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上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编 专题四 数列 文

专题四 数列
汇编 2013 年 3 月 (杨浦区 2013 届高三一模 文科)16.若无穷等比数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n ,首项为 1 , 公比为 a ?

3 ,且 lim S n ? a , n?? 2 1 ( n ? N* ),则复数 z ? 在复平面上对应的点位于 a?i

???(



( A) 第一象限.
16. (D) ;

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

( 闵 行 区 2013 届 高 三 一 模

文 科 ) 18 . 数 列

?an ?

满 足 a1 ? a2 ? 1 ,

an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos
[答] ( ) (A) ?672

2n? (n ? N ? ) , 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 S2012 的 值 为 3
(B) ?671 (C) 2012

(文) 数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 项和为 Sn ,则 S2013 的值为 (A) 2013 18.D. (B) 671 (C) ?671

2n? (n ? N ? ) , 若数列 ?an ? 的前 n 3
[答] ( (D) ?
671 2

(D) 672

)

? ?n, 当n ? 2k ? 1 (虹口区 2013 届高三一模)18、数列 {an } 满足 an ? ? ,其中 k ? N ,设 ?ak , 当n ? 2k

) f (n) ? a1 ? a2 ? ?? a2n ?1 ? a2n ,则 f (2013 ? f (2012) 等于(
A. 22012
18、C;

).

B. 22013

C. 4 2012

D. 42013

(奉贤区 2013 届高三一模)17、 (理)已知 Sn 是等差数列 {an }(n ? N * ) 的前 n 项和,且

S6 ? S7 ? S5 ,有下列四个命题,假命题的是( ...
A.公差 d ? 0 ; C.满 足 S n ? 0 的 n 的个数有 11 个; 17. 理 C

) B.在所有 S n ? 0 中, S13 最大; D. a6 ? a7 ;

(奉贤区 2013 届高三一模)17、 (文)已知 Sn 是等差数列 {an }(n ? N ) 的前 n 项和,且
*

S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是 A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值.



) B. a7 ? 0 ;
1

C.公差 d ? 0 ; 文D

D. S9 ? S5 ;

(金山区 2013 届高三一模)10.A、B、C 三所学校共有高三学生 1500 人,且 A、B、C 三所 学校的高三学生人数成等差数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生 中抽取容量为 120 的样本, 进行成绩分析, 则应从 B 校学生中抽取_________人. 10. 40

(浦东新区 2013 届高三一模 文科) 若 x1 ,x2 ,x3 , ?,x2013 的方差为 3 , 3 x1 ,3 x2 , 17. 则

3 x3 , ?, 3 x2013 的方差为( D )
( A) 3 ( B) 9 (C ) 18 ( D) 27

(普陀区 2013 届高三一模 文科)6. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 14 ,

S7 ? 70 ,则数列 {an } 的通项公式
为 . 6. an ? 3n ? 2 ( n ? N )
*

(杨浦区 2013 届高三一模 文科) 设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 8.

4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的两根, 则数列 {an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________. 2013; 8.

(浦东新区 2013 届高三一模 文科)14. 1, 2, 3, 4, 5 共有 5! 种排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 满足“对所有 k ? 1, 2, 3, 4, 5 都有 ak ? k ? 2 ”的不同排列有 54 种. (奉贤区 2013 届高三一模)14、 (理)设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为 数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )]2 ? a1a5 ?

? 的等差 8 13 2 .14.理 ? 16

(杨浦区 2013 届高三一模 文科) 18. 已知数列 ?an ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比 数列( n ? N* ). 对于函数 y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函数”. 现有定义在 (0,?? )上的如下函数:① f ( x) ?

1 , x



f ( x) ? x2 ,

③ f ( x) ? e x ,

④ f ( x) ?

x ,则为“保比差数列函数”的所有

2

序号为

???(



( A)

①②.

(B )

③④.

(C )

①②④.

(D) ②③④ .

18. (C ) . (嘉定区 2013 届高三一模 文科)4.一组数据 8 , 9 , x , 11 , 12 的平均数是10 ,则这 组数据的方差是_________. 4. 2 (浦东新区 2013 届高三一模 文科)7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的 前 13 项的和 S13 ?

52

.

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)4.若数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 3 (n ? N*) ,则

lim

an?1 ? an?2 ? n→? 4n

.4.

1 ; 2

(静安区 2013 届高三一模 文科) 11.(文) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2( n ? N * ) , 对 任 意 正 整 数 n , 数 列 ?bn ? 的 项 都 满 足 等 式 an?1 ? 2an an?1bn ? an ? 0 , 则
2 2

bn =

.

11. (文) bn ?

4n 2 ? 1 ; 4n 2 ? 1

(闵行区 2013 届高三一模 文科)14. (文)如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次

n 幂进行如下方式的“分裂”(其中 m、 ? N ):例如 7 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的
*

2

数是 13 ;若 m 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 m ?
3

.

22
14.文 15 .

32
(嘉定区 2013 届高三一模 文

1 3 1 3 5

23

3

5 9 11
7

24

7

33

34

9 25 27 29

72

1 3 5 7 9 11 13 科)5.在等差

数列 {an } 中, a1 ? ?10,从第 9 项开始为正数, 则公差 d 的取值范围是__________________.5. ?

? 5 10 ? , ?4 7 ? ?
1 1 ,a5 ? , 16 2
3

(静安区 2013 届高三一模 文科)2.等比数列 ?an ?( n ? N * )中,若 a 2 ?

则 a12 ?

.

2.64;

(静安区 2013 届高三一模 文科)16. (文)等差数列 {an } 中,已知 3a5 ? 7a10 ,且 a1 ? 0 , 则数列 {an } 前 n 项和 S n ( n ? N * )中最小的是( (A) S 7 或 S8 (文)同理 15 16. (文)C; (嘉定区 2013 届高三一模 文科)14.在数列 {an } 中,若存在一个确定的正整数 T ,对任 意 n ? N 满足 an?T ? an ,则称 {an } 是周期数列, T 叫做它的周期.已知数列 {xn } 满足
*

) (D) S14

(B) S12

(C) S13

, 当数列 {xn } 的周期为 3 时, {xn } 的前 2013 则 x1 ? 1 ,x2 ? a( a ? 1 ) xn?2 ?| xn?1 ? xn | , 项的和 S 2013 ? ________. 14. 1342 ( 静 安 区 2013 届 高 三 一 模 文 科 ) 3 .
n

( 文 ) 求 和 :

1 2 3 n 3Cn ? 9Cn ? 27Cn ? ? ? 3n Cn =

.( n ? N * ) (文) 4 ? 1

(金山区 2013 届高三一模)14.若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(–1, 0)在动直线 l:

ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N(0, 3),则线段 MN 长度的最小值是

. 14. 4 ? 2

(虹口区 2013 届高三一模)9、在等比数列 ?an ? 中,已知 a1a2 ? 32 , a3a4 ? 2 ,则
n??

lim( a1 ? a2 ? ? ? an ) ?



9、 ? 16 ;

(青浦区 2013 届高三一模)8.若三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的 位置后变成一个等比数列,则此等比数列的公比为 可) ? 2或 . (写出一个即

1 . 2

(奉贤区 2013 届高三一模)6、设无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,首项是 a1 ,若 lim Sn
n??



? 2? 1 ? , a1 ? ? 0, ? 2 ? ,则公比 q 的取值范围是 a1 ? ?



6. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

(崇明县 2013 届高三一模)13、数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n} 的前 60 项和 等于 . 13、1830

2 (虹口区 2013 届高三一模)12、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 am?1 ? am ?1 ? am ? 0 ,

4

S2m ?1 ? 38 ,则 m ?

.12、10;

1 }( n ? N * ) 中可以找出无限项构成一个新的等比 2n 1 数 列 {bn } , 使 得 该 新 数 列 的 各 项 和 为 , 则 此 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 7 1 7、 bn ? n 8
(长宁区 2013 届高三一模)7、从数列 { ( 宝 山 区 2013 届 期 末 ) 11. 若 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 是 an ? 3? n ? ( 2?) ?1 , 则 ? n

lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) =_______.
n ??

7 6
(n ? 1, 2)

? 1 ?n ?1 ? (崇明县 2013 届高三一模)9、数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ? 1 ? 3n ?


(n ? 2)

前 n 项和为 Sn ,则 lim Sn ?
n??

.

9、

8 9

(长宁区 2013 届高三一模)3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的 16 个小球,其中 8 个 白球、 8 个黑球,则从口袋中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为 . (结果 精确到 0.001 ) 3、 0.381

(宝山区 2013 届期末)15.现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排 法的种数为??( C) (A) P3 ? P3 5 3 (B) P8 ? P6 ? P3 8 6 3 (C) P3 ? P5 6 5 (D) P8 ? P4 8 6

(青浦区 2013 届高三一模) 20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题, 1 小题满分 6 分, 第 第 2 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 3 (1)设 bn ?
n?1

? 2n (n ? N * ) .

an ? 2 n 证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 3n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 解: (1)? bn ?1 ? bn ?

a n?1 ? 2 n?1 a n ? 2 n 3a n ? 3 n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1,?? 3n?1 3n 3 n ?1 3n
5

2分

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 .?????????????????
4分 ??????????????????????????? ?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n . 6分 (2)设 Tn ? 0 ? 31 ? 1? 32 ? ?? (n ? 1) ? 3n ,则 3 Tn ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .

? ? 2Tn ? 32 ? ? ? 3n ? (n ? 1) ? 3n?1 ?


9(1 ? 3n?1 ) ? (n ? 1) ? 3n?1 . ???????10 1? 3

? Tn ?

9 ? 3n?1 (n ? 1) ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n?1 ? 9 ? ? . 4 2 4

? S n ? Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

?

n

?2n ? 3?3n?1 ? 2 n?3 ? 1 . ??
4

??????????14

分 (金山区 2013 届高三一模)23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小 题 8 分) 已知数列{an}满足 a1 ? ?

6 , 1 ? a1 ? a2 ? ?? an ? ?an?1 ? 0 (其中 λ ≠0 且 λ ≠–1,n∈ 7

N*), S n 为数列{an}的前 n 项和.
2 (1) 若 a2 ? a1 ? a3 ,求 ? 的值;

(2) 求数列{an}的通项公式 an ; (3) 当 ? ?

1 时,数列{an}中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项;若不存 3

在,请说明理由.

23.解:(1) 令 n ? 1 ,得到 a 2 ?

1 1 1 ? 2 。????2 分 ,令 n ? 2 ,得到 a3 ? 7? 7? 7? 7 2 由 a2 ? a1 ? a3 ,计算得 ? ? ? .????????????????????4 分 6
6

(2) 由题意 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0 ,可得:

1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? ?an ? 0(n ? 2) ,所以有 (1 ? ? )an ? ?an?1 ? 0 (n ? 2) ,又 ? ? 0, ? ? ?1 ,????????5 分
得到: a n ?1 ? 又因为 a 2 ?

1? ?

1 1 1 ? ? n?2 ( ) ???????????8 分 ,所以 n≥2 时, a n ? 7? 7? ? ? 6 n ? 1, ?? 7 ? 所以数列{an}的通项 a n ? ? ?????????????10 分 ? 1 (1 ? ? ) n ? 2 n ? 2. ? 7? ? ?

?

a n (n ? 2) ,故数列 {an } 从第二项起是等比数列。?????7 分

(3) 因为 ? ?

1 3

? 6 n ? 1, ?? 7 ? 所以 a n ? ? ??????????????11 分 ? 3 ? 4 n ? 2 n ? 2. ?7 ?

假设数列{an}中存在三项 am、ak、ap 成等差数列, ①不防设 m>k>p≥2,因为当 n≥2 时,数列{an}单调递增,所以 2ak=am+ap 即:2?( 即2

3 3 m–2 3 p–2 k–2 k - p m–p )?4 = = 4 +1 ?4 + ?4 ,化简得:2?4 7 7 7
=2
2m–2p

2k–2p+1

+1,若此式成立,必有:2m–2p=0 且 2k–2p+1=1,

故有:m=p=k,和题设矛盾????????????????????????14 分 ②假设存在成等差数列的三项中包含 a1 时, 不妨设 m=1,k>p≥2 且 ak>ap,所以 2ap = a1+ak , 2?(

3 6 3 p–2 k–2 p–2 k–2 2p–4 2k–5 )?4 = – + ( )?4 ,所以 2?4 = –2+4 ,即 2 = 2 – 1 7 7 7

因为 k > p ≥ 2,所以当且仅当 k=3 且 p=2 时成立???????????????16 分 因此,数列{an}中存在 a1、a2、a3 或 a3、a2、a1 成等差数列???????????18 分 (浦东新区 2013 届高三一模 文科)22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小 题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p ) ? 0 成 立,那么我们称数列 {xn } 为“ p ? 摆动数列” .
n ? (1)设 an ? 2n ? 1,bn ? (? ) ,n ? N ,判断 {an } 、{bn } 是否为“ p ? 摆动数列” ,

1 2

并 说 明理由;
7

(2)设数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p ,求证:对任意正整数 m, n ? N * ,总有 ,

c2n ? c2m ?1 成立;
(3)设数列 { d n } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (?1)n ? n ,试问:数列 { d n } 是否为“ p ? 摆动数列” ,若是,求出 p 的取值范围;若不是,说明理由. 解: (1)假设数列 {an } 是“ p ? 摆动数列” ,即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对任 意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时,则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时,则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an } 不是“ p ? 摆动数列” ;????????????????2 分 而数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列” p ? 0 . ,
n 2 n ?1 ? 0 对任意 n 成立, 由 bn ? (? ) ,于是 bnbn ?1 ? (? )

1 2

1 2

所以数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列”.?4 分 (2)由数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p , , 即存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 (cn ?1 ? p)(cn ? p) ? 0 成立. 即有 (cn ? 2 ? p)(cn ?1 ? p) ? 0 成立.则 (cn ? 2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,???????6 分 所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2m?1 ? p ,??? ???????????7 分 同理 (c2 ? p)(c1 ? p) ? 0 ? c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2n ? p ,??????8 分 所以 c2 n ? p ? c2 m ?1 .????????????????????????9 分 因此对任意的 m, n ? N ,都有 c2n ? c2m ?1 成立.????????????10 分
*

(3)当 n ? 1 时, d1 ? ?1 , 当

n ? 2, n ? N ?





dn ? Sn ? Sn?1 ? (?1)n (2n ? 1)









dn ? (?1)n (2n ? 1) ????12 分
即存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 d n d n?1 ? (?1) 2n?1 (2n ? 1)(2n ? 1) ? 0 成立, 所以数列 {d n } 是“ p ? 摆动数列”;??????????????????14

8

分 当 n 为奇数时 dn ? ?2n ? 1 递减,所以 dn ? d1 ? ?1,只要 p ? ?1即可, 当 n 为偶数时 dn ? 2n ? 1递增, dn ? d2 ? 3 ,只要 p ? 3 即可.??????15 分 综上 ? 1 ? p ? 3 .所以数列 { d n } 是 p ? 摆动数列” p 的取值范围是 (?1,3) .??? “ , 16 分

(长宁区 2013 届高三一模)23. (本题满分 18 分) (理) 已知函数 f ( x) ? kx ? m,当x ? [a1 , b1 ] 时,f (x) 的值域为 [a2 , b2 ] , x ? [a2 , b2 ] 当 时, f (x) 的值域为 [a3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ? [an?1 , bn?1 ] 时, f (x) 的值域为

[a n , bn ] ,其中 k、m 为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1.
(1)若 k=1,求数列 {an },{bn } 的通项公式; (2)若 m=2,问是否存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4 ? 若存在,求 k 的值;
n ??

若不存在,请说明理由; (3)若 k ? 0 ,设数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 Sn,Tn, 求 (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? (S1 ? S 2 ? ? ? S 2013 ). (文)设 f ( x) ? x ,等差数列 ?an ? 中 a3 ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,记 S n = f
3

?

3

an ?1 ,

?

令 bn ? an S n ,数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn . bn

(1)求 ?an ? 的通项公式和 S n ; (2)求证: Tn ?

1 ; 3

(3)是否存在正整数 m, n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的 值,若不存在,说明理由.

23、 (理)解: (1)因为 f ( x) ? x ? m,当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 , 所以其值域为 [an?1 ? m, bn?1 ? m] ????2 分

9

于是 an ? an?1 ? m, bn ? bn?1 ? m(n ? N * , n ? 2) ????4 分 又 a1 ? 0, b1 ? 1, 所以an ? (n ? 1)m, bn ? 1 ? (n ? 1)m. ????6 分

(2)因为 f ( x) ? x ? mf ( x) ? kx ? m(k ? 0),当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 所以 f ( x)的值域为 kan?1 ? m, kbn?1 ? m],因m ? 2, 则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ??8 分 [ 法一:假设存在常数 k ? 0 , 使得数列 {bn }满足 lim bn ? 4, 则 lim bn ? k lim bn ?1 ? 2 ,????10 分
n ?? n ?? n ??

得 4 ? 4k ? 2, 则k ?

1 符合。????12 分 2
n??

法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4. 当 k=1 不符合。??7 分

2 2 ? k (bn ?1 ? )( n ? 2) ,????9 分 k ?1 k ?1 2 2 2 1 )k n ?1 ? , 当 0 ? k ? 1时, lim bn ? ? 4, 得k ? 符合. 则 bn ? (1 ? n ?? k ?1 k ?1 1? k 2
当 k ? 1时, bn ? kb n ?1 ? 2(n ? 2) ? bn ? ????12 分 ( 3 ) 因 为 k ? 0,当x ? [an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为 单 调 减 函 所 以 f (x) 的 值 域 为 , 数

[kbn?1 ? m, kan?1 ? m]

????13 分

于是 an ? kbn?1 ? m, bn ? kan?1 ? m(n ? N * , n ? 2) 则 bn ? an ? ?k (bn?1 ? an?1 ) ????14 分 因此 ?bn ? a n ?是以 ? k 为公比的等比数列,

?i, (k ? ?1) ? 又 b1 ? a1 ? 1则有 Ti ? S i ? ?1 ? (?k ) i ????16 分 , (k ? 0, k ? ?1) ? ? 1? k
进而有

2027091(k ? ?1) , ? ? 2013? 2014 ? k 2014 k (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S 2013 ) ? ? , (k ? 0, k ? ?1) ? (1 ? k ) 2 ?
????18 分 (文)解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 ,

a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12.解得 a1 ? 1 , d =3 ,

?????2 分
10

∴ an ? 3n ? 2 ∵ f ( x) ? x 3 , ∴Sn= f

?????4 分

?

3

an ?1 = an?1 ? 3n ? 1.

?

?????6 分

(2) bn ? an S n ? (3n ? 2)(3n ? 1)



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1
1 1 1 (1 ? )? 3 3n ? 1 3 n 3n ? 1
∴ T1 ?

?????8 分

∴ Tn ?

?????10 分

(3)由(2)知, Tn ? 比数列.

1 m n , Tm ? , Tn ? ,∵ T1 , Tm , Tn 成等 4 3m ? 1 3n ? 1
?????12 分

m 2 1 n ) ? 3m ? 1 4 3n ? 1 6m ? 1 3n ? 4 ? 即 n m2
∴ ( 当 m ? 1 时,7 ?

3n ? 4 13 3n ? 4 ? , n =1,不合题意;当 m ? 2 时, , n =16,符合题意; n n 4 25 3n ? 4 19 3n ? 4 ? ? 当 m ? 3 时, , n 无正整数解;当 m ? 4 时, , n 无正整数解; n 16 n 9 31 3n ? 4 37 3n ? 4 ? ? 当 m ? 5 时, , n 无正整数解;当 m ? 6 时, , n 无正整数解; 25 n 36 n
?????15 分 当 m ? 7 时,m ? 6m ? 1 ? (m ? 3) ? 10 ? 0 ,则
2 2

6m ? 1 3n ? 4 4 ? 1 ,而 ? 3? ? 3, 2 n n m

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ?????17 分

综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ?????18 分

另解:

1 m n , Tm ? , Tn ? 4 3m ? 1 3n ? 1 m 2 1 n ) ? ? ∵ T1 , Tm , Tn 成等比数列. ∴ ( , ?????12 分 3m ? 1 4 3n ? 1
(3)由(2)知, Tn ? ∴ T1 ?
11

n 3n ? 1

取倒数再化简得

6m ? 1 3n ? 4 ? n m2
?????14 分

当 m ? 2 时,

13 3n ? 4 ? , n =16,符合题意; n 4
2

m ? 3时,0 ?

1 1 6m ? 1 6 1 ? 1 19 ? ? , ? ? 2 ? ? ? 3? ? 9 ? ? 3 , 2 m 3 m m m ?m ? 9



3n ? 4 4 ? 3? ? 3, n n

所以,此时不存在正整数 m、n , 且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ?????17 分

综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ?????18 分 (虹口区 2013 届高三一模)22、 (本题满分 16 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足

Sn ? 2an ? 1 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
0 1 2 n (2)求和 S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn ? ? ? Sn ?1 ? Cn ;

(3)设有 m 项的数列 ?bn ?是连续的正整数数列,并且满足:

lg 2 ? lg(1 ?

1 1 1 ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ? ) ? lg(log2 am ) . b1 b2 bm

问数列 ?bn ?最多有几项?并求这些项的和. 22、 (16 分)解: (1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,相减得 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,即

an ?1 ? 2an .
又 S1 ? 2a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 0 , 数列 ?an ? 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列, an ? 2n ?1 . 得 ? ? ??????????????????5 分 (2)由(1)知 Sn ? 2n ? 1 .
0 1 0 1 ? S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn2 ? ?? Sn?1 ? Cnn ? (21 ? 1) ? Cn ? (22 ? 1) ? Cn ? (23 ? 1) ? Cn2 ?? (2n?1 ? 1) ? Cnn

12

0 1 2 n 0 1 2 n ? 2(Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ?? 2n Cn ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? 2(1 ? 2)n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n

??????????????????10 分 (3)由已知得 2 ?

b1 ? 1 b2 ? 1 b ?1 ? ??? m ? m ?1. b1 b2 bm 2(bm ? 1) ? m ? 1 .?? b1

又 ?bn ?是连续的正整数数列,? bn ? bn ?1 ? 1 .? 上式化为 又 bm ? b1 ? (m ? 1) ,消 bm 得 mb ? 3b1 ? 2m ? 0 . 1

m?

3b1 6 ? ,由于 m ? N ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9. ? 3? b1 ? 2 b1 ? 2

此时数列的所有 项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 ????????16 分 (崇明县 2013 届高三一模)21、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知数列 ?an ? ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? a3 ? ?????? ?an , B(n) ? a2 ? a3 ? a4 ? ?????? ?an?1 ,
C (n) ? a3 ? a4 ? a5 ? ?????? ?an? 2 , (n ? 1, 2,3,......) ,并且对于任意 n ? N ? ,恒有 an ? 0 成立.

(1) a1 ? 1, a2 ? 5 , 若 且对任意 n ? N ? , 三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列, 求数列 ?an ? 的 通项公式; (2)证明:数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ? ,三个数
A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.

21、解: (1) 2B(n)=A(n)+C(n)

? an+2 -an?1 =a2 -a1 =4,n ? N* ,所以 {an } 为等差数列。 ? an =4n-3,n ? N*
(2) (必 要性)若数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,则

B(n) a2 +a3 +? +an +1 = =q , A(n) a1 +a2 +? an

C (n) a3 +a4 +? +an +2 = =q ,所以 A(n)、B(n)、C(n)组成公比为 q 的等比数列。 B(n) a2 +a3 +? an +1
(充分性) :若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则 B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) ,
?

13

于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1.
因为 an ? 0 ,所以

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 .

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。 an ?1 a1
*

综上, 数列 {an } 是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的 n ? N , 都有 A(n)、 B(n)、 C(n)组成公比为 q的等比数列。

(宝山区 2013 届期末)23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知定义域为 R 的二次函数 f ( x) 的最小值为 0,且有 f1x f1x (? ?(? ,直线 ) )

g ? x1 f ( x) 的 图 像 截 得 的 弦 长 为 4 17 , 数 列 ?an ? 满 足 a ?2 , () 4 ? 被 x ( ) 1
aa n ? ?? ? afn 0 * g ?1 n? ?? ? N ? ? a n? n ?
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)设 b 3 n? n? ???g?,求数列 ?bn ? 的最值及相应的 n fa ? 1 a n
2 23 解: (1)设 f ( x) ? a?x ? 1? ?a ? 0? ,则直线 g ( x) ? 4( x ? 1) 与 y ? f (x) 图像的两个交点

为(1,0) ? ,

16? ?4 ? 1, ? ???????????????????2 分 ?a a?
2

2 ? 4 ? ? 16 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 17?a ? 0? ,? ,? ? ??????4 分 a1fx ? 1 ? () x ? a? ? a ? ?

2

a n1 a ? ? ? , a (2) f n a? g ? ? ???? ??4 1 n n
2

? ?? ? n ? 0 aa a ?1 ·? ? a ? ? ? 41 ? n ? n 1 n
2

? ?n?? 0 a? ? a? 4 ? ??a 31 ???????????????5 分 n1 1 n
?? ? 0 a? 3 ????????????6 分 ?n 4 n 2 1 a , aa ? , 1 ? 1 n ? 1

14

3 ? ? ?n 1 a 11 a 1 a ? 1 ? ? ?, ? n ? 1 4 3 数列 ? n ?1 是首项为 1,公比为 的等比数列???????????8 分 a ? 4
3 3 ?? ?? ??? ? , ? ? ????????????????10 分 a 1? a? 1 n n ?? ?? 4 4
2 n ?1 ? n ? ? 3 n ?1 ? 2 ?? 3 ?n ?1 ? ? ? ? ?3? ? ?3? (3) b 3 ? ? n ? 3 ?? ? ? ? 4 ? ? ? 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? n 1 4? 1 a ? ?1 ? a ? ? n ?4? ?? 4 ? ? ? ?? 4 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ?? ?

n ? 1

n ? 1

2

?3 ? 令 b ? y u?? ? , n ?4 ?

n1 ?

2 2 ? 1 1 ? 1 3 ? ? ? ? ? ? , 则 y 3 u ? ?? 3 ?? ? ????12 分 ?? ? ?u ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 ? 2 4 ?

3 9 2 7 9 1 ? N ?的值分别为 1 n * ?, u , , , ??,经比较 距 最近, 4 1 6 6 4 16 2 189 ∴当 n? 时, bn 有最小值是 ? ,??????????????15 分 3 256
当 n? 时, bn 有最大值是 0 ????????????????18 分 1

(奉贤区 2013 届高三一模)22、 (文)等比数列 ?cn ? 满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4 n?1 , n ? N , ....
*

数列 ?an ? 满足 cn ? 2

an

(1)求 ?an ? 的通项公式; 分) (5 (2)数列 ?bn ? 满足 bn ?

(3)是否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 分) (6 22、解: (1)解: c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 2分 3分 4分 5分

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.求 lim Tn ; 分) (5 n ?? an ? an ?1

c1 ? 4c1 ? 10 计算出 c1 ? 2

cn ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1
? an ? 2n ? 1

15

(2) bn ? 于是 Tn ?

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

6分 8分 10 分

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ??

lim Tn =
n ??

(3)假设否存在正整数 m, n ?1 ? m ? n? ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则

1 2

? m ? 1 n , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2n ? 1 3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0, 可得 ? n m2 6 6 由分子为正,解得 1 ? , ? m ? 1? 2 2 由 m ? N ? , m ? 1 ,得 m ? 2 ,此时 n ? 12 , 当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。

2

12 分

16 分

说明:只有结论, m ? 2 , n ? 12 时, T1 , Tm , Tn 成等比数列。若学生没有说明理由, 则只能得 13 分

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. (1)若 AB ? BC ? ?3 ,且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?

??? ??? ? ?

3 sin A ,求 M 的取值范围. 1 cos A

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?

?

??? ??? ? ? 2? 由 AB ? BC ? ?3 得, c ? a cos ? ?3 ,∴ ac ? 6

3

, ①

??????????2 分 ?????????4 分

3

又由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ∴ 18 ? a 2 ? c 2 ? ac ,∴ a 2 ? c 2 ? 24 由①、②得, a ? c ? 6 (2) M ?

?
3

,
② ?????????6 分

??????????????8 分

3 sin A ? 3 cos A ? sin A 1 cos A
16

? 2sin( ? A) 3
由(1)得 B ?

?

??????????????11 分

?

3 2? 2? ? ? ? 由C ? ? A ? 0 且 A ? 0 ,可得 0 ? A ? , 故? ? ? A? , 3 3 3 3 3
所以 2sin(

,∴ A ? C ?

2? , 3

?

3

? A) ? (? 3, 3) ,

即 M 的取值范围为 (? 3, 3) . ??????????14 分 (嘉定区 2013 届高三一模 文科)22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a5 ? a13 ? 34 , S 3 ? 9 .数列 {bn } 的前 n 项和 为 Tn ,满足 Tn ? 1 ? bn . (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 是数列 {bn } 的项; am ? 9 an (3)设数列 {cn } 的通项公式为 cn ? ,问:是否存在正整数 t 和 k ( k ? 3 ) ,使 an ? t 得 c1 ,c2 ,ck 成等差数列?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对 (t , k ) ;若不存在,
(2)写出一个正整数 m ,使得 请说明理由.

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) (1)设数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,由已知,有 ? 解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,????(3 分) 所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ( n ? N ) .????(4 分)
*

?2a1 ? 16d ? 34 ,??(2 分) ?3a1 ? 3d ? 9

(2)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ? 1 ? b1 ,所以 b1 ?

1 .??(1 分) 2

由 Tn ? 1 ? bn ,得 Tn?1 ? 1 ? bn?1 ,两式相减,得 bn?1 ? bn ? bn?1 , 故 bn ?1 ?

1 bn ,??(2 分) 2
n

1 1 ?1? 所以, {bn } 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? .??(3 分) 2 2 ?2?

1 1 1 ? ? ,????(4 分) a m ? 9 2m ? 8 2(m ? 4)

17

要使

1 n 是 {bn } 中的项,只要 m ? 4 ? 2 即可,可取 m ? 4 .????(6 分) am ? 9

n * (只要写出一个 m 的值就给分,写出 m ? 2 ? 4 , n ? N , n ? 3 也给分)

(3)由(1)知, c n ?

2n ? 1 ,????(1 分) 2n ? 1 ? t

要使 c1 , c2 , ck 成等差数列,必须 2c2 ? c1 ? ck ,即

6 1 2k ? 1 ? ? ,????(2 分) 3 ? t 1 ? t 2k ? 1 ? t 4 化简得 k ? 3 ? .????(3 分) t ?1 因为 k 与 t 都是正整数,所以 t 只能取 2 , 3 , 5 .????(4 分) 当 t ? 2 时, k ? 7 ;当 t ? 3 时, k ? 5 ;当 t ? 5 时, k ? 4 .????(5 分)
综上可知,存在符合条件的正整数 t 和 k ,所有符合条件的有序整数对 (t , k ) 为:

(2 , 7) , (3 , 5) , (5 , 4) .????(6 分)
(静安区 2013 届高三一模 文科) (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的递推公式为 ?a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 3, (n ? 2, n ? N * )

? ?a1 ? 2.

(1)令 bn ? an ? n ,求证:数列 {bn } 为等比数列; (2)求数列 {an } 的前 n 项和. (2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ··········· 8 分 ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ?

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2 1 3 ∵ ? ? 1, 2 3 ∴ S 有最大值,最大值为 1 ? 3 平方米. ················· 12 分 2 3
(文) (1) n ? an ? n ? 3an?1 ? 2n ? 3 ? n ? 3an?1 ? 3n ? 3 ? 3(an?1 ? (n ? 1)) ? 3bn?1 , 解: b

n?2
又 b1 ? a1 ? 1 ? 1 ,所以 bn ? 0 ( n ? N * ) ,

bn ? 3(n ? 2) bn?1
18

所以,数列 {bn } 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列. ·············· 6 分 (2) bn ? 3n?1 , an ? bn ? n ························ 8 分

3n ? n 2 ? n ? 1 所以数列 {an } 的前 n 项和 S n ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) = . 2
···································· 14 分 (闵行区 2013 届高三一模 文科) 23.(文) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小 题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分.
2 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,已知 4Sn ? an ? 2an ?1(n? N * )

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式;
2 (2)是否存在 k ? N ,使得 Sk 2 ? ak ?2048 ,若存在,求出 k 的值;若不存在请说明理由;
*

(3)证明:对任意 m、、 ? N *, ? p ? 2k ,都有 k p m 解:

1 1 2 ? ? . Sm S p Sk

23. [解]
2 2 (文)(1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 . 2 2 两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0

??????????2 分

2 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列.????????2 分 ∴ an ? 2n ?1 (2) 由(1)知 S n ? ??????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2

??????????2 分

假设正整数 k 满足条件, 则 (k 2 )2 ? [2(k ? 2048) ?1]2 ∴ k 2 ? 2(k ? 2048) ?1 , 解得 k ? 65 ; (3) Sm ? m , k ? k , p ? p S S
2 2 2

??????????3 分 ??????????2 分

于是

1 1 2 1 1 2 k 2 ( p2 ? m2 ) ? 2m2 p2 ? ? ? 2? 2? 2? Sm S p Sk m p k m2 p 2 k 2 m? p 2 2 ( ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? ??????????2 分 m2 p 2k 2

19

mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ∴ ? ? Sm S p Sk ?

??????????3 分 ??????????1 分

(松江区 2013 届高三一模 文科)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 已知递增的等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 设数列 {cn } 对任意 n ? N , 都有
*

c c1 c2 ? 2 ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2012 的 2 2 2n

值. (3) 在数列 {dn } 中,d1 ? 1 , 且满足

dn 求下表中前 n 行所有数的和 S n . ? an ?1 (n ? N * ) , d n ?1 d1d1 d2 d1d 2 d 2 d1 d3 d3
??

d1d n d n ?1

d 2 d n ?1 dd d d ?? k n ? k ?1 ?? n 1 d n ?1 d n ?1 d n ?1

20

23.解: (1)∵ ?an ? 是递增的等差数列,设公差为 d
2 ? a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴ a2 =a1 ?a4

(d ? 0) ????????1 分
????????2 分



(1 ? d )2 ? 1? (1 ? 3d )

及d ? 0得

d ?1

???????????3 分 ???????????4 分

∴ an ? n(n ? N*) (2)∵ an?1 ? n ? 1, 当 n ? 1 时,

c c1 c2 ? 2 ?? ? n ? n ?1 2 2 2n

对 n ? N 都成立
*

c1 ? 2 得 c1 ? 4 ???????????5 分 2 c c c c c c 当 n ? 2 时,由 1 ? 2 ? ? ? n ? n ? 1 ①,及 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ② 2 n 2 2 2 2 2 2 2n ?1 c ①-②得 n ? 1 ,得 cn ? 2n ???????7 分 2n
∴ cn ? ?

? 4 (n ? 1) n ?2 (n ? 2)
2 3 2012

???????8 分

∴ c1 ? c2 ? ? ? c2012 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 (3)∵

? 4?

22 (1 ? 22011 ) ? 22013 ?????10 分 1? 2

dn d d d d ∴ 1 ? 2 ? 3 ?? n ? 2 ? 3 ? 4 ??? (n ? 1) ? an ?1 ? n ? 1 d 2 d3 d 4 d n?1 d n ?1 1 又∵ d1 ? 1 ∴ dn ? ????????????13 分 n! dd (n ? 1)! k ∵ k n ?k ?1 ? ????????????14 分 ? Cn?k ?1 (k ? 1, 2,? n) dn?1 k !(n ? k ? 1)! ∴第 n 行各数之和 d1dn d2 dn?1 dd 1 2 n ? ? ? ? n 1 ? Cn?1 ? Cn?1 ? ?? ? Cn?1 ? 2n?1 ? 2(n ? 1, 2?) ????16 分 dn?1 dn?1 dn?1 ∴表中前 n 行所有数的和 Sn ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?? (2n?1 ? 2) ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? 2n
22 (2n ? 1) ? ? 2n ? 2 n ? 2 ? 2n ? 4 2 ?1
???????????18 分

(杨浦区 2013 届高三一模 文科)23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设数列 ? xn ? 满足 xn ? 0 且 xn ? 1 ( n ? N* ),前 n 项和为 S n .已知点 P ( x1 , S1 ) , 1

k P2 ( x2 , S 2 ) , ? ? ? , Pn ?xn , S n ? 都在直线 y ? kx ? b 上(其中常数 b、 且 k ? 0 , k ? 1 ,
b ? 0 ),又 y n ? log 1 xn .
2

(1)求证:数列 ? xn ? 是等比数列;
21

(2)若 y n ? 18? 3n ,求实数 k , b 的值; (3)如果存在 t 、 s ?N* , s ? t 使得点 ?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.问 n? 是否存在正整数 M ,当 n ? M 时, xn ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值,若不 存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)因为点

Pn , Pn?1 都在直线 y ? kx ? b 上,

S n?1 ? S n ?k (k ? 1) xn?1 ? kxn , xn?1 ? xn 所以 ,得
x1 ? 1 ?0 1? k .

???2 分

其中

???3 分

xn?1 k ? x k ? 1 为非零常数. 因为常数 k ? 0 ,且 k ? 1 ,所以 n
所以数列

?xn ? 是等比数列.
2

???4 分
yn

y n ? log 1 xn
(2)由

?1? xn ? ? ? ?2? ,得

? 8 n ?6
, ???7 分

k 8 ?8 k? 7. 所以 k ? 1 ,得


???8 分 ???9 分

Pn 在直线上,得 S n ? kxn ? b ,
b ? S1 ? 8 1 8 ?5 x1 ? ? x1 ? ? 7 7 7 .

令 n ? 1得 分

???10

y n ? log 1 xn
(3)由
2
*



xn ? 1 恒成立等价于 y n ? 0 .

n? 因为存在 t 、 s ?N , s ? t 使得点
由 分 易证

?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.
???12

y s ? 2t ? 1与 yt ? 2s ? 1 做差得: y s ? yt ? 2(t ? s) .

?yn ?是等差数列,设其公差为 d ,则有 ys ? yt

? (s ? t )d ,因为 s ? t ,

22

y ? yt ? 2(t ? s) ? 2 , 所以 d ? ?2 ? 0 ,又由 s


ys ? yt ? y1 ? (s ? 1)(?2) ? y1 ? (t ? 1)(?2) ? 2 y1 ? 2(s ? t ) ? 4

得 2 y1 ? 2(s ? t ) ? 4 ? 2(t ? s) ? 2 得 y1 ? 2( s ? t ) ? 1 ? 0 即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数 M , ???16 分

? yM ? 0 ? y ?0 使, ? M ?1 ,

?2( s ? t ) ? 1 ? ( M ? 1)(?2) ? 0 1 1 ? s?t ? ? M ? s?t ? 2( s ? t ) ? 1 ? M (?2) ? 0 2 2 即? 解得

? 因为 M ? N ,所以 M ? s ? t ,

即存在自然数 M ,其最小值为 s ? t ,使得当 n ? M (其它解法可参考给分) (闸北区 2013 届高三一模 文科)18.

时,

xn ? 1 恒成立. ???18 分

(文) (本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 若数列 ?bn ? 满足:对于 n ? N ? ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数) ,则称数列 ?bn ? 是公差为 d 则 ?cn ? 是公差为 8 的准等差数列. 4n ? 9,当n为偶数时 . ? (1)求上述准等差数列 ?cn ? 的第 8 项 c8 、第 9 项 c9 以及前 9 项的和 T9 ; 等差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 63 ? 2012,求 a 的取值范围.

的准等差数列.如: 若 c n ? ?

?4n ? 1,当n为奇数时;

? (2)设数列 ?an ? 满足: a1 ? a ,对于 n ? N ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证: ?an ? 为准

18. (文)解: (1) c8 ? 41, c9 ? 35

(2 分) (4 分)

(3 ? 35) ? 5 (17 ? 41) ? 4 ? ? 211 . 2 2 (2)? an ? an?1 ? 2n ① T9 ?
② an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1) ②-①得 an?2 ? an ? 2 . 所以, ?an ? 为公差为 2 的准等差数列.

(2 分) (2 分) (2 分)

? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? n ? a ? 1 ; ? 2 ? ?n ? 当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a ? ? ? 1? ? 2 ? n ? a , ?2 ?
当 n 为奇数时, a n ? a ? ?

( ?n ? a ? 1, n为奇数) ? an ? ? ?n ? a,  (n为偶数)
23

(3)解一:在 S 63 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a63 中,有 32 各奇数项,31 各偶数项, 所以, S 63 ? 32 a ?

? S 63

32 ? 31 31 ? 30 ? 2 ? 31(2 ? a) ? ? 2 ? a ? 1984 . 2 2 ? 2012,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .

(4 分) (2 分)

解二:当 n 为偶数时, a1 ? a2 ? 2 ? 1 , a3 ? a4 ? 2 ? 3,? ? an?1 ? an ? 2 ? (n ? 1) 将上面各式相加,得 S n ?

1 2 n . 2
(4 分) (2 分)

1 ? S 63 ? S 62 ? a63 ? ? 62 2 ? 63 ? a ? 1 ? a ? 1984 2 ? S 63 ? 2012,? a ? 1984 ? 2012 . ? a ? 28 .

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