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周培源力学竞赛模拟题

力学竞赛模拟题集 一、如图 1 所示,一个质量为 m、外径为 R 的溜溜球静止放置在桌面上, 设球对质心轴 C 的回转半径为 R / 2 ,内径为 r,绕在细绳上。在绳端施加 方位角为? 的拉力 F。不考虑滚动阻碍。
(1)若桌面光滑,试分析当? ? 0,? ,? 时,溜溜球的滚动方向?
2
(2)? 为多大时,可确保溜溜球只滑不滚?(3)若桌面光滑,溜溜球 能否只滚不滑?其条件是什么?

解:(1)在桌面光滑条件下,? ? 0,? ,? 时,
2
溜溜球的滚动方向均为逆时针。

R

Cr

F

?

(2)溜溜球的受力分析见图 2。
图1

R Cr mg
Ff FN

据刚体平面运动微

分方程:

F

?

?

?F cos? ? Ff ? maC

(1)

?

?F sin? ? mg ? FN ? 0 (2)

??( 1 ?2

mR2 )?

?

Fr

?

Ff

R

(3)

图2

要求不滚,则?

? 0 , Ff

?

rF R

,代入(1)式可

得,

F

cos?

?

r R

F

?

maC

要求滑动,则

aC

?

0



F

cos?

?

r R

F

?

0



cos?

?

r R

即可。

(3)要求只滚不滑,则 aC ? ?R? 。代入刚体平面运动微分方程,消去 aC 与? ,得
1

又因

Ff

? (2r R

? cos? ) F 3

Ff ? ? FN ? ?(mg ? F sin? )

要求只滚不滑与桌面光滑程度无关,则

sin? ? mg ,
F
因此,条件是 mg ? F , 2r ? R 。

c o ?s ? ? 2r R

二、孙悟空的如意金箍棒 中国四大古典名著的《西游记》中的孙悟空本领高强,神通广大,深得
人们喜欢。尤其是他的兵器——如意金箍棒,帮他大闹天宫,降妖除魔。 传说该棒原为大禹治水时用作测江海之深的宝器,原来放在东海龙宫之中 时,重一万三千五百斤(一公斤合二斤),有二丈长(一米合三尺,十尺合 一丈),碗口粗细,一般饭碗的直径约合 10 厘米。
1、 金箍棒的最大神奇之处在于可随意变化尺寸大小,如果金箍棒在变 化过程中,保持总重量和尺寸比例不变。只考虑自重影响,强度控制条件 [? ] ? 1000MPa,试分析在固定一端,分别竖直放置和水平放置两种情况下长 度变化范围。如果保持密度和尺寸比例不变呢?
2、 孙悟空和二郎神打斗之时,不提防太上老君自上扔下金刚琢,悟空 本能地双手举棒迎接,金刚琢正好垂直打中金箍棒中间,如金刚琢重为 P, 无初速自由落体,下落高度为 H,孙悟空两手为刚度为 k 的弹簧支座,金 箍棒的刚度系数为 EI。试计算金箍棒中的最大挠度。
3、 因被金刚琢击中,手中金箍棒被震脱手,从云端落下,设高度距离 地面 h,棒与水平面的夹角为? ,落地时棒的一端与光滑地面碰撞,恢复系 数 e ? 0.5,则一次碰撞后金箍棒能弹起多高?再次与地面碰撞时,金箍棒与 地面的夹角为多少?
4、 孙悟空有时为了震慑对方,操起金箍棒,把山石打得粉碎,这个过 程为典型的碰撞过程。悟空发现单手握棒击打时,只要控制好持棒位置和 金箍棒击打石头的位置和方向,就能使手上的震动力很小或没有,试建立 合适的力学模型并给出分析过程、结论。 解:1、自重不变时,? ? d ? 0.1 ? 1
l 66.7 667

2

竖立放置时: W ? 4W ? [? ] , l ? d ? 1 4W

A ?d 2

? ? ?[? ]

Wl

水平放置时: 2
?d 3

? 16W ? [? ],
??d 2

l? 1 ?

16W ?? [? ]

32

综上,可得竖立放置时决定长度的极小值

密度不变时, ? ? 4W
l?d 2

竖立放置时: Al? ? l? ? [? ], l ? [? ]

A

?

Al?

水平放置时:

l 2 ?d 3

?

4?d 2 ?l 2 ?d 3

?

4?l 2 ?l

?

4?l ?

? [? ],

l ? ?[? ] 4?

32

综上,可得水平放置时决定长度的极大值

2、问题简化为梁的两端放在两个刚度为

k 的弹簧上,则梁跨中截面的静位移为:

? st

?

Pl 3 48 EI

?

P 2k

,动荷系数 Kd

?1?

1? 2h ? st

则 ? d ? K d ? st

3、 棒下落时作平动,有 vA ? vC ? 2gh

据碰撞时的冲量定理有, muC ? mvC ? I

据相对质心的冲量矩定理, 1 ml2? ? 0 ? l I cos?

12

2

棒的质心和碰撞点的速度关系为: uA ? uC ? uAC

在竖直方向投影得:

uA

y? u

l ?C2

?

c

o? s

根据恢复系数的定义知

3

e

?

? uAy

uC ??

?

l ? cos? 2

v Ay

? 2gh

综合可得?

?

2gh cos? 1? 3cos2 ?

, uC

?

2gh(1? 6cos2 ? 2(1? 3cos2 ? )

)



I

?

3m 2gh 2(1? 3cos2 ? )

4、棒打击石头与石头打击棒情况类似,建立如图所示坐标系,应用 碰撞时的动量定理有 muCx ? mvCx ? I x ? IOx ,
muCy ? mvCy ? I y ? IOy
碰撞前后棒与石头无切向相对速度, 则有 I x ? m(uCx ? vCx ) ? IOx , I y ? ?IOy 手中无碰撞冲量时,有 Ix ? m(uCx ? vCx ) , I y ? 0 上式表明石头对棒的冲量应垂直于棒,根据冲量矩定理有
JO?2 ? JO?1 ? Il
考虑到速度关系有 Ix ? m(uCx ? vCx ) ? ma(?2 ? ?1) 即碰撞点到手的距离为 l ? JO
ma
此即为撞击中心,手握点为固定点,石头撞击棒点为 K 点,手中无 撞击力。 不难验证,手和撞击中心的位置互换后,结论相同。 三、周学生杰伦酷爱滑板运动,热衷挑战各种高难动作,人送雅号“滑 板小子”。周学生身材匀称,体重 50kg,滑板轮心距 a = 0.65m,重量不计。 周末,他滑至一条河边,河面宽为 L = 3m,河上仅平铺木板一块(宽度
4

130mm,厚 18mm),斜坡倾角? ? 30 。如图 3 所示。 (1)假设滑板滑行速度最大可达 20 km/h,不计空气阻力,周学生能直接 飞越过河到达对岸吗?(2)假设木板的[? ] ? 40MPa ,周学生前后对称站立 于滑板上,他能乘滑板(双脚始终在上面)通过木板到达河对岸吗?为什 么?(3)若无前后对称站立于滑板的限制条件,他能乘滑板到达河对岸吗? 为什么?

? a

? L

图3

解:(1)取周学生和滑板组成系统为研究的质点。

? ? d 2x
??m dt2

? m dvx dt

?

Fx ? 0

? ???m

d2z dt 2

? m dvz dt

? ? Fz

? ?mg

由初始条件:t = 0 时,x = z = 0, vx ? v0 cos? , vy ? v0 sin? ;积分可得

??x ? v0 cos? ?t

? ?? z

?

v0

sin

?

?

t

?

1 2

gt

2

上式消去 t,得轨迹方程

z

?

x

tan ?

?

2v02

g cos2

?

x2

令 z = 0,代入? ? 30 , v0 ? 20 km/h , g ? 9.8 m/s2 ,解得

x ? 2.72m 或 x ? 0m(舍去)

5

因 x ? 2.72m ? L ? 3m,周学生不能直接飞越过河到达对岸。
(2)不计滑板和木板的重量,通过木板时系统的受力简图如图 4。P 为人 的重量。

图5 图4

人对称站立于滑板上,板 AB 的受力如图 5 所示,当 C、D 关于跨中

对称时,支座约束力

FA

?

FB

?

P 2



M max

?

MC

?

MD

?

L FA ( 2

?

a) 2

?

P 4

(L ? a)

50 ? 9.8 Mmax ? 4 (3 ? 0.65) ? 287.9N ? m

W ? 1 bh2 ? 1 ?130?182 ? 7020mm3

6

6

? max

?

M max W

?

287.9 ?103 7020

? 41MPa>?? ? ? 40MPa

所以,在此情况下,周学生不能乘滑板通过木板到达河对岸。.

(3)人站立于滑板任意位置上,板 AB 的受力如图 5 所示,

6

其中 P1 ? P2 ? P ,当 C、D 关于跨中

对称时,支座约束力

图3

FA

?

(1 ?

a )P 2L

?

P L

X



FB

?

a 2L

P

?

P L

X

MC

?

FA

(

L 2

?

a),
2

MD

?

FB

(

L 2

?

a) 2

板跨中截面弯矩

M

?

MC

? MD 2

?

1 2 (FA

L ? FB )( 2

?

a) ? 2

1 P( L 22

?

a) 2

M 不随人体位置调整而变化,所以,在此情况下,周学生仍不能乘滑

板通过木板到达河对岸。

四、用手弹出一质量为 m 、半径为 R 的乒乓球,在地板上运动,使质心保持 直线运动。质心的初速度为 v0 ,转动初角速度为?0 。假设乒乓球与地面的 滑动摩擦系数为 f 。

(1) 求经过多长时间,乒乓球不再向前面运动?

(2) 求乒乓球运动到最远距离后,不再向回滚动的条件。

解答:(1)

mg

fF N

FN

7

? fmg ? m dv dt

积分: v ? v0 ? fgt

当 v ? 0 时, t ? v0
fg

(2)

?

fmgR ?

JC

d? dt

积分: ?

?

?

fmgRt JC

? ?0

将t

?

v0 fg

代入上式,得: ?

?

? mv0 R JC

? ?0

当?

?

0 时,可以得: v0

?

JC mR

?

0

考虑到装动惯量 JC

?

2 mR2 5

代入上式得: v0

?

2 5

?0

R

五、杂技团表演平衡木杂技,在长为 l 的平衡木上站了 n 个体重相等的演员, 且所有演员之间的间距相等。试求:该平衡木上最大弯矩的一般表达式? 解:将该模型简化为简支梁,如图 5 所示,梁长为 l,n 个演员之间距离为 l /(n ?1) ,演员体重均为 F / n ,则在 AB 两端约束反力均为 F / 2。根据题意发 现,最大弯矩总是发生在梁的中间 l / 2 处。

图5 (1)如果演员总数是偶数个,则取中间 l / 2 截面截开,每侧作用有约束反力 F / 2、 n / 2个集中力 F / n ,则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为:

8

M max

?

F 2

?

l 2

?

F n

?(l 2

?

n

l) ?1

?

F n

?(l 2

?

2l ) n ?1

?

F n

?

(l 2

?

3l ) n ?1

????? F ?(l ? n l ) n 2 2 n?1

? Fl ? F ? l ? n ? F ? l (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n)

4 n 2 2 n n?1

2

? F ? l (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) ?

Fl

?

n (n 22

? 1)

?

Fl(n

?

2)

n n?1

2 n(n ? 1) 2

8(n ? 1)

(2)如果演员总数是奇数个,则取中间 l / 2 截面截开,最大弯矩侧作用有约束

反力 F / 2、 (n ?1) / 2 个集中力 F / n ,则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为:

M max

?

F 2

?

l 2

?

F n

?(l 2

?

l )? n ?1

F n

?(l 2

?

2l ) ? n ?1

F n

?(l 2

?

3l ) n ?1

????? F ?( l ? n ?1 l ) n 2 2 n ?1

? Fl ? F ? l ? n ? F ? l (1? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1)

4 n 2 2 n n?1

2

? F ? l (1? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1)

n n?1

2

?

Fl

?

n ?1( n ?1 ?1) 22

?

Fl(n ?1)

n(n ?1)

2

8n

六、如图所示,等直杆一端固定,另外一端受到沿轴线方向的集中力,大

小为 F,该杆半径为 R;选用弹性模量为 E、泊松比为μ =0.25 的各向同性

材料。为了加固该杆件,在实心杆的基础上套上一个厚度为δ 的套筒(δ

《R),套筒与杆件选用相同的材料,亦不考虑套筒与杆件之间的摩擦。如

果所选用材料为脆性材料,许用压应力是许用拉应力 5 倍,试分析套筒能

否使杆件承受更大的载荷。

9

解:若杆件受到压力等于许用载荷为[F], 而套筒所受内力以拉应力为主, 套筒所受拉应力是约是该材料的许用压应力的 0.25 倍, 因此,增加套筒并不能提高实心杆的承载能力, 相反必须降低许用载荷以确保套筒满足强度要求。
七、某设计人员,设计一台单梁双吊龙门吊车(设计简图如图所示), 设计吊重为 200kN(两个吊钩同时起吊,承载能力相同),吊车跨度 为 2 米,左右两吊钩最大行走距离为 0.32 米。该设计人员经过计算 (忽略起吊冲击影响)选用横梁为 No20a 工字钢梁,截面尺寸如图, 材料的许用应力为 150MPa。当设计员满怀希望将设计报告上交后, 审核人员却发现该设计存在问题。 亲爱的朋友,请您帮助核实一下, 1)该结构所涉及力学问题有哪些?2)画出其力学模型?3)请给出 完整的设计过程,并分析该设计人员的设计思想可能在哪里出现问 题?如何改进?
解: (1) 弯曲强度,复杂应力状态 (2) 计算简图如图
10

(3)解:(一)画梁的剪力图和弯矩图 危险截面发生在 C、D 截面 MC=32KN·m ,QC=100KN
(二)强度校核 先绘出 C 截面正应力分布图和剪应力分布图。
a.正应力强度校核(K1)点
11

b.剪应力强度校核(K2)点

正应力和切应力强度条件均满足。 c.校核腹板和翼板交接处(K3)点的强度。

?k3 ?

MC IZ

yk 3

?

32 ?103 ? 88.6 ?10?3 23.7 ?10?6

? 120Mpa

?k3

?

QC

S

* Z

IZb

100?103 ?11.4 ?100??88.6 ? 11.4 ?? ?10?9

?

?

2?

23.7 ?10?6 ? 7 ?10?3

? 64.8Mpa

由于钢梁为塑性材料,K3 点处的强度可由第三或第四强度理论进行 校核。

说明钢梁在 K3 点处的相当应力超过许用应力,不能满足强度要求(有
12

可能未涉及)。必须增大工字钢的型号,才能满足钢梁在 K3 点处的强 度。

八、墙上安装一块薄板,当重物放在薄板的较远处时,重物常常会滑 出薄板。 薄板近似可以看作为一悬臂梁 AB,梁长 L,抗弯刚度 EI,重物 C 的 重量为 G,重物和梁的摩擦系数为μ ,求: (1) 重物开始滑动的位置 (2)重物滑离 B 端时的速度。

A

C

B

图1

y

S

FN

A

Fs
C

x

D

θD

B G

图2

解:(1)设重物开始滑动时距离 A 的长度为 s,如图 2 所示,则 AD 段的挠曲线方程为:
y ? ? Gx2 ?3s ? x? ?0 ? x ? s?
6EI
13

由此可知

?D

?

? yD?

?

?

Gs2 2EI

由静力平衡条件,可求得摩擦力为:

(1)

重物开始滑动的条件为

FS ? ?G cos?D

Gsin ?D ? FS
由以上 2 式,可得:

tan ?D ? ?D ? ?

将式(1)带入上式,即可得到重物开始滑动时的位置为:

s

?

? ??

2EI G

?

1/ 2
? ??

(3)重物由 D 处滑倒 B 处,在 3 阶段的始末两处的挠度分别为

fD

?

?

Gs3 3EI

,

fB

?

?

GL3 3EI

设重物滑离 B 端时的速度为 v,W 为摩擦力在此过程中所做的功,

由能量守恒定律可知

Gv2 ? GL3 ? Gs3 ?

2g

?G? ?

3EI

? ?W ?

这里假设重物的体积很小,其转动的动能忽略不计。

(2)

由于

dW ? FS ds


FS ? ?Gcos ?

14

所以有 积分上式:

3
ds ? ?1? y??2 dx

cos ?

?

dx

/

ds

?

?1 ?

?y?

?3 2

dW ? ?G cos ? ??1? ?y? 3/2 dx ? ?Gdx

W ? ?G?L ? s?

将(3)代入(2),最后得到

1/ 2

? ? v

?

??2g ?

?

L

?

s?

? ??

G 3EI

L2 ? Ls ? s2

?

?

?? ????

(3)

九、海绵拖把在即将挤干水时的状态如图所示,若挤干水时需 F1。 试求手作用在拖把上竖直方向的力。分析手上还有哪些力。如想省力, 可采取哪些措施。

l1 l2
?1

加压手柄 F2

FAx FAy

F3 F

?F2' 1

FA'y

l3

海绵拖把头
?2
(a)

F1

F1

?2

(b)

(c)

F1' F1'
?2
(d)

解:

取海绵拖把头为研究对象,受力图如图(b)所示

15

?Fy ? 0 ,

F2 ? 2F1 c o?s2 ? 0 F2 ? 2F1 c o?s2

取加压手柄为研究对象,受力图如图(c)所示

?MA(F) ? 0 , F ? l1 ? F2' ? l2 ? 0

F

?

F2'

? l2

/ l1

?

2F1 c o?s2l2 l1

?Fy ? 0 ,

FAy ? F ? F2' ? 0

FAy

?

F2'

?F

?

2F1 c

o?s2 (1?

l2 l1

)

取拖把手柄为研究对象,受力图如图(d)所示

?Fy ? 0 ,

2F1' c o?s2 ? FA' y ? F3 ? 0

F3

?

2F1' c

o?s2

? FA' y

?

F

?

2F1 c o?s2l2 l1

由于两手的作用力不在一竖直线上,握拖把手柄的手有转动力偶的作

用。如想省力,?2 角尽可能大一些, l1 尽可能大一些, l2 尽可能小一 些。当然须和其他因素综合考虑。

十、如图所示,一个小球自由下落,高度为 h ,与容器碰撞,恢复系 数为 k ,容器的母线为 y ? ax2 ,问小球落在什么范围与容器碰撞后, 能飞出容器。

16

解:? ? arctan(2ax) , v ? 2gh

vn ? kvcos? , vt ? v sin?

vx ? vn sin? ? vt cos? , vy ? vn cos? ? vt sin?

H

? ax2

?

vyt

?

1 2

gt 2

x?

H a

? vxt

H

? ax2

?

?

4ahk 2

? 4hak

?16ha3 x2k ?16ha3 x2
4ha2 ?k ?1?2

?1? 8a2 x2

?16a4 x4

x ? ? 4 ? 6ha ? 2hak 2 ? 4hak ? 2 R ,
4a
其中

R ? 9h2a2 ? 2h2a2k 2 ?12h2a2k ?12ha ? h2a2k 4 ? 4h2a2k 3 ?12hak 2 ? 24hak ?16Ha2k 2 ? 32Hha2k ?16Hha2

十一、两个人要比赛谁的力量大,其中一个人提出用图示的杆件比谁 能使杆 B 端挠度最大,在比赛前设置了一个条件,即在矩 A 端为 a 的 位置下方放置了一个易碎的小圆柱,该圆柱体距水平位置为? ,? 较 小,EI 已知。比赛以 B 端挠度最大,且不能使小圆柱题破坏为胜。 请问,你怎样加力,才能获胜。(注:只能加一个力)

解: F ? Pcos? , M ? Phsin?
17

? ? Fa 3 ? Ma 2 3EI 2EI

? ? Fa 2 ? Ma 2EI EI

y ? ? ? ? ?l ? a? ? F ?l ? a?3 ? M ?l ? a?2

3EI

2EI

dy ? 0 d?

?

?

arctan?? ?

5a

3h?a
2 ? 2l

?
2

l?
? 4la

?? ?

十二、弹跳飞人 在 2008 年北京奥运会闭幕式上, “弹跳飞人”借鉴现代极限体
育项目,运用“弹跳鞋”在空中进行高难度的翻转、跳跃等姿态展现, 如图 12-1 所示。在奇幻的音乐中,“弹跳飞人”借助弹跳鞋(如图 12-2 所示)起身跳跃,在空中划出一道道优美的光彩,展现运动的激情与 美感。空中流星般飞腾的发光人、场内飞旋穿梭的神奇光环,形象地 传达出“更快、更高、更强”的奥林匹克精神。
将弹跳鞋简化为线性弹簧,人简化为弹性直杆(可简化为两段), 试建立弹跳飞人的力学模型,分析弹跳飞人接触地面时的最大应力。

题 12-1 图

题 12-2 图

解:简化后的力学模型如图 12-3, 12-4 所示。弹跳鞋被简化为线性弹 簧,取弹性系数为 k。人简化为两段弹性直杆,其中腿部横截面面积
18

为 A1,长度为 l1,上身横截面面积为 A2,长度为 l2,取人的弹性模量 为 E。

l2 v
l1 k

Fd k

x2

q2

l2

q1

l1

x1

Fd

题 12-3 图

题 12-4 图

设人与弹簧间的最大冲击力为 Fd,在其作用下,产生方向向上 的加速度,杆上均匀分布惯性

力向下。其中: q1 q2 ? A1 A2 ,

Fd ? q2l2 ? q1l1

设飞人质量为 m,从高度为 H 处跳下,其接触地面时的动能为

T=mgH 由于弹簧的变形引起的人的势能变化(忽略由于人轴向变形引起
的势能变化):

?V ? mg? d ? mg Fd k

弹 簧 的 应 变 能 : V?d弹 ? Fd2 (2k) ;

人上身轴力:

FN (x2 ) ? ?q2 x2 ;

人腿部轴力: FN (x1 ) ? ?Fd ? q1x1 ;

人的应变能为:

? ? V?d人 ?

l1 0

FN 2 (x1 2EA1

) dx1

?

l2 0

FN 2 (x2 2EA2

) dx2

根据能量守恒定律

T ? ?V ? V?d弹 ? V?d人

? ? 得: mgH ? mg Fd ? Fd 2 ? (q1l1)3 ? 3(q1l1)2 Fd ? 3q1l1Fd 2 ? q22l23

k 2k

6EA1q1

6EA2

(1)

设:l1 ? l2 ? l , A1 ? A, A2 ? 2A , q1 ? q , q2 ? 2q 。 则 Fd ? 3ql

19

所以式(1)可简化为 (2)
求解式(

??? ?

9l 2 2k

?

7l 3 2EA

???q ?

2

?

mg

3l k

q

?

m

g

?H0

2)中可得

3mgEA? 9(mgEA)2 ? 2mgH[9k(EA)2 ? 7lk 2 EA]

q?

9EAl ? 7kl2

则最大冲击应力在人的脚部

? max ? Fd A ? 3ql A



入 q 即可得:

9mgEA? 3 9(mgEA)2 ? 2mgH[9k(EA)2 ? 7lk 2 EA]

? max ?

9EA2 ? 7kAl

十三、两个体重均为Ws 的人抓起一个体重为 W 的人。左右两人的手 臂与悬起的人构成一抛物线。假设 D 表示左右两人肩膀之间的距离。 左右两人的肩部连线比悬起的人的最低点高 d。H 和 h 分别表示支撑 者肩部和重心高度。为了保持平衡,左右两人为什么均需后仰?求两 人与地面的夹角。有没有可能悬挂者呈一条水平线?

解:利用下图由柔性绳索和支承杆构成的简化模型进行计算。
20

假设左右二人的手臂和被悬挂者构成的曲线可以表示为

y ? d ???2x / D?2 ?1??

(1)

此处 x 和 y 分别为沿着e1 和 e2 方向的坐标。假设? 表示支撑者手臂在

肩部与水平线的夹角,则

tan?

?

dy dx

|x?D/2 ?

4d D

以简化图中的柔性绳索为研究对象,

(2)

?Fx ? 0, 4T sin? ?W ? 0
以简化图中的支承杆为研究对象。

(3)

?MG ? 0, 2TH sin?? ?? ? ?Wshcos? ? 0

(4)

由方程(3)可得 T ? W
4 sin ?

显然如果悬挂者呈一条水平线,则? =0,那么T ? ? ,这是不可能的。

如果支撑者不后仰,即? ? 90o ,则方程(4)无法满足,即无法平衡。

由方程(2)至(4),可以获得? 。

十四、千斤顶 春光明媚,张先生与家人一起开车去郊游。突然,右后轮胎被扎
21

破,需要更换轮胎。张先生从后备箱中取出千斤顶,将轿车右后部顶

起。仔细观察千斤顶,为单根螺杆结构。试分析:

(1)本问题与力学中的什么内容有关?

(2)若将千斤顶底座简化为固定端,试画出计算简图。螺杆全部伸

出时可按细长杆计算,试导出千斤顶许可载荷的表达式。已知:

杆长 l,螺杆根部直径 d,截面弯曲刚度 EI,稳定安全因数 nst。 (3)若将千斤顶底座简化为弹性支座,试画出计算简图。假设弹性

支座的转动

刚度? ? M ? 40 EI ,试导出千斤顶许可载荷的表达式。

?0

l

解:(1)关键词:压杆稳定,欧拉公式,稳定条件,许可载荷。

(2) Fcr

?

π 2 EI
??l ?2

?

π 2 EI
?2l ?2



? ?F

? Fcr nst

? π2EI
nst ?2l?2

? 2.47EI nst l 2

(3) EIy?? ? ?Fy , y?? ? k 2 y ? 0 ,式中: k ? F
EI F
通解: y ? Asin kx ? B coskx 由边界条件可得:

? ? Asin kl ? 0, F? ? Ak coskl ? 0 由系数行列式为零,得
?

kl tan kl ? k 2 ?l ? ?l ? 40 ,解出: kl ? 1.5325
F EI

y

Fcr

?

?kl?2 EI
l2

? 2.35

EI l2

,许可载荷为:?F? ?

Fcr nst

?

2.35 EI nst l 2

十五、行车

? x
?0 M
F

车间里一派繁忙景象,工人们正在用行车吊起一台进口的德国数

控机床。只见葫芦小车吊着数控机床缓缓移动到行车梁中点处,然后

将吊起的机床匀速放下。正在此时,绞车突然卡住,在场的人们顿时

22

惊出一身冷汗。试分析:

(1)本问题与力学中的什么内容有关? (2)若将行车梁一侧支座简化成刚性铰支座,另一侧简化为弹簧支 座,试建立

本问题的力学模型,并画出计算简图。

(3)试根据能量守恒原理,导出绞车突然刹住后,数控机床的最大 动位移的表

达式。

解:(1)关键词:动载荷,能量守恒,动荷因素,动位移。

(2)计算简图如图所示。

(3)设:机床重 P,梁长 l1,弯曲刚度 E1I1,

钢丝绳长 l2,拉压刚度 E2A2。

l1/2

l1/2

l2

机床静位移: Δst

?

Pl13 48E1I1

?

Pl2 E2 I 2

?

P 4k

由刹车前后系统能量守恒得,

vP

P 2g

v2

?

1 2

?Fd

Δd

?

PΔst

??

P?Δd

?

Δst

?

且有 Fd ? P ,
Δd Δst
机床动位移:

联立求解可得: Kd

?

Fd P

?1?

v2 gΔst

? Δd ? Kd Δst ? ??1 ?
?

v2 gΔst

?? ??

?

????

Pl13 48 E1 I

1

?

Pl 2 E2 I 2

?

P 4k

????

23


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