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微积分教案3.2

第三章 导数与微分 §3.1 引出导数概念的例题 1.物体作变速直线运动的速度: 设 到 s ? f (t )是物体作直线运动路程 s t 对时间 的函数, 当 由 t t0 改变 t0 ? ?t 时,路程 s 的改变量 ?s ? f (t0 ? ?t ) ? f (t0 ), 平均速度 v ? ?s . ?t 存在,则称此极限为物体在 如果 ?s lim ?t ? 0 ?t v t ?t 0 t0 时刻的瞬时速度,即 ?s ? lim ?t ?0 ?t . 2.曲线上点的切线斜率: 设曲线 为曲线上一动点. 作割线 点 y ? f (x), M ( x0 , y0 ) 为曲线上一定点, M (x MM1,设其与 x 轴正向的夹角为 ? 1 0 ? ?x , y0 ? ?y) ,割线 MM1的斜率为 ?y . tan ? ? ?x 如果 lim ?x ?0 ?y 存在,则称此极限为曲线上定点 M 的切线斜率,即 ?x 其中 ? tan ? ? lim tan ? ? lim ?x ?0 ?x ?0 为点 M 的切线与 x ?y , ?x 轴正向的夹角. §3.2 导数概念 1.设 y ? f ( x) x0 在点 的某邻域内有定义,如果 lim ?x?0 f ( x) ? f ( x0 ) ?y 或 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 或 lim ?x ? 0 ?x lim ?x x? x x? x 0 0 存在,则称此极限为 f ( x)在点 x0 处的导数(或微商),记作 f ?( x0 ), y? x ? x ------微积分教案 第三章 导数与微分 第1页 共 19 页------ , 0 dy dx 或 x? x 0 . d f ( x) x? x 0 dx 1 y(1??x)? y(1) .解 P 1) ? lim 137 y?( ?x?0 ?x 1?2(1? ?x)2 ?(1?2?12) ? lim ?x?0 ?x ? lim(?2?x ? 4) ?x?0 ? ?4 练习 1.若 ① f ( x)在 x ? a 处的导数为 A,求: f (a ? ?x) ? f (a ? ?x) . ?x . lim ?x ? 0 ② lim t ?0 lim ?x?0 f (a ? 2t ) ? f (a) . t 解: ① f (a??x)? f (a??x) ?x ? lim ?x?0 [ f (a??x)? f (a)]?[ f (a??x)? f (a)] ?x ? lim ?x?0 ? 2 f ?(a) ? 2 A. ② f (a??x)? f (a) f (a??x)? f (a) ? lim ?x?0 ?x ??x lim t ?0 f (a ? 2t ) ? f (a) t f (a ? 2t ) ? f (a) 2t ? 2 lim t ?0 ? 2 f ?(a) ? 2 A. ------微积分教案 第三章 导数与微分 第2页 共 19 页------ 练习 2.设 解: 由于 g ( x)在 x ? c处连续, f ( x) ? ( x f ( x ) ? f (c ) x ?c 2 g ( x)在 x ? c处连续,所以lim g ( x) ? g (c). x ?c ? c 2 ) g ( x),求 f ?(c). f ?(c) ? lim x ?c 2.设 ? 2cg (c) y ? f ( x ) ( a , b) . 在 ( x2 ?c2 ) g ( x)?0 ? lim x?c x?c ? lim( x ? c) g ( x) x?c 内有定义,如果对 (a , b)内每一点 x , . lim ?x ?0 f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x 存在, 则称此极限为 f ( x)在(a , b)内对 x 的导函数,简称为导数,记作 f ?( x),y?,dy或 d dx dx f ( x) P 2 ⑵.解: 137 1 ?1 dy (x ? ?x)2 x2 ? lim dx ?x?0 ?x ?2x??x ? lim 2 2 ?x ?0 ( x ? ?x) x 练习 3.若 证: 由于 f ( x)为定义在(?a , a)内可导的奇函数,则 f ?( x)为偶函数. (? x) ? ? f ( x) . f (? x ? ?x) ? f (? x) ?x . 2 ?? 3 x f ( x)为奇函数,所以 f f ?(? x) ? lim ?x ? 0 ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ? 0 ? ?x ? lim ?x ? 0 ------微积分教案 第三章 导数与微分 第3页 共 19 页------ 故 f ?( x)为偶函数. ? f ?( x) , 3.导数的物理意义: 物体直线运动路程 s 对时间 的导数是物体运动的瞬时速度,即 t v ? ds . dt 4.导数的几何意义: 函数 点 y ? f ( x) x0 在点 处的导数 f ?( x0 )就是曲线 y ? f ( x)上 M ( x0 , y0 )处的切线的斜率. 5.设 y ? f ( x ) 在点 x0 的某左邻域内有定义,如果 ?x ?0 lim? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x 存在,则称此极限为 f ( x)在点 x0 处的左导数,记作 f ??( x0 )或 y? ? . x? x 0 6.设 y ? f ( x)在点 x0 的某右邻域内有定义,如果 ?x ?0 lim? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x 存在,

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