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圆与方程(精心编制,有价值收藏)

圆与方程 解读高考: a.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程。 b.能根据给定直 线、圆的方程判断直线与圆的位置关系:能根据给定两个圆的方程判断两 圆的位置关系。 c.能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。 d.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 一.知识回顾 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 当 当 当

M ( x0 , y0 )

与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系
2 2 2

( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 r 2 > ,点在圆外 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 r 2 = ,点在圆上 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 r 2 < ,点在圆内
2 2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ?

? D E? 1 ? ? ,? ? r? D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ? ,半径为 2

当D 当D

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。

2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。 练:求过点 A(1, —1) ,B(—1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程。

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

3、直线与圆的位置关系: (1)直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
2 2 2 a.几何法:设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

距 离 为

, 则 有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ;

d ? r ? l与C相交
b.代数法:联立直线与圆的方程,消去 y 整理成关于 x 的一元二次方程,若△=0,直线与圆 相切;△﹥0,直线与圆相交;△<0,直线与圆相离。 练 1:若直线 l:ax+by=1 与圆 C: x ? y ? 1 有两个不同的交点,则点 P(a,b)与圆 C 的
2 2

位置关系是( A .点在圆上

C ) B.点在圆内
2 2

C.点在圆外

D .不能确定

练 2.判断直线 4x—3y=50 与圆 x ? y ? 100 的位置关系,如果有公共点,求出公共点的坐 标。 相切 (8,-6)

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该 直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 练:求过点 P(3,2)的圆 x ? y ? 9 的切线方程。
2 2

5x+12y-39=0 或 x=3

(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 练:求经过点 M(2,1)的圆 x ? y ? 5 的切线方程。
2 2

2x+y-5=0

(4)求直线被圆截得的弦长。 (利用弦心距,弦长的一半及半径构成直角三角形,借助勾股 定理来求解。 ) 练 1: 求直线 3x-y-6=0 被圆 C: x ? y -2x-4y=0 截得的弦 AB 的长。
2 2

10 弦心距 d= 2 ,AB= 10

练 2:过点(-1,-2)的直线被圆 x ? y -2x-2y+1=0 截得的弦长为 2 ,则直线 L 的斜率为
2 2

17 ---1 或 7 -----------------.
练 3:过 原 点 的 直 线 与 圆 x ? y -2x-4y+4=0 相 交 所 得 弦的 长 为 2, 则 该 直 线 的 方程 为
2 2

----2x-y=0----------------. 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ?x ? a 2 ? ? ? y ? b2 ? ? R
2 2

2

2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当d 当d

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条;
? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 当

d ? R?r d ? R?r

时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 时,两圆内含; 当d

? 0 时,为同心圆。
C1C 2
等于( C)

练:设两圆 C1 ,C 2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离 A. 4 B. 8 C. 4 2 D. 8 2

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 5.借助几何意义解题. 例 1:已知实数 x,y 满足方程 x ? y -4x+1=0.
2 2

y 求(1) x 的最大值和最小值;

(2)y-x 的最小值

(3) x ? y 的最大值和最小值。
2 2

(1) 3 或- 3

(2)- 6 -2

(3) (2 ? 3 ) , (2 ? 3 )
2

2

练:已知点 P( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

y ?1 (1)求 x ? 2 的最大值与最小值; (2)求 Z= 2 x ? y 的最大值与最小值.

3 3 (1) 3 ,- 3

(2) 6 -2,- 6 -2

例 2:已知圆 x ? y =4,直线 L:y=x+b.当 b 为何值时,圆 x ? y =4 上恰好有 3 个点到
2 2 2 2

直线 L 的距离都等于 1。 b= 2 或- 2

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有 练:圆
-----3-----个。 例 3: 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐 标原点) ,求该圆的圆心坐标及半径. 剖析:由于 OP⊥OQ,所以 kOP·kOQ=-1,问题可解. 解:将 x=3-2y 代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0. 设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,则 y1、y2 满足条件

12 ? m y1+y2=4,y1y2= 5 .
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2, ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

1 5 ∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为(- 2 ,3) ,半径 r= 2 .

评述:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样 的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.

练:直线 x+y-1=0 被圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 所截得的线段的中点坐标是(
2 2



1 1 A. 2 , 2 ) (

B (0,0)

1 3 , C.( 4 4 ) D.

3 1 , (4 4)

二.圆与方程巩固练习 (一)、选择题 1.圆 x ? y ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 关于( B
2 2



A. 直线 x ?

2 成轴对称

B. 直线 y ? ?x 成轴对称 D. 点 (? 2 ,0) 成中心对称

C. 点 (?2, 2 ) 成中心对称
2 2

2.若 x ? y ? (? ? 1) x ? 2? y ? ? ? 0 表示圆,则 ? 的取值范围是( C )

? A. (0, ∞)
2 2

?1 ? 1? ? , B. ? 4 ?
2

1 (1, ∞) ? ( ?∞,) ? 5 C.
2

D.R

3. 圆: x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆: x ? y ? 6 x ? 0 交于 A, B 两点,则 AB 的垂直平分 线的方程是( C )

x? y ?3? 0
C. 3x ? y ? 9 ? 0
2

B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 7 ? 0
2

4. 已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被 C 截得的 弦长为 2 3 时,则 a ? ( A. 2 B. 2 ? 2 C) C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

5.圆 x ? y ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是(
2 2

B )

A.6

B.4
2

C.5
2

D.1

6. 过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有(C) A. 16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条 7. M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与 该圆的位置关系是( C ) A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交 8.圆 x ? y ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是(
2 2

B )

A.6 B.4 (二)、填空题

C.5

D.1
2 2

9. 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切 线, A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是__ 2 2 ______________。 10. 已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 相切; 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 有公共点; 对任意实数 ?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 (D) 对任意实数 k,必存在实数 ?,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是____B D__________(写出所有真命题的代号) (三)、解答题 11. (本小题 12 分)已知圆 C:

? x ? 1?

2

? y2 ? 9

内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 L 交圆

C 于 A、B 两点. 当 L 经过圆心 C 时,求直线 L 的方程; 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 L 的方程;

? x ? 1? (1)已知圆 C:

2

? y2 ? 9

的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜

率为 2,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0

1 y ? 2 ? ? ( x ? 2) 2 (2) 当弦 AB 被点 P 平分时, l⊥PC, 直线 l 的方程为 ,即 x ? 2y ? 6 ? 0 .

12.(本题满分 12 分)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数

f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? x ? R ?



图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令

f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? 0

,由题意 b≠0 且 Δ>0,解得 b<1 且 b≠0.
2

2 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .
2 2

令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 +1 +2× 0-(b+1)+b=0,右边 =0,所以圆 C 必过定点(0,1) .同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .
2 2

三.感悟高考: 1.(2011.湖南)已知圆 C: x ? y ? 12 ,直线 L:4x+3y=25.
2 2

(1)圆 C 的圆心到直线 L 的距离为------5-------------.

1 (2)圆 C 上任一点 A 到直线 L 的距离小于 2 的概率为---- 6 ------------2(2011.课标全国卷)在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 y= x ? 6 x ? 1 与坐标轴的交点都在
2

圆 C 上。 (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A、B 两点,且 OA ? OB,求 a 的值。 (1) x ? y ? 6 x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

(2)a=-1

3.(2013.山东)过点(3,1)作圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线A
2 2

B的方程为( A ) A 2x+y-3=0 C 4x-y-3=0 四. 能力提升: 1.若直线 y=x+k 与曲线 x= k=- 2

B 2x-y-3=0 D 4x+y-3=0

1? y2

恰有一个公共点,则 k 的取值范围是______-1<k≤1 或

2.若圆 ( x ? 1) ? y ? 8 内有一点P(-1,2) ,AB过点P, 若圆上恰有三点到直线A
2 2

B的距离等于 2 ,求直线AB的方程。 x-y+3=0 或 x+y-1=0

3.对任意实数 k,直线(3k+2)x-ky-2=0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 7 ? 0 的位置关系是______
2 2

相交_____. 已知直线 L 过点 P(0,2) ,斜率为 k, 圆 Q: x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 ,圆心为点 Q。
2 2

若直线 L 与圆相切,求直线 L 的方程; 若直线 L 与圆相交于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) 两个不同的点,弦 AB 的中点为 T,问是否存在

常数 k,使得 OT 与 PQ 平行?若存在,求出 k 的值:若不存在,说明理由。

( x ? a ? 6) 2 ? ( y ? a) 2 ? b 2 (b>2)交于不同的两点 C ( x , y 若圆 Q 与圆 M:
3

3

)



x3 ? x 4 y 3 ? y 4 ( x4 , y 4 ) ,且 y 4 ? y3 ? x3 ? x4 ,试分别求 a,b 的取值范围。 D
(1)y=2 或 3x+4y-8=0

3 ?k ?0 (2) 4 ?
(3) a=0,b ? (10,14)


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