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7347高一数学椭圆的简单几何性质测试题

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2.1.2 椭圆的简单几何性质(一) 教学目标: 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点(截距). 重点难点分析 教学重点:椭圆的简单几何性质. 教学难点:椭圆的简单几何性质. 教学设计: 【复习引入】 1. 椭圆的定义是什么? 2. 椭圆的标准方程是什么? 【讲授新课】 利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质.以焦点在 x 轴上椭圆为例 x2 y2 ? ? 1 (a>b>0). a 2 b2 1.范围 椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式 ≤b. 椭圆位于直线 x=±a 和 y=±b 围成的矩形里. 2.对称性 在椭圆的标准方程里,把 x 换成-x,或 把 y 换成-y,或把 x、y 同时换成-x、-y 时, 方程有变化吗?这说明什么? 椭圆关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的. 坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3.顶点 只须令 x=0,得 y=±b,点 B1(0,-b)、B2(0, b)是椭圆和 y 轴的两个交点;令 y=0, x2 y2 ? 1 , ? 1, 即 x2≤a2,y2≤b2,∴|x|≤a,|y| a2 b2 y b B2 A1 -a F1 O -b B1 A2 F2 a x 得 x=±a,点 A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和 x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A1(-a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, -b)、B2(0, b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. y 线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长. |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a. 在 Rt△OB2F2 中,|OF2| =|B2F2| -|OB2| , 即 c =a -b . 小 结 : 2 2 2 2 2 2 B2 b a A A1 2 x F1 O c F2 B1 由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得到较 正确的图形. 4.离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? c ,叫做椭圆的离心率.∵a>c>0,∴0<e<1. a y (1)当e越接近 1时,c越接近 a,从而 b ? a2 ? c2 越小,因此椭圆越扁; O x ( 2)当e越 接 近 0时 ,c越 接 近 0, 从 而 b越 接 近 a, 因此椭圆越接近于圆; (3)当且仅当 a ? b时,c ? 0,两焦点重合,图形变 为圆,方程成为 x2 ? y2 ? a2 . 练习 教科书 P.41 练习第 5 题. 例 1 求椭圆 16x +25y =400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用 描点法画出它的图形. 解:把已知方程化成标准方程 2 2 x2 y2 ? ? 1, 这里 a=5,b=4,所以 c ? 25 ? 16 ? 3. 52 42 c . a e? 椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=8, 离 心 率 焦点为 F1(-3, 0)、F2(3, 0),顶点是 A1(?5,0)、A2(5,0),B1(0,?4)、B2(0,4). 把已知方程化成标准方程 x2 y2 ? ? 1, 52 42 A1 y B2 F2 A2 在0 ? x ? 5的范围内算出几个点的 坐标( x, y) : x y 0 4 1 3.9 2 3.7 3 3.2 4 2.4 5 0 F1 O B1 x 先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆. 椭圆的简单作法: (1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形; (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点; (3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆. 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 经过点 P(-3, 0)、Q(0,- 2); 3 ( 2) 长 轴 的 长 等 于 20, 离 心 率 等 于 . 5 解: (1)由椭圆的几何性质可知, 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点. 即 P、Q 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点. 于是得 a=3,b=2. x2 y2 ? ? 1. 又因为长轴在 x 轴上,所以椭圆的标准方程是 9 4 (2) 由已知,2a=20 , e ? c 3 ? , ∴a=10 ,c=6. ∴b2=102-62=64. a 5 ∵椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上, ∴所求椭圆的标准方程为 x2 y2 ? ?1 或 100 64 y2 x2 ? ? 1. 100 64 练习 求经过点 P (4, 1),且长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆的标准方程. x2 y2 x轴 上 , 设 椭 圆 方 程 为 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 解: 若 焦 点 在 a b ?a ? 2b ? 依题意有 ? 16 1 ? ?1 ? ? a 2 b2 ?a ? 2 5 ?b ? 5 得得: ? 故椭圆方程为 x2 y2 ? ? 1. 20 5 同理求得椭圆方程为: 若焦点在 y轴上, x2 y2 y2 x2 ? 1或 ? ? 1. 所以椭圆的标准方程为 : ? 20 5 65 65 4 【课后作业】 1. 阅读教科书 P.40-P.41; 2. 《习案》 、 《学案》11

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