ? sin x ? ax cos x ? 0 对任意 x ? ? 0,

? ?? ,令 H ? x ? ? x ? sin x ? ax cos x , ? 2? ?

则 H ' ? x ? ? 1 ? cos x ? a ? cos x ? x sin x ? ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x ①当 1 ? a ? 0 即 0 ? a ? 1 时, H ' ? x ? ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x ? 0 所以 H ? x ? 在 ? 0,

? ?? 上为单调增函数, ? 2? ?

所以 H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ,符合题意,所以 0 ? a ? 1 。 ②当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时,令 h ? x ? ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x 于是 h ' ? x ? ? ? 2a ? 1? sin x ? ax cos x 因为 a ? 1 ,所以 2a ? 1 ? 0 ,所以 h ' ? x ? ? 0 所以 h ? x ? 在 ? 0,

? ?? 上为单调增函数, ? 2? ?

所以 h ? 0 ? ? h ? x ? ? h ? 所以 2 ? a ? H ' ? x ? ?

? ?? ? ? ,即 2 ? a ? h ? x ? ? a ? 1 2 ?2?
? a ?1 2

1? 当 2 ? a ? 0 ,即 1 ? a ? 2 时, H ' ? x ? ? 0
所以 H ? x ? 在 ? 0,

? ?? 上为单调增函数, ? 2? ?

所以 H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ,符合题意,所以 1 ? a ? 2 。

? ?? 2? 当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,存在 x0 ? ? 0, ? ,使得当 x ? ? 0, x0 ? 时,有 H ' ? x ? ? 0 ? 2?
此时 H ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上为单调减函数, 从而 H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ,不能使 H ? x ? ? 0 恒成立 综上所述,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 。
页 7第

21. 解: (Ⅰ)由已知 且 f ?( x) ? 又

1 1 ? f ?(1) ? 1 ? a x 2

得: a ? 2

------------------2 分 ----------------3 分

g (1) ? 0 ?

1 a ? b ? b ? ?1 ? g ( x) ? x ? 1 2

(Ⅱ) ? ( x) ?

m( x ? 1) m( x ? 1) ? f ( x) ? ? ln x 在 [1,??) 上是减函数, x ?1 x ?1
? 0 在 [1,??) 上恒成立.

? ??( x) ?

? x 2 ? (2m ? 2) x ? 1 x( x ? 1) 2

------------------5 分

即 x 2 ? (2m ? 2) x ? 1 ? 0 在 [1,??) 上恒成立,由 2m ? 2 ? x ?

1 , x ? [1,??) x
------------------6 分

?x ?

1 ? [2,??) x

? 2m ? 2 ? 2

得m ? 2

(Ⅲ)由(Ⅰ)可得:当 x ? 2 时: ln x ? x ? 1 ?

? ln x ?

1 x( x ? 1) 2

得:

2 1 ? x( x ? 1) ln x

x ( x ? 1) 2 1 1 1 ? 2( ? )? x ? 1 x ln x

------------------8 分

1 1 1 当 x ? 2 时: 2( ? ) ? 1 2 ln 2
??

1 1 1 1 1 1 当 x ? 3 时: 2( ? ) ? 当 x ? 4 时: 2( ? ) ? 2 3 ln 3 3 4 ln 4 1 1 1 )? 当 x ? n ? 1 时: 2( ? , n? N? , n ? 2 n n ? 1 ln(n ? 1) 1 1 1 1 1 )? ? ? ??? n ?1 ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1)
① ------------------9 分

上述不等式相加得: 2(1 ? 即:

2n 1 1 1 1 ? ? ? ??? n ? 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1)

2( x ? 1) ? ln x 在 [1,??) 上是减函数 x ?1 2( x ? 1) ? ln x ? 0 ? 当 x ? 1 时: ?( x) ? ?(1) ? 0 即 x ?1 2( x ? 1) 1 1 x ?1 ? ? 所以 ln x ? 从而得到: -----------------11 分 x ?1 ln x 2 x ? 1 1 1 3 1 1 4 1 1 5 ? ? ? ? ? ? 当 x ? 2 时: 当 x ? 3 时: 当 x ? 4 时: ln 2 2 1 ln 3 2 2 ln 4 2 3 1 1 n?2 ? ? ?? 当 x ? n ? 1 时: , n? N? , n ? 2 ln(n ? 1) 2 n
由(Ⅱ)可得:当 m ? 2 时: ?( x) ? 上述不等式相加得:

1 3 4 5 n?2 1 1 1 1 ? ( ? ? ??? ) ? ? ??? n ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1) 2 1 2 3

1 2 2 2 2 n 1 1 1 (n ? ? ? ? ? ? ) ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 1 2 3 n 2 2 3 n n 1 1 1 1 1 1 ? ?1? ? ??? ? ? ??? 即 2 3 ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1) 2 2n 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? 综 上 : n ?1 ln 2 ln 3 ln 4 ln(n ? 1) ?
------------------12 分

1 ② n n 1 1 1 ?1? ? ??? ( n? N? , n ? 2 ) 2 2 3 n

22. 解: (1)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线
页 8第

依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC 故 AE ? EB (2)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, ∴ BF ? EC 在 RT△EBC 中,有 ??????5 分

??????2 分

??????4 分

A

D

BF BE = BC EC

E
?????7 分

F

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得

B

O

C

? 1? 2 ? 4 EF ? FC ? BF 2 ? ? ? ? ? 5 ? 5
?? 2 cos 2? ? 8 ? ? 23. 解: (Ⅰ)由 ? 得: ? 2 cos ? 8 ? ? 2 ? 16 ,即 ? ? ?4 ? 3 ?? ? 6 ?

2

??????10 分

------------3 分

? ? 7? 所以 A 、 B 两点的极坐标为: A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) 6 6 6
(Ⅱ)由曲线 C1 的极坐标方程得其普通方程为 x ? y ? 8
2 2

------------5 分 ------------6 分

? 3 x ?1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 8 ,整理得 t 2 ? 2 3t ? 14 ? 0 将直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
所以 | MN |?

------------8 分

(2 3 ) 2 ? 4 ? (?14) 1

? 2 17

-----------10 分

(2)当

? a 1? x ? ? ? , ? 时, f ? x ? ? 1 ? a 。 ? 2 2?
不等式 f ? x ? ? g ? x ? 等价于 1 ? a ? x ? 3 。 解得 x ? a ? 2 。
页 9第

令?

a 4 ? a ? 2 ,得 ?1 ? a ? 2 3



10 第



11 第


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