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人教B版高中数学选修2-1课件本章末归纳总结3_图文

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

成才之路·数学
人教B版·选修2-1
路漫漫其修远兮吾将上下而求索

空间向量与立体几何 第三章

本章归纳总结 第三章

1

知识结构

2 学后反思

3

专题突破

知识结构

学后反思

空间向量与立体几何要解决的主要问题是:空间向量的基 本定理及基本运算,利用空间向量解决平行与垂直问题,以及 运用法向量,共线的方向向量求夹角与距离问题.
解决上述问题的关键是:首先,类比平面向量的有关运算 去理解空间向量,其次,要结合数形结合的思想去掌握,再 次,对于空间向量在立体几何中的应用要明确概念的本质,例 如方向向量、法向量、二面角、线面角等.最后要善于对规 律、技巧、方法进行总结、归类、明确不同方法的优势.

1.在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时,要结 合空间图形,观察分析各向量在图形中的表示,然后运用运算 法则,把空间向量转化为平面向量解决,并要化简到最简为 止.
在空间向量的加法运算中,如下事实常帮助我们简化运 算:
(1)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指 向末尾向量的终点的向量,求若干个向量的和,可以通过平移 将其转化为首尾相接的向量求和.

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和 为0.
2.向量等式的证明,就是向量化简的过程,可以由一端 证到另一端,也可以两端同时证明至“中间”向量表达式,从 而达到证明等式的目的.
3.共线向量定理包含两个命题,特别是对于两个向量a, b,若存在实数x,使a=xb(b≠0)?a∥b,可以作为以后证明线 线平行的依据,但必然在a(或b)上有一点不在b(或a)上.

4.共面向量定理是判定三个向量是否共面的依据,要证 明三个向量a、b、c共面,只需存在一对实数x,y使a=xb+yc 就可以了.在证明时要结合空间图形,若通过运算得不出a、 b、c的向量等式,x、y就不存在,a、b、c就不共面,但一定要 注意,三个向量共面是指它们所在的基线平行于同一平面或在 同一平面内,并不是指它们的基线一定在同一平面内,利用此 定理可以证明四点共面.

5.在求两个向量的夹角时,可用平移向量的方法观察空间 图形,把其中的一个向量平移到与另一个向量的起点重合,转 化成求平面角的大小,或当平移向量也不能做出时可用数量积 公式 cos<a,b>=|aa|·|bb|求其余弦值,转化为求 a·b,|a|,|b|,进 而得出两个向量的夹角的大小.
6.求两个向量的数量积,要结合图形,把数量积中的各向 量表示成已知的三个不共面的基向量表达式,然后化简求出, 关键是基底的正确选取.

7.在空间图形中求线段的长度可求线段对应向量的模, 用|a|2=a·a来计算,并且要把a表示成已知基向量的表达式用数 量积公式及运算性质求出.
8.平行问题的处理经常采用线线→线面→面面的解题思 路,要注意证明线线平行可以利用向量共线定理,也也可以建 系利用方向向量平行来证,线面平行的证明可以转化为线线平 行来证,也可以让直线垂直于平面的法向量.面面平行的证明 可以转化为线面平行来证也可以结合法向量来证(法向量平 行).

9.垂直问题的处理也是经常采用线线→线面→面面的解 题思路,证明线线垂直经常利用数量积为零来证,线面垂直的 证明可以转化为线线垂直来证,也可以让直线平行于平面的法 向量.面面垂直的证明可以转化为线面垂直来证也可以结合法 向量来证(法向量垂直).
10.异面直线所成的角和两条直线的方向向量所成的角相 等或互补,因此可以先求两条直线的方向向量所成的角然后再 求夹角.但要注意夹角的余弦为负时要取正.
11.三垂线定理及其逆定理经常用来证明线线垂直,在应 用中一定要找好投影面及垂线.

12.设 n 是平面 α 的一个法向量,直线 a?α,若 a⊥n,则 a∥α.设 n 是平面 α 的一个法向量,若 a∥n,则 a⊥α.
13.设 A∈a,B∈a,n 是平面 α 的一个法向量,如果<A→B, n>是一个锐角,则直线 a 与平面 α 所成的角就是<A→B,n>的余 角,即π2-<A→B,n>;如果<A→B,n>是一个钝角,则直线 a 与平 面 α 所成的角就等于<A→B,n>-π2.

14.设α,β是二面角α-l-β的两个面,m,n分别是α,β 的法向量,如果当m,n的起点都在二面角的面内,方向均指向 二面角内部或均指向二面角外部,则这个二面角的大小就是π -<m,n>如果m,n的方向一个指向二面角的内部,另一个指 向二面角的外部,则这个二面角的大小就是<m,n>.
15.两点间的距离求取需要注意向量模的性质及模长公 式.
16.点与面的距离、点与线的距离、线与面的距离、面与 面的距离都要转化为点与点间的距离求取.
17.求解过程中需要注意先作后求.

专题突破

法向量在立体几何中的应用
已知平面α,如果一个向量n的基线与平面α垂直,则向量n 叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.法向量的引进, 对空间夹角与距离问题以及线面与面面位置关系的研究,提供 了一个很方便、实用的工具,其思路明确,易于下手,过程较 为程序化,易于掌握.

[例1] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是

BB1,CD的中点. 求证:平面DEA⊥平面A1FD1.

导学号64150882

[思路分析] 证明面面垂直就是证明平面的法向量垂直.

[证明] 如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz.

令 DD1=2,则有 D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2), F(0,1,0),E(2,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 DEA,平 面 A1FD1 的法向量,
则 n1⊥D→A,n1⊥D→E. ∴???????xx11, ,yy11, ,zz11??··??22, ,02, ,01??= =00, ,∴?????x21x=1+0, 2y1+z1=0.

令y1=-1,得n1=(0,-1,2). 同理可得n2=(0,2,1). 因此n1·n2=(0,-1,2)·(0,2,1)=0,知n1⊥n2. ∴平面DEA⊥平面A1FD1. [方法总结] 证明平面与平面垂直,可以转化为证明两个 平面的法向量垂直.而证明平面与平面平行,可以转化为证明
平面的法向量平行.并且不需要在图形中作出辅助线,使图形
更清楚明了.

[例2] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角 形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中 点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面 ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 导学号64150883
[思考分析] 直线与平面所成的角和直线的方向向量与平 面法向量的夹角是一种互余的关系.
[解析] 如图所示,建立空间直角坐标系
C-xyz.设 CA=2a,则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),
D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(23a,23a,13).

∴G→E=(a3,a3,23),B→D=(0,-2a,1).

∴G→E·B→D=-23a2+23=0,解得 a=1.

∴B→A1=(2,-2,2),G→E=(31,31,32).

设 A1B 与平面 ABD 所成角为 θ,则

→→

4

cos(

π 2



θ)



sinθ=

|BA1·GE| →→



|BA1||GE| 2

3 3×

=2= 6 32 3

2 3.

∴θ



2 arcsin 3 .

[方法总结] 斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向

量所成的角互余,或与该平面的法向量所成的角的补角互余,

故要求斜线与平面所成的角,只要求斜线与该平面的法向量所

成的角即可.

通常设斜线 AB 与平面 α 所成角为 θ(0<θ<π2),





则 cos(π2-θ)=|A→B·n|,即 sinθ=|A→B·n|.

|AB||n|

|AB||n|

立体几何问题的向量求法
本章的综合题中包含线面关系的证明,角的求解及空间距 离的求解,在处理与本章有关的综合问题时,基本方法是向量 法,通过向量的代数运算解决问题,并且要能作图、识图、用 图.
利用向量解决立体几何问题具有快捷、有效的特征.一般 方法如下:先将原问题转化为等价的向量问题,即将已知角转 化为向量的夹角,线段长度转化为向量的模,并用已知向量表 示出来的向量,然后利用向量的运算解决该向量问题,从而原 问题得解.
在近几年的高考中,立体几何问题,都偏重于向量解决.

[例 3] 如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,

AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC;

导学号64150884

(2)设 E 为 BC 的中点,求A→E与D→B夹角的余弦值.

[解析] (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BDC.

(2)由∠BDC=90°及(1)知 DA,DB,DC 两两垂直,不妨设 |DB|=1,以 D 为坐标原点,以D→B,D→C,D→A所在直线为 x,y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得 D(0,0,0),B(1,0,0), C(0,3,0),A(0,0, 3),E(21,23,0),

∴A→E=(21,23,- 3),D→B=(1,0,0),

∴A→E与D→B夹角的余弦值为

cos<A→E,D→B>=

→→ AE·DB →→



1 2

|AE|·|DB| 1×

= 22

22 22 .

4

[方法总结] 利用向量的坐标解决立体几何问题的关键是

在于找准位置,建立适当、正确的空间直角坐标系,难点是在

已建好的坐标系中表示出已知点的坐标,只有正确表示出已知

点的坐标,才能通过向量的坐标运算,实现几何问题的代数化.

思想方法
一、函数与方程思想在空间向量中的应用 在立体几何中,通过建立空间直角坐标系,把空间中的 线、角、距离等问题用数加以表示,然后通过分析变量间的关 系,建立方程或方程组或者构造方程或方程组,使问题获得解 决.有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要用构造方程 或建立函数表达式的方式加以解决.

[例 4] 如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,

∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1.

导学号64150885

(1)设 P 为 AC 的中点.证明:在 AB 上存在一点 Q,使 PQ ⊥OA,并计算AAQB的值;
(2)求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值.

[思路分析] (1)建立空间直角坐标系,利用PQ⊥OA建立 方程求解;(2)列方程组求出两个平面的法向量,转化为向量的 夹角.
[解析] (1)作 ON⊥AB 于点 N,取 O 为坐 标原点,以 OA,ON,OC 所在的直线为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz(如图所 示),则 A(1,0,0),C(0,0,1),B(-21, 23,0).
∵P 为 AC 的中点,∴P(12,0,12).

设A→Q=λA→B(λ∈(0,1)). ∵A→B=(-32, 23,0),∴O→Q=O→A+A→Q =(1,0,0)+λ(-32, 23,0)=(1-32λ, 23λ,0), ∴P→Q=O→Q-O→P=(21-23λ, 23λ,-12). ∵PQ⊥OA,∴P→Q·O→A=0,即21-23λ=0,λ=13. ∴存在点 Q(12, 63,0)使得 PQ⊥OA 且AAQB=3.

(2)记平面 ABC 的一个法向量为 n=(n1,n2,n3),则由 n⊥

C→A ,

n



→ AB

,且

C→A =

(1,0





1)

, A→B =

(-

3 2



3 2



0),



??n1-n3=0, ???-32n1+ 23n2=0, 故可取 n=(1, 3,1).

又平面 OAC 的一个法向量为 e=(0,1,0),

∴cos<n,e>=|nn|·|ee|=?1,

3,51×?·?01,1,0?=

15 5.

根据题图知二面角 O-AC-B 的平面角是锐角, 记为 θ,

则 cosθ=

15 5.

[方法总结] 在用空间向量的运算解决空间线线、线面、 面面的平行、垂直问题,或求空间角(线面角、二面角)等问题 时,主要是利用直线的方向向量和平面的法向量来证明或求值, 运用的主要思想是通过列方程(组)求出未知量,得到直线的方 向向量和平面的法向量,然后进行向量的有关运算.

[例 5] 如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且

平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF

上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2).

导学号64150886

(1)求 MN 的长;

(2)当 a 为何值时,MN 的长最小.

[解析] 方法一:(1)如图①作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ

∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得,

即四边形 MNQP 是平行四边形,

∴MN=PQ.

∵CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴AC=BF=

2,C1P=

a2,B1Q=

a, 2



CP=BQ=

a 2.

∴MN=PQ= ?1-CP?2+BQ2

= ?1- a2?2+? a2?2= ?a- 22?2+12(0<a< 2).

(2)由上得 MN= ?a- 22?2+12, ∴当 a= 22时,MN= 22, 即 M、N 分别移动到 AC、BF 的中点时,MN 的长最小,

最小值为

2 2.

方法二:运用空间直角坐标系的知识,取 BA、BE、BC 所 在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴(如图②)建立空间直角坐标系.
由 M、N 向 AB 作垂线, 则垂足重合,记为 G, 设 BG=x, 则 x= 22a,AG=1- 22a, MG=AG=1- 22a, ∴M( 22a,0,1- 22a),N( 22a, 22a,0).

(1)由空间中两点距离公式,得 |MN|= 02+?- 22a?2+?1- 22a?2 = a2- 2a+1(0<a< 2). (2)由|MN|= a2- 2a+1 = ?a- 22?2+12(0<a< 2),得 当 a= 22时,|MN|min= 22, 此时,M、N 分别是 AC、BF 的中点.

二、转化与化归的思想 转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问 题,复杂问题转化为简单问题,空间问题转化为平面几何问 题.本章中涉及到转化与化归思想的知识有:(1)位置关系的转 化,即平行转化和垂直转化;(2)角的转化;(3)距离的转化.

[例6] 如图所示,在六面体ABCDEFG中,平面ABC∥平

面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,

且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1. (1)求证:BF∥平面ACGD;

导学号64150887

(2)求二面角D-CG-F的余弦值;

(3)求六面体ABCDEFG的体积.

[思路分析] (1)转化为证明线线平

行;(2)利用空间向量法求二面角的余

弦值;(3)六面体需要转化为特殊的几

何体求解.

[解析] 由已知,AD,DE,DG 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系,则 A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0), G(0,2,0),F(2,1,0).

(1)B→F=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2), C→G=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2), ∴B→F∥C→G,∴BF∥CG. 又 BF?平面 ACGD,CG?平面 ACGD, 故 BF∥平面 ACGD. (2)F→G=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0), 设平面 BCGF 的一个法向量为 n1=(x,y,z), 则?????nn11··FC→→GG==-y-22x+z=y=0,0.

令 y=2,则 n1=(1,2,1). 而平面 ADGC 的一个法向量为 n2=(1,0,0),

∴cos<n1,n2>=|nn11|·|nn22|=

6 6.

故二面角

D-CG-F

的余弦值为

6 6.

(3)设 DG 的中点为 M,连接 AM,FM,

则 V =V 六面体 ABCDEFG +V 三棱柱 ADM-BEF 三棱柱 ABC-MFG=DE·S△ADM

+AD·S△MFG=2×12×2×1+2×12×2×1=4.

[方法总结] (1)根据问题的特点转化命题,使原问题转化 为与之相关、易于解决的新问题,是我们解决数学问题的常用 思路.(2)通过等价转化,把证线面平行的问题转化为证线线平 行的问题,把空间角转化为向量的夹角,把不规则几何体转化 为规则几何体.


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