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(可用)7-4均值不等式


1.下列不等式证明过程正确的是( b a A .若 a , b ∈ R ,则 + ≥2 a b lgy≥2 lgx· lgy 4 C.若 x<0,则 x+ ≥-2 x

) ba · =2 ab B .若 x>0 , y>0 ,则 lgx +

4 x· =-4 x )

D.若 x<0,则 2x+2 x>2 2x· 2 x=2
- -

1 2.函数 y=log2(x+ +5)(x>1)的最小值为( x-1 A.-3 B.3

C.4 )

D.-4

3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( A. a<b< ab< a+b 2 a+b B. a< ab< <b 2

a+b C. a< ab<b< 2

D.

a+b ab<a< <b 2 )

4.已知函数 g(x)=2x,且有 g(a)g(b)=2,若 a>0 且 b>0,则 ab 的最大值为( 1 A. 2 1 B. 4 C.2 D.4

1 4 5.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 + 的 m n 最小值为( 3 A. 2 ) 5 B. 3 25 C. 6 ) D.不存在

1 a 6.“a= ”是“对任意的正数 x,2x+ ≥1”的( 8 x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 a+1 c+1 7. 已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0, +∞), 则 + 的最小值为( c a A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 ) )

2 1 8.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y A.m≥4 或 m≤-2 B.m≥2 或 m≤-4
* x

C.-2<m<4

D.-4<m<2

9.已知所有的点 An(n,an)(n∈N )都在函数 y=a (a>0,a≠1)的图像上,则 a3+a7 与 2a5 的 大小关系是( ) D.a3+a7 与 2a5 的大小关系与 a

A.a3+a7>2a5 B.a3+a7<2a5 C.a3+a7=2a5 的值有关

10.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓 x 储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与 8 仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 B.80 件
1

) C.100 件 D.120 件

11. 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙, 若用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场 地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形 ( 如图所示 ) ,则围成场地的最大面积为 ________(围墙的厚度不计).

12.设 x>0,y>0,且(x-1)(y-1)≥2,则 xy 的取值范围为__________. 1 13.若 a>0,b>0,a+b=1,则 ab+ 的最小值为________. ab x y + 14.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 15.已知 x>0,y>0,2x+y=1,则 xy 的最大值为__________. 16.若 x,y∈R,且 x+2y=5,则 3x+9y 的最小值________. 17.已知 f(x)=log2(x-2),若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值是________. x 18. 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 1 1 m 19 设 x>0,y>0,不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 m 的最小值是________. x y x+y 2 20. 已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a ________. → → 21.在△ABC 中,已知 BC=2,AB· AC=1,则△ABC 面积的最大值是________. 4 22.若 x>1,则 x+ 的最小值为________. x-1 23.设有两个命题:①不等式 2004x+4>m>2x-x2 对一切实数 x 恒成立;②函数 f(x)=-(7 -2m)x 是 R 上的减函数.使这两个命题都是真命题的充要条件,用 m 可表示为________. 24.已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是________________. 1 25.设函数 f(x)=x- .对任意 x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围 x 是____________. 26.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元,一年的总存储费用(单位:万元)恰好为每次的购买吨数,要使一年的总运费与总存储 费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________.

2

27.已知 a、b、c 都是正实数,且满足 log9(9a+b)=log3 ab,求使 4a+b≥c 恒成立的 c 的 取值范围.

28.如图,在半径为 30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 A, B 在直径上,点 C,D 在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁 和拼接铝耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.

→ → 29. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, -1), B 点在直线 y=-3 上, M 点满足MB∥OA, → → → → MA· AB=MB· BA,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; 小值. (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最

3

1.下列不等式证明过程正确的是( b a A.若 a,b∈R,则 + ≥2 a b 4 C.若 x<0,则 x+ ≥-2 x 答案 D 解析

) ba · =2 ab B.若 x>0,y>0,则 lgx+lgy≥2 lgx· lgy D.若 x<0,则 2x+2 x>2 2x· 2 x=2
- - - - -

4 x· =-4 x

∵x<0,∴2x∈(0,1),2 x>1,∴2x+2 x>2 2x· 2 x=2,

∴D 正确,而 A、B 首先不满足“一正”,C 应当为“≤”. 1 2.函数 y=log2(x+ +5)(x>1)的最小值为( x-1 A.-3 答案 B 解析 B.3 ) D.-4 1 ?x-1?· +6=2+6=8, x-1

C.4

1 1 x+ +5=(x-1)+ +6≥2 x-1 x-1

当且仅当 x-1=

1 1 即 x=2 时取“=”号.∴y=log2(x+ +5)≥log28=3. x-1 x-1 ) a+b C.a< ab<b< 2 D. a+b ab<a< <b 2

3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( A. a<b< ab< 答案 a+b 2

a+b B.a< ab< <b 2

B 解析

代入 a=1, b=2, 则有 0<a=1< ab= 2<

a+b a+b =1.5<b=2.我们知道算术平均数 与 2 2

几何平均数 ab的大小关系,其余各式作差(作商)比较即可,答案为 B. 4.已知函数 g(x)=2x,且有 g(a)g(b)=2,若 a>0 且 b>0,则 ab 的最大值为( A. 1 2 B 解析 1 B. 4 C.2 D.4 )

答案

a+b 2 1 + ∵2a2b=2a b=2,∴a+b=1,ab≤( ) = ,故选 B. 2 4 )

1 4 5.已知正项等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 + 的最小值为( m n A. 3 2 A 解析 5 B. 3 25 C. 6 D.不存在

答案

由题意可知,a5q2=a5q+2a5,化简得 q2-q-2=0,解得 q=-1(舍去)或 q=2,又由
- - +n-2

m 已知条件 aman=4a1,得 a1qm 1· a1qn 1=16a2 1,∴q

1 4 1 4 m+n =16=24,所以 m+n=6.所以 + =( + )× m n m n 6

1 4m n 1 = ×(5+ + )≥ ×(5+2 6 n m 6

4m n 3 4m n × )= ,当且仅当 = ,即 n=2m 时取“=”. n m 2 n m ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1 a 6.“a= ”是“对任意的正数 x,2x+ ≥1”的( 8 x A.充分不必要条件 答案 A 解析 B.必要不充分条件

1 令 p:“a= ” 8

a q:“对任意的正数 x,2x+ ≥1” x 1 2x· =1,即 q 成立,p?q; 8x

1 a 1 若 p 成立,则 a= ,则 2x+ =2x+ ≥2 8 x 8x

1 若 q 成立,则 2x2-x+a≥0 恒成立,解得 a≥ ,∴q? / p.∴p 是 q 的充分不必要条件. 8

4

7.已知二次函数 f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 A.4 答案 A 解析 B.4 2 C.8

a+1 c+1 + 的最小值为( c a D.8 2

)

∵f(x)=ax2+2x+c 的值域为[0,+∞),

1 +1 a+1 c+1 a+1 a 1 1 1 则由 Δ=0,a>0 得 c= ,∴ + = + =a2+a+ 2+ a c a 1 a a a a 1 1 1 =(a2+ 2)+(a+ )≥4(当且仅当 a= 即 a=1 时取等号). a a a 2 1 8.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y A.m≥4 或 m≤-2 答案 D 解析 B.m≥2 或 m≤-4 C.-2<m<4 )

D.-4<m<2 4y x ·=8,当且 x y

2 1 2 1 4y x ∵x>0,y>0,且 + =1,∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 x y x y x y

4y x 2 1 仅当 = ,即 4y2=x2,x=2y 时取等号,又 + =1,此时 x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2 x y x y +2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 9. 已知所有的点 An(n, an)(n∈N*)都在函数 y=ax(a>0, a≠1)的图像上, 则 a3+a7 与 2a5 的大小关系是( A.a3+a7>2a5 答案 A 解析 B.a3+a7<2a5 C.a3+a7=2a5
*

)

D.a3+a7 与 2a5 的大小关系与 a 的值有关

因为所有的点 An(n,an)(n∈N )都在函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像上,所以有 an=an,

故 a3+a7=a3+a7, 由基本不等式得: a3+a7>2 a3· a7=2a5(因为 a>0, a≠1, 从而等号不成立), 又 2a5=2a5, x 10.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天, 8 且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生 产产品( ) B.80 件 C.100 件 D.120 件 800 x 800 , 存储费用是 , 总的费用是 x 8 x

A.60 件 答案 x + ≥2 8 B 解析

若每批生产 x 件产品, 则每件产品的生产准备费用是

800 x 800 x · =20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80. x 8 x 8

11.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,若用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同 样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计).

答案

2500 m2

解析 设所围场地的长为 x, 则宽为

200-x 200-x , 其中 0<x<200, 场地的面积为 x× 4 4

1 x+200-x 2 ≤ ( ) =2500 m2,等号当且仅当 x=100 时成立. 4 2 12.设 x>0,y>0,且(x-1)(y-1)≥2,则 xy 的取值范围为__________. 答案 [3+2 2,+∞) 解析 (x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1≤xy-2 xy+1,

又(x-1)(y-1)≥2,即 xy-2 xy+1≥2,∴ xy≥ 2+1,∴xy≥3+2 2. 5

1 13.若 a>0,b>0,a+b=1,则 ab+ 的最小值为________. ab 答案 17 解析 4 a+b 2 1 1 ab≤( ) = ,当且仅当 a=b= 时取等号. 2 4 2

1 1 1 1 17 y=x+ 在 x∈(0, ]上为减函数.∴ab+ 的最小值为 +4= . x 4 ab 4 4 x y + 14.已知 x,y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 答案 x y 3 解析 因为 1= + ≥2 3 4 xy · =2 34 xy = 12 xy x y 3 ,所以 xy≤3,当且仅当 = ,即 x= ,y=2 3 3 4 2

时取等号,故 xy 的最大值为 3. 15.已知 x>0,y>0,2x+y=1,则 xy 的最大值为__________. 答案 2x+y 2 1 1 1 1 1 1 解 2xy≤( ) = ,∴xy≤ ,(当且仅当 2x=y 即 x= ,y= 时取“=”号.)∴xy 的最大值为 . 8 2 4 8 4 2 8

16.若 x,y∈R,且 x+2y=5,则 3x+9y 的最小值________. 答案 18 3解析 3x+9y≥2 3x· 9y=2· 3x
+2y

=2· 35=18 3.

17.已知 f(x)=log2(x-2),若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值是________. 答案 7 解析 ∵log2(m-2)+log2(2n-2)=log2(m-2)(2n-2)=3,∴(m-2)(2n-2)=23=8,且 m-

m-2+n-1 2 2>0,2n-2>0,∵4=(m-2)(n-1)≤( ) ,∴m+n≥7. 2 18. x 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 【答案】 x +3x+1 1 [ ,+∞) 5

【解析】 若对任意 x>0, = x = x2+3x+1 1 ≤ 1 x+ +3 2 x

x x ≤a 恒成立,只需求得 y= 2 的最大值即可.因为 x>0,所以 y x2+3x+1 x +3x+1 1 1 = ,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a 的取值范围是[ ,+∞). 5 5 1 x· +3 x -4 1

19

1 1 m 设 x>0,y>0,不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 m 的最小值是________. 【答案】 x y x+y 【解析】 原问题等价于

m 1 1 1 1 ≥-( + )恒成立,∵x>0,y>0,∴等价于 m≥-( + )(x+y)的最大值, x y x y x+y

1 1 y x 而-( + )(x+y)=-2-( + )≤-2-2=-4,当且仅当 x=y 时取“=”,故 m≥-4. x y x y 20. 2 已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为________. x-a 2 2 【解析】 因为 x>a, 所以 2x+ =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a 3 3 3 所以 a≥ ,即 a 的最小值为 .【答案】 2 2 2 → → 21.在△ABC 中,已知 BC=2,AB· AC=1,则△ABC 面积的最大值是________. → → 答案 2 解析 设 AB=x,AC=y,则AB· AC=xycosA=1, x2+y2 又 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cosA,BC=2,所以 x2+y2=6.又 x2+y2≥2xy,所以 xy≤ =3, 2 1 1 1 1 1 所以 S△ABC= AB· AC· sinA= xy 1-cos2A= x2y2-x2y2cos2A= x2y2-1≤ 32-1= 2,故填 2. 2 2 2 2 2 6 2 2?x-a?· +2a=2a+4, 即 2a+4≥7, x-a

22.若 x>1,则 x+ 答5 解 x+

4 的最小值为________. x-1 4 4 ?x-1?· +1=5,等号当且仅当 x-1= ,即 x=3 时成立. x-1 x-1

4 4 =x-1+ +1≥2 x-1 x-1

23.设有两个命题:①不等式 2004x+4>m>2x-x2 对一切实数 x 恒成立;②函数 f(x)=-(7-2m)x 是 R 上的 减函数.使这两个命题都是真命题的充要条件,用 m 可表示为________. 答案 1<m<3 解析 由命题①得 4>m>1=(2x-x2)max, 由命题②得 7-2m>1, 即 3>m, 从而可得 1<m<3.

24.已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的 最大值是________________. 答案 3 解析 设 P 到 AC、BC 的距离分别为 x,y,则 0≤x≤3,0≤y≤4, xy= 1 1 4x+3y 2 · (4x)· (3x)≤ · ( ) =3,(当且仅当 4x=3y, 12 12 2

x 4- y 在△ABC 中, = ,即 4x+3y=12, 3 4

?x=3 即? 2 ?y=2

时等号成立),∴P 到 AC、BC 距离的乘积的最大值为 3.

1 25.设函数 f(x)=x- .对任意 x∈[1, +∞), f(mx)+mf(x)<0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是____________. x 答案 (-∞,-1) 解析 由题知,mx- 1 m 1 1 +mx- <0 在[1,+∞)上恒成立,即 2mx<( +m) ,显 mx x m x

1 +m m 然 m≠0.当 m>0 时,即 >x2 在[1,+∞)上恒成立,由于函数 g(x)=x2 无最大值,此时不存在满足题意 2m 1 1 +m +m m m 的 m;当 m<0 时,即 <x2 在[1,+∞)上恒成立,即 <1,即 m2>1,解得 m<-1,即 m 的取值范围 2m 2m 是(-∞,-1). 26.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元,一年的总 存储费用(单位:万元)恰好为每次的购买吨数,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该 种货物的吨数是________. 答案 20 解析 设每次购买该种货物 x 吨,则需要购买 200 200 400 次,则一年的总运费为 ×2= ,一年 x x x 400 400 · x=40,当且仅当 =x,即 x=20 x x

的总存储费用为 x,所以一年的总运费与总存储费用为

400 +x≥2 x

时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物 20 吨.

27.已知 a、b、c 都是正实数,且满足 log9(9a+b)=log3 ab,求使 4a+b≥c 恒成立的 c 的取值范围. 答案 0<c≤25 解析 因为 a、b 都是正实数,log9(9a+b)=log3 ab,所以 log3(9a+b)=log3(ab),故 36a b · =25,即 4a+b≥25,当 b a

9 1 9 1 36a b 9a+b=ab,故 + =1,所以 4a+b=(4a+b)( + )=13+ + ≥13+2 b a b a b a

36a b 且仅当 = ,即 b=6a 时等号成立.而 c>0,所以要使 4a+b≥c 恒成立,c 的取值范围为 0<c≤25. b a

7

28.如图,在半径为 30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 A,B 在直径上,点 C,D 在圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗), 应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.

解析

(1)连结 OC.设 BC=x,矩形 ABCD 的面积为 S.则 AB=2 900-x2,其中 0<x<30.

所以 S=2x 900-x2=2 x2?900-x2?≤x2+(900-x2)=900. 当且仅当 x2=900-x2,即 x=15 2时,S 取最大值 900 cm2. 答:取 BC 为 15 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900 cm2. (2)设圆柱底面的半径为 r,高为 x,体积为 V. 由 AB=2 900-x2=2πr,得 r= 900-x2 1 ,所以 V=πr2x= (900x-x3),其中 0<x<30. π π

1 由 V′= (900-3x2)=0,得 x=10 3. π 1 因此 V= (900x-x3)在(0,10 3)上是增函数,在(10 3,30)上是减函数. π 所以当 x=10 3时,V 取最大值为 6000 3 3 cm . π 6000 3 3 cm . π → → → → → →

答:取 BC 为 10 3cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为

29. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, -1), B 点在直线 y=-3 上, M 点满足MB∥OA, MA· AB=MB· BA, M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; 解析 (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). → → →

所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2). 1 再由题意可知(MA+MB)· AB=0,即(-x,-4-2y)· (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程为 y= x2-2. 4 1 1 1 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x2-2 上一点,因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 4 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 x0x-2y+2y0-x2 0=0. 2 则 O 点到 l 的距离 d= 1 2 x +4 2 0 x2 0+4 |2y0-x2 0| x2 0+4 1 .又 y0= x2 -2, 4 0 → → →

所以 d=

1 4 = ( x2 )≥2,当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 0+4+ 2 x2 0+4 8


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2高三第一轮复习用均值... 6页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...3) ;特别地: ; 4) 5) 6) 7) 规律方法指导 ; ; 1.两个不等式: 都...
均值不等式应用(技巧).doc
4页 免费 2高三第一轮复习均值... 6页 1财富值 均值不等式的几点应
巧用“均值不等式”_图文.pdf
均值不等式” - 舔 科研 究 学 规律进行 推理 ( 收敛和发散 ) 的
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4 ? 2? 技巧三: 分离 例 3. 求 y? x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1...条件不结论均为和的形式,设法直接基本丌等式,应通过平方化函数式为积的形式...
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( + ) min = 8 评析:在应用均值不等式时,有时可以单独利用其中的一种变形...(4)7.设 0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则 x + 的最小值为 ( 1-x...
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几何平均数的定理,并会简单应 用. 教学目标: 1.使学生进一步掌握算术平均数与...均值不等式及其应用 暂无评价 10页 2下载券 7-4基本(均值)不等式及其... ...
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利用均值不等式求值域 - ■四川 何成宝 ‘‘半≥2以万(。>o,6>o),,是一个重要的基本不等式,可以求函数 的值域.在应用该不等式时,务必注意其条件:一是...
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