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2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件:专题4 立体几何 第2讲_图文

第2讲

空间中的平行与垂直的证明问题

高考定位

1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的

基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真 假进行判断,属基础题;2.以解答题的形式考查,主要是对线 线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、 棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.

真题感悟 (2016· 全国Ⅰ卷)如图,已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形, PA=6 ,顶点 P在平面

ABC 内的正投影为点 D , D 在平面 PAB 内的正
投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明:G是AB的中点; (2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由), 并求四面体P-DEF的体积.

(1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE. 且PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,又PG?平面PED, 故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点. (2) 解 在平面 PAB 内,过点 E 作 PB 的平行线交 PA

于点F,F即为E在平面PAC内的正投影. 理 由 如 下 : 由 已 知 可 得 PB⊥PA , PB⊥PC , 又 EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,PA∩PC=P, 因此EF⊥平面PAC, 即点F为E在平面PAC内的正投影.

连接 CG,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D,所以 D 是正 三角形 ABC 的中心.由(1)知,G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 2 上, 故 CD=3CG.由题设可得 PC⊥平面 PAB, DE⊥平面 PAB,

2 1 所以 DE∥PC,因此 PE= PG,DE= PC. 3 3 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得 DE= 2,PE=2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF=PF=2. 1 1 4 所以四面体 P-DEF 的体积 V=3×2×2×2×2=3.

考点整合 1.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α.
(2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3) 面面平行的判定定理: a? β , b? β , a ∩ b = P , a∥α , b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m, l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β.

(4) 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 : α⊥β , α ∩ β = l , a? α ,
a⊥l?a⊥β.

热点一 空间平行、垂直关系的证明 【例1】 (2016· 山东卷)在如图所示的几何体中, D是AC的中点,EF∥DB. (1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB; (2) 已 知 G , H 分 别 是 EC 和 FB 的 中 点 . 求 证 :

GH∥平面ABC.

证明 (1)因为EF∥DB,

所以EF与DB确定平面BDEF,
连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点, 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF. 因为FB?平面BDEF,所以AC⊥FB.

(2)设FC的中点为I,连接GI,HI. 在△CEF中,因为G是CE的中点, 所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB. 在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.

又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC,
因为GH?平面GHI,所以GH∥平面ABC.

探究提高 见类型.

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常

(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4) 证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明 线线垂直.

【训练 1 】 如图,在四棱锥 P -ABCD 中, AB⊥AC ,

AB⊥PA,AB∥CD,AB= 2CD,E,F,G,M ,
N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点. 求证:(1)CE∥平面PAD; (2)平面EFG⊥平面EMN.

证明

(1)法一

如图 1,取 PA 的中点 H,连接 EH,DH.

1 又因为 E 为 PB 的中点,所以 EH∥AB,且 EH=2AB.

图1
1 又 AB∥CD,CD= AB,所以 EH∥CD,且 EH=CD. 2 所以四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CE∥DH.又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD,因此,CE∥平面 PAD.

法二

1 如图 2, 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点, 所以 AF=2AB.

图2
1 又 CD= AB,所以 AF=CD,又 AF∥CD, 2 所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,AD?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,PA?平面 PAD,

所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.

又CE?平面CEF,所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA. 又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG. 又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG, 因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,

所以MN∥DC,又AB∥DC,所以MN∥AB,
所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN, 所以平面EFG⊥平面EMN.

热点二 利用平行、垂直关系判断点的存在性
【例 2】 (2016· 四川卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥CD, AD∥BC, ∠ADC=∠PAB=90° , 1 BC=CD= AD. 2

(1) 在平面 PAD 内找一点 M ,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由. (2)证明:平面PAB⊥平面PBD.

(1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD),点 M 即为 所求的一个点,理由如下: 1 因为 AD∥BC,BC= AD.所以 BC∥AM,且 BC=AM. 2

所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB?平面PAB.CM?平面PAB. 所以CM∥平面PAB. ( 说明:取棱 PD 的中点 N ,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)

(2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD. 1 因为 AD∥BC,BC= AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 2 所以 PA⊥平面 ABCD.从而 PA⊥BD.连接 BM, 1 因为 AD∥BC,BC=2AD,所以 BC∥MD,且 BC=MD. 1 所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 BM=CD=2AD,所以
BD⊥AB.又 AB∩AP=A,所以 BD⊥平面 PAB. 又 BD?平面 PBD,所以平面 PAB⊥平面 PBD.

探究提高

探求点的位置常常是线段的中点、三等分点

等,关键是通过垂直、平行关系寻找线线平行.

【训练 2】 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明: 在线段 PC 上存在点 M, 使得 AC⊥BM, PM 并求MC的值.

(1)解 由题设 AB=1,AC=2,∠BAC=60° , 1 3 可得 S△ABC = · AB· AC· sin 60° = . 由 PA⊥平面 2 2 ABC,可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高,又 PA=1. 1 3 所以三棱锥 P-ABC 的体积 V=3· S△ABC· PA= 6 `.

(2)证明

在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N,在平

面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平
面ABC知PA⊥AC, 所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN, 又BM?平面MBN,所以AC⊥BM.
1 在 Rt△BAN 中,AN=AB· cos∠BAC=2, 3 PM AN 1 从而 NC=AC-AN=2,由 MN∥PA,得MC=NC=3.

热点三 平面图形翻折中的平行、垂直关系 【例3】 (2016· 全国Ⅱ卷)如图,菱形ABCD的 对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E , F 分别在

AD , CD 上, AE = CF , EF 交 BD 于点 H ,
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD′; 5 (2)若 AB=5,AC=6,AE=4,OD′=2 2,求五棱锥 D′-ABCFE 的体积.

AE (1)证明 由已知得 AC⊥BD, AD=CD, 又由 AE=CF 得AD CF =CD,故 AC∥EF,由此得 EF⊥HD,折后 EF 与 HD 保 持垂直关系,即 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′.
OH AE 1 (2)解 由 EF∥AC 得DO=AD=4. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2=4, 所以 OH=1,D′H=DH=3, 于是 OD′2+OH2=(2 2)2+12=9=D′H2,故 OD′⊥OH.

由(1)知 AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以 AC⊥ 平面 BHD′,于是 AC⊥OD′,又由 OD′⊥OH,AC∩OH= O,所以 OD′⊥平面 ABC. 9 EF DH 又由AC=DO得 EF=2.

1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S=2×6×8-2×2×3= 4 . 1 69 23 2 所以五棱锥 D′-ABCFE 的体积 V= × ×2 2= . 3 4 2

探究提高

(1) 解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位

置关系和数量关系改变,哪些不变,抓住翻折前后不变的

量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 .(2)把
平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥, 从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.

【训练 3】 (2016· 江西八校联考)如图 1,在边长为 1 的等边三 角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得 2 到如图 2 所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 .

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3
(1)证明 在等边△ABC 中,AD=AE, AD AE ∴DB=EC在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立. ∴DE∥BC, 又 DE?平面 BCF, BC?平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)证明 在等边△ABC 中,F 是 BC 的中点,

∴AF⊥CF.

2 1 ∵在三棱锥 A-BCF 中,BC= ,BF=CF= , 2 2 ∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF. 又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)解 由(1)、(2)可知 GE⊥平面 DFG,

即 GE 为三棱锥 E-DFG 的高. 1 1 VF-DEG=VE-DFG=3×2×DG×FG×GE 1 1 1 ?1 3 3? 1 ? ? =3×2×3× × ×3=324. 2? ?3

1.空间中点、线、面的位置关系的判定

(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上, 抽象出空间线、面的位置关系的定义. 2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1) 证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线

同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三
是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面 面平行的性质定理进行平行转换.

(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即
高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线 垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α, a?α?l⊥a. 3.在应用直线和平面平行的性质定理时,要防止出现“一条直

线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错误.
4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的 不变“性”与“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相 关线段的长度、角度等.


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