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3.3.1《基本不等式》课件(北师大版必修5)


?3.1

基本不等式

1.由不等式性质可知,对任意a,b∈R,(a- b)2 ≥ 0,因此a2+b2 ≥ 2ab.什么时候等号能成立 呢?当且仅当 a=b 时,取等号. ? 2.还记得等差中项和等比中项吗? a+b ? 两个正数a与b的等差中项为 ,正的等 2 比中项为 ab. 5 ? 例如,2与8的等差中项为 ,正的等比中项为 4 ,显然等差中项大于正的等比中项,那么, 对任意正数a,b,这样的关系还成立吗?
?

1.基本不等式 a+b 非负 若 a,b 都是 数,那么 2



ab(当且仅当 a

= b 时,等号成立),称上述不等式为 基本 不等式,其 a+b 中 2 称为 a,b 的算术平均数, ab 称为 a,b 的几
何平均数,该不等式又被称为 均值 不等式.

2.基本不等式的意义 ? (1)几何角度:两个正数的 它们的 几何 平均数. ? (2)数列角度:两个正数的 正的等比 的 中项.
?

算术

平均数不小于

等差中项不小于它们

1 . 不 等 式 m2 + 1≥2m 中 等 号 成 立 的 条 件 是 ( ) ? A.m=1 B.m=±1 ? C.m=-1 D.m=0 ? 解析: m2+1=2m时,m=1.故选A. ? 答案: A
?

2.已知a,b∈R+,且a+b=2,则( ? A.ab≤4 B.ab≥4 ? C.ab≤1 D.ab≥1
?

)

a+b 解析: 由 a,b∈R ,∴ 2 ≥ ab,


∴ ab≤1,∴ab≤1.
?

答案: C

a-c 3.已知 a>b>c,则 ?a-b??b-c?与 2 的大小关系是 ________. 解析: ∵a-b>0,b-c>0, ?a-b?+?b-c? a-c ∴ ?a-b??b-c?≤ = 2 . 2

答案:

a-c ?a-b??b-c?≤ 2 .

1 1 4.当 x>2 时,有 x+ =x-2+ + x-2 x-2 2≥2 1 ?x-2?· +2=4,则当且仅当 x=________时,等 x-2

号成立.

1 解析: 等号成立的条件是 x-2= , x-2 ∵x>2,∴x-2=1,x=3.
?

答案: 3

2 2 ?a+b? a + b ?2 5.求证:? ? 2 ? ≤ 2 . ? ?

证明:

2 2 2 2 2 2 ?a+b? a + b + 2 ab a + b + a + b ? ?2 ≤ ? 2 ? = 4 4 ? ?

a2+b2 = (当且仅当 a=b 时“=”成立). 2

给出下面四个推导过程: b a ①∵a、b 为正实数,∴ + ≥2 a b ba ·=2; ab

②∵x、y 为正实数,∴lgx+lgy≥2 lgx· lgy; 4 ③∵a∈R,a≠0,∴ +a≥2 a 4 · a=4; a

? x? ? y? x y ④∵x、y∈R,xy<0,∴y+x=-[?-y?+?-x?] ? ? ? ?

≤-2

? x?? y? ?- ??- ?=-2. ? y?? x?

根据基本不等式成立的条件逐个检验即可.

其中正确的推导为( ? A.①② ? C.③④
?

)

B.②③ D.①④

b a [解题过程] ①∵a、b 为正实数,∴a、b为正实数,符 合基本不等式的条件,故①的推导正确; ②虽然 x、y 为正实数,但当 x∈(0,1)或 y∈(0,1)时,lgx 或 lgy 是负数,∴②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件, 4 ∴a+a≥2 4 a=4 是错误的. a·

x y x ④由 xy<0,得y、x均为负数,但在推导过程中将整体y
? x? ? y? y +x提出负号后,?-y?、?-x?均变为正数,符合均值不等式 ? ? ? ?

的条件,故④正确.
?

答案: D

a+b [题后感悟] 基本不等式 2 ≥ ab(a≥0,b≥0)反映了 两个非负数的和与积之间的关系.对它的准确掌握要抓住以 下两个方面: (1)定理成立的条件:a、b 都是非负数, (2)“当且仅当”的含义. a+b ①当 a=b 时, 2 ≥ ab的等号成立, a+b 即 a=b? 2 = ab;

a+b ②仅当 a=b 时, ≥ ab的等号成立, 2 a+b 即 2 = ab?a=b.

1.下列不等式的推导过程正确的是________. 1 ①若 x>0,则 cos x+cos x≥2 1 cos x· cos x=2.

? 4? 4 ②若 x<0,则 x+ x=-[(-x)+?-x?] ? ?

≤-2
2

? 4? ?- ?=-4. ?-x?· ? x?

1 1 2 ③x +3+ 2 =x +2+ 2 + 1≥2 x +2 x +2 +1=3.

1 ?x +2?·2 x +2
2

解析: 在①中,由 x>0 不能保证 cos x>0,故不能应 用基本不等式;②由于 x<0,所以-x>0,故可以利用基本 不等式结合不等式的性质推导,推导过程是正确的. ③虽然可以利用基本不等式推导,但等号成立的条件是 1 x +2 = 2 ,即 x2+2=1,这显然不可能,从而等号取不 x +2
2

1 到,因此只能得到 x +3+ 2 >3 x +2
2

?

答案: ②

已知 a、b、c 为正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: a + b + c ≥3.

?

解答本题可先把左边拆开,再按和(或积)为定 值重新组合以后连续使用基本不等式证明即 可.

b c c a a b [证明过程] 左边= + -1+ + -1+ + -1 a a b b c c
?b a? ? c a? ?c b? =?a+b?+?a+ c?+?b+c ?-3. ? ? ? ? ? ?

∵a,b,c 为正数, b a ∴a+b≥2(当且仅当 a=b 时取“=”); c a + ≥2(当且仅当 a=c 时取“=”); a c c b b+ c≥2(当且仅当 b=c 时取“=”).

?b a? ? c a? ?c b? 从而?a+b?+?a+c?+?b+c ?≥6(当且仅当 ? ? ? ? ? ?

a=b=c 时取

等号).
?b a? ? c a? ?c b? ∴?a+b?+?a+c?+?b+c ?-3≥3, ? ? ? ? ? ?

b+c-a c+a-b a+b-c 即 + + ≥3. a b c

?

[题后感悟] 多次使用a+b≥2时,要注意等 号能否成立,累加法是不等式性质的应用, 也是一种常用方法,对不能直接使用基本 不等式的证明需重新组合,形成基本不等 式模型,再使用.

2.已知 a,b,c 为不全相等的正实数, 求证:a+b+c> ab+ bc+ ca.

证明: ∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ac, ∴2(a+b+c)≥2 ab+2 bc+2 ca, 即 a+b+c≥ ab+ bc+ ac, 由于 a,b,c 为不全相等的正实数,等号不成立. ∴a+b+c> ab+ bc+ ac.

已知 a,b,c∈R+且 a+b+c=1.
?1 ??1 ??1 ? 求证:?a-1??b-1??c-1?≥8. ? ?? ?? ?

?

[策略点睛]

[规范作答] 证法一:∵a,b,c∈R ,a+b+c=1, 1-a b+c b c 2 bc 1 ∴a-1= a = a =a+a≥ a . 1 2 ac 1 2 ab 同理b-1≥ b ,c-1≥ c . 上述三个不等式两边均为正,两边分别相乘,
?1 ??1 ??1 ? bc 2 得?a-1??b-1??c-1?≥2· a · ? ?? ?? ?



ac 2 ab b · c =8,

1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3 ∴原不等式成立.

?a+b+c ??a+b+c ??a+b+c ? ? ?? ?? ? 证法二:左边=? -1?? -1?? -1? a b c ? ?? ?? ? ?b c ??a c ??a b ? =?a+a??b+b??c+c ? ? ?? ?? ?

≥2

bc 2 a2 ·

ac 2 b2 ·

ab c2 =8.

∴原不等式成立.
?

[题后感悟] 含条件的不等式证明问题,要将 条件与结论结合起来,寻找出变形的思路,构 造出基本不等式,在条件“a+b+c=1”下, 1的代换一般有上面两种情况,要注意如果两 次使用基本不等式,用传递性证明,有时“=” 不能同时取到.

1 1 1 3.已知 a, b, c∈R , 且 a+b+c=1, 求证: a+b+c≥9.


证明: 证法一:∵a,b,c 为正实数. 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c
?b a? ? c a? ?c b? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c ?≥3+2+2+2=9. ? ? ? ? ? ?

1 1 1 即 + + ≥9. a b c

证法二:∵a,b,c 为正实数,
?1 1 1? 1 1 1 ∴a+b+ c=(a+b+c)?a+b+ c? ? ?

b c a c a b =1+a+a+b+1+b+ c+ c+1
?b a? ? c a? ?c b? =3+?a+b?+?a+ c?+?b+c ?≥3+2+2+2=9. ? ? ? ? ? ?

1 1 1 ∴a+b+ c≥9.

1.基本不等式成立的条件 a+b a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件不相同,前者只要
2 2

求 a,b 都是实数,后者则要求 a,b 都是非负数,可以通过 一些具体数值来验证两个不等式成立的条件. 如(-2)2+32≥2· (-2)· 3 成立,而-2 与 3 的积为-6, -2+3 它没有算术平方根,更谈不上不等式 2 ≥ ?-2?· 3是否 成立了.

这两个不等式都是具有等号的不等式,要特别注意“当 a+b 且仅当 a=b”时, 等号成立的含义, 即 a=b 是 2 = ab成 立的充要条件.

2.不等式的变形 (1)公式 a2+b2≥2ab(a,b∈R)有以下两种变形: a2+b2 ①ab≤ 2 (a,b∈R);
? a2+b2 ? ?a+b?2 ② 2 ≥? ? (a,b∈R). 2 ? ?

a+b (2)不等式 ≥ ab(a≥0,b≥0)有以下变形: 2
?a+b? ?2 ①ab≤? ? 2 ? (a≥0,b≥0); ? ?

a+b ② ab≤ 2 ≤

a2+b2 2 (a≥0,b≥0).

1 1 (3)当 x>0 时 x+ ≥2,当 x<0 时 x+ ≤-2. x x b a (4)a+b≥2(ab>0); b a a+b≤-2(ab<0).

5 ◎已知 0<x<1,试比较 2+log2x+log x与 2-2 5的大小. 2

【错解】

5 ∵2+log2x+ ≥2+2 log2x

5 log2x· log2x

=2+2 5>2-2 5, 5 ∴2+log2x+log x>2-2 5. 2
【错因】 5 当 0<x<1 时,注意到 log2x<0, <0, log2x

因此不能直接应用基本不等式,需进行适当的等价变形.

【正解】

5 ∵0<x<1,∴log2x<0,log x<0. 2

5 ∴-log2x>0,- >0. log2x
? 5 ? ∴(-log2x)+?-log x?≥2 ? 2 ? ? 5 ? ?-log2x??-log x?=2 ? 2 ?

5,

5 即-(log2x+ )≥2 5, log2x 5 ∴log2x+log x≤-2 5, 2 5 ∴2+log2x+log x≤2-2 5. 2



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