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《高三数学总复习》数学理新课标A版一轮总复习课件 第6章 不等式、推理与证明-7_图文

第六章 不等式、推理与证明 第七节 数学归纳法 课前学案 基础诊断 课堂学案 考点通关 自主园地 备考套餐 开卷速查 考 纲 导 学 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 课前学案 基础诊断 夯基固本 基础自测 1.归纳法 1 __________的推理方法叫 由一系列有限的特殊事例得出 □ 归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分 2 ____________归纳法和□ 3 ______________归纳法. 可分为□ 2.数学归纳法 (1)数学归纳法:一个与自然数相关的命题,如果:①当n 取第1个值n0时命题成立;②假设当n=k,(k∈N+,且k≥n0时, 命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断 定这个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤: 4 ____时,命题成立. ①(归纳奠基)证明当n取第一个值□ 5 ________(k≥n0,k∈N*)时命题成立, ②(归纳递推)假设□ 6 ________时命题也成立. 证明当□ 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立. 1 一般结论 答案:□ 5 n=k □ 6 n=k+1 □ 2 完全 □ 3 不完全 □ 4 n=n0 □ 1种方法——寻找递推关系的方法 (1)在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出 来,这样对发现递推关系是有帮助的. (2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律, 观察n处在哪个位置. (3)在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其 是f(k)中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要 分析清楚. 3个注意点——运用数学归纳法应注意的三个问题 (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合 适的起始值. (2)由假设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定要运 用n=k成立的结论. (3)要注意n=k到n=k+1时增加的项数. 1 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 2 n(n-3)条 时,第一步检验n等于( A.1 B.2 ) C.3 D.0 解析:边数最小的凸多边形是三角形. 答案:C 1 1 1 1 2.已知f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=2+3 ) 1 1 1 B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有n -n项,当n=2时,f(2)=2+3 2 1 1 1 D.f(n)中共有n -n+1项,当n=2时,f(2)=2+3+4 2 解析:项数为n2-(n-1)=n2-n+1. 答案:D 3.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)?(n+n)=2n· 1· 3· ?· (2n -1)(n∈N*),从“k到k+1”左端需增乘的代数式为( A.2k+1 2k+1 C. k+1 B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 ) 解析:n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)?[(k+1)+(k-1)]· [(k+ 1)+k](2k+2)=(k+1)(k+2)?(k+k)· (2k+1)· 2,∴应增乘2(2k+ 1). 答案:B 4.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1) =f(k)+__________. 解析:由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形,故 f(k+1)=f(k)+π. 答案:π 5.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k +1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________. 解析:∵由n=k成立推证n=k+1成立时必须用上归纳假设, ∴(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6. 答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6 课堂学案 考点通关 考点例析 通关特训 考点一 * 用数学归纳法证明等式 1 1 1 1 1 【例1】 已知n∈N ,证明:1- 2 + 3 - 4 +?+ - = 2n-1 2n 1 1 1 + +?+2n. n+1 n+2 1 1 证明:(1)当n=1时,左边=1-2=2, 1 右边=2,等式成立; (2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即 1 1 1 1 1 1-2+3-4+?+ - 2k-1 2k 1 1 1 = + +?+ , 2k k+1 k+2 那么当n=k+1时, 1 1 1 1 1 1 1 左边=1-2+3-4+?+ -2k+ - 2k-1 2?k+1?-1 2?k+1? ? 1 1 1? 1 1 ? ? + + ? + =?k+1 k+2 + - 2k ? ? ? 2k+1 2?k+1? ? 1 1 1 1 1 1 ? = + +?+ + +?k+1-2?k+1? 2 k k+2 k+3 2k+1 ? ? ? ? ? 1 1 1 1 = + +?+ + ?k+1?+1 ?k+1?+2 ?k+1?+k ?k+1?+?k+1? =右边, 所以当n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知对一切n∈N*,等式都成立. ?名师点拨 用数学归纳法证明等式的方法 (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两 边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时命题成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等 式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进 行合理变形,正确写出证明过程. 1 1 1 通关特训1 f(n)=1+ + +?+ (n∈N*). 2 3 n 求证:f(1)+f(2)+?+f(n-1)=n· [f(n)-1](n≥2,n∈N*). 证明:当n=2时,左边=f(1)=1.

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